Решение тригонометрических неравенств, их систем и совокупностей

Решение тригонометрических неравенств, их систем и совокупностей

Решение тригонометрических неравенств довольно трудная тема школьной математики. Долгое время я никак не могла научиться их решать, наверное, потому, что не совсем понимала что это и для чего мне эти неравенства нужны. Потом обиделась на неравенства и села за учебники: школьные и не совсем школьные.

И вот что я поняла.

Основные способы решения тригонометрических неравенств

Решение любого тригонометрического обычно сводится к решению простейших тригонометрических неравенств вида sin x >a, cos x > a, tg x >a и т. д. , а также к решению систем, совокупностей систем простейших тригонометрических неравенств. Для решения можно воспользоваться либо графиком соответствующей тригонометрической функции или числовой окружностью.

На мой взгляд, удобнее пользоваться числовой окружностью, т. к. геометрически решение любого простейшего неравенства можно изобразить ее дугой, а затем, учитывая, что если некая точка окружности соответствует числу х, то она соответствует и всем числам вида х+2πk, k z. Составить аналитическую запись дуги.

Пример 1. Решить неравенство , sin х > (sin x <).

По определению sin x – ордината некоторой точки числовой окружности.

На числовой окружности возьмем точки ордината которых равна (построим прямую у=). Все точки, ордината которых больше заполнят открытую дугу KmE (замечу, что все точки, ординаты которых меньше заполнят дугу

Если sin x = , то точка Е получилась из точки ( 1;0) поворотом на угол , а К- на. Таким образом, получаем геометрическое решение : < x<, неравенства sin x>. Аналитическое решение +2πk

< x < , +2πk

Но можно вспомнить и о существовании отрицательных углов, тогда геометрическое решение дуги KlE будет выглядеть так:

-

-+2πk

Пример 2. Решим неравенство cos x ≥ (cos x ≤ )

На числовой окружности возьмем точки абсцисса которых равна (прямая х=). Если абсцисса больше , то геометрическим решением является дуга KmE, (если меньше- дуга Kl E). Итак, геометрическое решение неравенства cos x ≥ дуга EmK, т. е. –arccos 0,2 ≤ x ≤ arccos 0,2

( для неравенства cos x ≤; дуга Kl E, т. е. arccos 0,2 ≤ x ≤2π - arccos 0,2).

Аналитическая запись дуг: а) дуги EmK:

2πk–arccos 0,2 ≤x≤ arccos 0,2+2πk, ; б) дуги Kl E: arccos 0,2+2πk ≤ x ≤ 2π( k+1)+ arccos 0,2, kz.

Неравенства cos x ≥ и cos x ≤ решены.

Пример 3. Решим неравенство ctg х <

1) ctg х не определен при х=πk, k z (точки Р0 и Р2)

2) На числовой полуокружности отметим точку М, такую что ctg х= (дугаР0М=, т. к. arcctg=). Т. к. у= ctg х –убывающая функция, то неравенство ctg х< будет выполняться для всех точек дуги Р0Р2 лежащих от точки М в положительном направлении, т. е. на открытой дуге МР1Р2 ( если бы решали неравенство ctg х>, то нужно было бы взять дугу МР0).

Т. к. основной период у= ctg x равен π, то и открытая дуга М1Р3Р0 так же является геометрическим решением данного неравенства.

Итак, геометрическим решением ctg х< является объединение двух открытых дуг МР1Р2 и М1Р3Р0. Аналитическая запись решения:

+ 2πk

+ 2πk

Общее решение:

+ πk

При четных k получается верхняя строка совокупности, при нечетных – нижняя).

Замечание. Очевидно, что при решении неравенства вида ctg x < a, ctg x > a, ctg x ≤ a, ctg x ≥ a, можно найти геометрическое решение числовой полуокружности Р0Р1Р2, при решении неравенств вида tgx < a, tgx≥a, tgx ≤ a, tgx≥ a – на числовой полуокружности Р3Р0Р1.

Пример 4. Решим систему неравенств.

1) Решение первого неравенства sin х>0 2πк

2) Решим неравенство tgx ≤

Учтем, что для +πk, tgx – не определен

Итак, -+πk < x ≤ +πk, kz или

-+2πk < x ≤+2πk,

+πk < x ≤ +2πk, kz.

Развернутая форма записи или решения систем тригонометрических неравенств удобнее.

3) Наконец, решим неравенство cos x<

+2πk

+2πk

4) Осталось найти пересечение геометрических решений.

Таким пересечением является дуга КЕ. Ее аналитическая запись и есть решение данной системы.

+2πk

Пример 5. Решим совокупность неравенства.

1)Решение первого неравенства sin х ≥-: -+2πk ≤ x ≤ π++2πk

(дуга KML)

2) Т. к. y=ctg х- убывающая функция, то решением второго неравенства ctg х>0,7 будут

2πk< x

π+2πk

(открытые дуги РF и QT).

3) Объединение решений совокупности даст дугу LMK. В данном случае множество решений второго неравенства полностью принадлежит множеству решений первого неравенства.

Ответ: - +2 πk ≤x≤ + π (2k+1), kz.

Пример 6. Решим неравенство.

sin (х - ) cos (х - ) >.

Решение.

2 sin(х - ) cos (х - ) > , sin (2х-) >.

Пусть 2х - =t , решим неравенство sin t >

+2πk< t<+2πk. Заменим t на 2х-.

+2πk< 2х-<+2πk, kz.

++2πk< 2х<++2πk, kz.

+2πk< 2х<+2πk, kz.

и, наконец +πk< x <+πk, kz.

Пример 7. Решим неравенство сos7x сos3х > сos4х (1)

Решение:

> сos4х, сos10х - сos4х > 0, sin3х sin7х<0 (2)

Неравенству 2 равносильна совокупность систем.

Решим систему (3а)

Итак, решение системы 3а:

Решим систему

Объединим решения систем (3а) и (3б).

Наверное, не всегда можно решить систему или совокупность тригонометрических неравенств с помощью числовой окружности.

Пример 8. Решим систему неравенств.

Основной период функции равен 3 π, больше числовой окружности, поэтому изобразить геометрическое решение придется на числовой прямой.

Данная система равносильна системе:

( НОК (2:3)=6), Т= 6π.

Получим решение данной системы неравенств

Заключение:

Основной задачей было рассмотрение всех основных способов решения тригонометрических неравенств. Данные способы подробно изложены выше.

В работе были сделаны важные выводы, среди них:

1) Решение любого тригонометрического обычно сводится к решению простейших тригонометрических неравенств вида sin x >a, cos x > a, tg x >a и т. д. , а также к решению систем, совокупностей систем простейших тригонометрических неравенств.

2) Для решения можно воспользоваться либо графиком соответствующей тригонометрической функции или числовой окружностью.

Целью статьи было осмысление практического материала по заданной теме. В результате ее приобретения мною были получены навыки решения тригонометрических неравенств, которое я с удовольствием буду передавать своим одноклассникам.