Решение задач методом оценки

После окончания школы я собираюсь поступить в институт. И, что бы хорошо сдать экзамены, я уже в конце 9 классе начала просматривать задания ЕГЭ, учиться решать трудные задачи, познакомилась с методом оценки. Этот метод помогает в выполнении нетрадиционных заданий. Именно поэтому я выбрала эту тему.

Главная идея, её формулировка

Облегчить работу при решении задач, сделать решение более доступным.

Цель статьи

Выбрав данную тему, я поставила перед собой цель: научиться решать задачи методом оценки.

Конкретные задачи

1. Решение должно быть рациональным.

2. Использовать знания программного материала об ограниченных функциях.

3. Научиться исследовать полученное задание.

Проблема работы

Научиться узнавать задачи, решаемые методом оценки.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ОЦЕНКИ

Сейчас я покажу общий принцип решения методом оценки на примере нескольких задач.

ПРИМЕР 1. Решить уравнение -cos(7πx)=x2-6x+10

РЕШЕНИЕ.

Проведём предварительное исследование. Для любого действительного α cosα ≤ 1,следовательно, для любого х, cos(7πx) ≤ 1. Преобразовывая правую часть, получаем: х2 – 6х + 10 = х2 ─ 6х + 9 + 1 = (х  3)2 + 1 ≥ 1.

Таким образом, левая часть уравнения не больше 1, а правая не меньше 1.

Поэтому равенство может достигаться только в том случае, если обе части равны 1, т. е. исходное уравнение равносильно системе

-cos( 7πx) = 1

(x –3)2 + 1 = 1(

Несложно заметить, что второе уравнение имеет единственный корень х = 3.

Подставляя полученное значение в первое уравнение, получаем истинное равенство.

ОТВЕТ: х = 3.

ПРИМЕР 2. Решить уравнение: cos6x + sin2y + 4sin 9x = 7

РЕШЕНИЕ.

Сумма коэффициентов перед тригонометрическими функциями в левой части равна 6, что меньше 7. Это наталкивает на мысль о решении уравнения методом оценки. Действительно, cos6x ≤ 1, sin2 3x ≤ 1, 4sin 9x ≤ 4. Следовательно, левая часть не превосходит 6 при любом х, поэтому уравнение не имеет действительных решений.

ОТВЕТ: нет решений.

ПРИМЕР 3. Найдите нули функции h(x) =6x+x2−x3 −.

РЕШЕНИЕ.

1. 6х+х2 −х3− = 0

6x+x2 −x3 =.

2. Учитывая область определения правой части получившегося уравнения, имеем: cos πx −1 ≥ 0, т. е. cos πx ≥ 1, но cos πx ≤ 1, а значит, cos πx = 1.

Тогда при πх = 2πn, т. е. при х = 2n, где n Z, выражение равно нулю.

3. Уравнение 6х + х2 − х3 = 0 равносильно уравнению

-х(х2 −х − 6)=0, а значит, х = 0 или х = -2 или х = 3

4. Так как х = 2n , то х = 0 или х = -2

ОТВЕТ: -2; 0.

Пример 3 ─ это задание С2 из ЕГЭ 2002 года. Как раз оно и предполагает проверить умение применения свойства ограниченности тригонометрической функции (косинуса) для решения неравенств. Я проанализировала контрольно - измерительные материалы единого государственного экзамена пяти лет. Каждый год на этом экзамене в блоках «Б» и «С» встречаются задачи, решаемые методом оценки.

Год Задание ЕГЭ

2001 Решите уравнение +1 = cos4((x-2)∙ sin(2x + 1))

2002 Найдите нули функции: Н(х) = 6х + х2 – х3

2003 Найдите наибольшее целое значение функции:У=1,5 +10cosx +14.

2004 Найти число целых решений неравенства (sinx + 5)∙≤ 0

2005 Найдите нули функции: у =.

2001г. Решение этого уравнения мне стало понятно только в 10 классе.

Уравнение можно записать в виде

+1=cos4((x−2)∙sin(2x+1)). Так как левая часть равенства не меньше 1,а правая меньше или равна 1,то равенство возможно при условии

cos4((x−2)∙sin(2x+1))=1; log(x2−3x+3)=0, cos((x−2)∙sin(2x+1)=1; х2 − 3х + 3 = 1

(х − 2)∙sin(2x+1) = πk, kZ.

Решим первое уравнение х2 −3х + 2 = 0 х1,2 = = ; х1 = 2; х2 = 1.

Полученные значения подставим во второе уравнение:

1) х1 = 2; (2−2)∙sin5 = 0 – равенство выполняется при k = 0;

2) х2 = 1; (1−2)∙sin 3 = −sin 3, равенство −sin3 = πk не выполняется ни при каком kZ

ОТВЕТ: 2.

2003 год.

Для решения этой задачи моих знаний было достаточно уже в 9 классе, только в учебнике таких задач не встретить.

Найти наибольшее целое значение функции у = 1,5+ 10cosx + 14

Эту функцию можно записать так: у = 1,5∙5 + 10cosx +14.

Наибольшее значение ‌‌ cosx ‌ = 1, наибольшее значение cosx = 1. Значит наибольшее значение данной функции у = 7,5∙1+10∙1+14 = 31,5. Тогда наибольшее целое значение функции равно 31.

ОТВЕТ: 31.

2004год.

Найдите число целых решений неравенства (sin x + 5)∙.

Первый множитель sin x + 5 принимает только положительные значения (-1 ≤ sinx ≤ 1), поэтому имеем − 4 ≤ 0; х − 3 − 4 ≤ 0; −4≤ х−3≤ 4;

−1≤ х ≤ 7. В этом промежутке находятся следующие целые числа: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Всего целых решений неравенства 9.

ОТВЕТ: 9.

2005год.

Найдите нули функции: у =.

1) Нули функции—это значения х, при которых y=0. Так как ln2(x2 – 3x – 9)≥0 и ≥ 0, то их сумма равна 0, если каждое слагаемое обращается в нуль.

2) ln(x2 – 3x – 9) = 0 x3 – 8x – 8 = 0

3) ln(x2 – 3x – 9) = 0 ( x2 – 3x – 9 = 1 ( x2 – 3x – 10 = 0; x1=-2, x2=5.

4) Проверим, являются ли числа –2 и 5 корнями второго уравнения системы:

(-2)3 – 8 * 5 – 8 < > 0, значит, число 5 не является корнем второго уравнения.

ОТВЕТ: -5

Таких задач существует множество:

1. cos x + cos y – cos (x+y) = 3/2.

2. 2cos2 ((x2+x)/6) = 2x+2-x.

3. cos x - ≥y2 + π/3.

4. cos x ≥ y2 +.

5. 2y – 2cos x + ≤ 0.

6. tg2 x + ctg2 x = 2sin2 y sin2 y + cos2 z = 1

Все эти задачи достаточно непохожи друг на друга, однако их решения содержат общую идею—оценить аналитическое выражение или оценить одно выражение (чаще всего конкретным числом) «снизу», а другое—этим же числом «сверху».

Как же узнавать примеры, решаемые методом оценки? Можно прийти к выводу, что данная задача может быть решена этим методом:

• если в задаче переменных больше, чем заданных соотношений (уравнений или неравенств), - примеры 1, 3, 6;

• если в соотношениях содержатся разного вида функции, - примеры 2, 3, 4, 5;

• если в одной части соотношения стоят ограниченные функции, а в другой – конкретные числа, - ПРИМЕР 1.

• Если в задаче нужно найти наибольшее или наименьшее значение функции, не используя производную.

Для того, чтобы хорошо овладеть этим способом и уметь видеть, когда его применение может принести успех, нужно прорешать большое количество задач такого типа, чем я и собираюсь в дальнейшем заниматься.

Возникшие проблемы

• Отсутствует самостоятельная тема ограниченных функций в школьном курсе математики.

• Этот метод подразумевает знание математики 10-11 классов, а я учусь в 9 классе.

Главные выводы

Надо внимательно изучать свойства функций и смелее применять в нестандартных ситуациях, трудных задачах.

Самоанализ работы

Я работала долго и упорно. Немного научилась решать задачи методом оценки. Поняла, что надо серьёзнее относиться к изучению функций.

А теперь попробуйте узнать, ограничены эти функции или нет.

Если да, то чем?

1) y=x22) y=-sin x3) y=x

4) y=x5) y=6) y=1/x