Решение заданий из учебников
1). Ершов А. П. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 9 класса, - 2003г. – М. : «Илекса».
2). Виленкин Н. Я. Учебник для учащихся 9 класса с углублённым изучением математики. – 2006 – М. : «Просвещение».
х3+x2-8x+6=0
Делители числа 6: +-1; +-2; +-3; +-6.
P(1)=13+12-8*1+6 – являются корнем.
Делим на x-1.
х3+x2-8x+6 x-1
х3 -x2 х2+2x-6
0 х3+x2-8x+6=(x-1)(х2+2x-6)
(x-1)(х2+2x-6)=0 x-1=0 или х2+2x-6=0 x=1 D=4+24=28 x1=(-2+2)/2=(-2+2)/2=-1+ x2=-1-
Ответ: -1; -1+; -1-.
х4+x3-4x2-2x+4=0
Делители числа 4: ±1;± 2; ±4.
14+13-4*12-2*1+4=0; 1 – является корнем.
По схеме Горнера.
1 1 -4 -2 4
1 1 2 -2 -4 0
(x-1)(x3+2x2-2x-4)=0 x=-2;
(-2)3+2(-2)2-2(-2)-4=-8+8+4-4=0; – 2 – является корнем.
По схеме Горнера.
1 2 -2 -4
-2 1 0 -2 0
(x-1)(x+2)(x2-2)=0 x-1=0 или x+2=0 или x2-2=0 x1=1 x2=-2 x2=2 x3=; x4=-
Ответ: 1; -2;;.
х4-3x3+x-3=0
Делители числа -3: ±1; ±3.
х=1; 14-3*13+1-3 ≠0.
х=-1; (-1)4-3(-1)3-1-3=0; -1 - является корнем.
По схеме Горнера.
1 -3 0 1 -3
-1 1 -4 4 -3 0
(x+1)(x3-4x2+4x-3)=0 x=3; 33-4*32+4*3-3=27-36+12-3=0
3 - является корнем.
По схеме Горнера.
1 -4 4 -3
3 1 -1 1 0
(x+1)(x-3)(x2-x+1)=0 x+1=0 или x-3=0 или x2-x+1=0 x=-1 x=3 D=1-4=-3 корней нет
Ответ: -1; 3.
(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)=-16
(x2+8x+7)(x2+8x+15)=-16
Пусть x2+8x+7=a а(a+8)+16=0 а2+8a+16=0
(a+4)2=0 a=-4 x2+8x+7=-4 x2+8x+11=0
D=64-44=20 х1, 2=(-8+-2)/2=-4+-
Ответ: -4+-.
(x2-x+1)4-6x2(x2-x+1)2+5x4=0 x=0 – не корень, значит делим на x4
((x2-x+1)/x)4-6((x2-x+1)/x)2+5=0
Пусть ((x2-x+1)/x)2=t t2-6t+5=0
D=36-20=16 t1=(6+4)/2=5; t2=(6-4)/4=1
1). ((x2-x+1)/x)2=5 2). ((x2-x+1)/x)2=1
(x2-x+1)/x= x2-x+1=x x2-x+1=x x2-2x+1=0 x2-(1+)x+1=0 (x-1)2=0
D=(-1+)2-4=1+2+5-4=x=1
=2+2=2(1+) x1, 2=(1++-(2(1+))/2
Ответ: 1; (1++- (2(1+))/2.
х4+12x3-15x2-12+1=0
1/1=1=(-1)2; 12/(-12)=-1, значит уравнение возвратное.
Почленно разделим на x2 ≠0.
х2+12x-15-12/x+1/x2=0
(x2+1/x2)+(12x-12/x)-15=0
(x2+1/x2)+12(x-1/x)-15=0 пусть x-1/x=a; (x-1/x)2=a2, тогда
(x2+1/x2)-2х(1/x)=a2
(x2+1/x2)=a2+2 a2+2+12a-15=0 a2+12a-13=0
D=144+52=196 а1=(-12+14)/2=1; a2=(-12-14)/2=-13 x-1/x=1 x-1/x=-13 x2-x-1=0 x2-13x-1=0
D=1+4=5 D=169+4=173 х1, 2=(1+-)/2 x3, 4=(-13+-)/2
Ответ: (1+-)/2; (-13+-)/2.
(x2-6x-9)2=x(x2-4x-9) x2(x-6-9/x)2=x(x-4x-9/x)
(x-6-9/x)=x-4-9/x пусть (x-4)-9/x=a
(a-6)2=a a2-13a+3b=0
D=49 а1=8; a2=5 x-9/x=8 x-9/x=5 x2-8x-9=0 x2-5x-9=0
D=64+36=100 D=25+36=61 х1=(8+10)/2=9 x3, 4=(5±)/2 х2=(8-10)/2=-1
Ответ: 9; -1; (5±)/2.
(x+1)4+(x+3)4=16, замена: t=x+(a+b)/2 пусть t=x+(1+3)/2; t=x+2;x=t-2
(t-2+1)4+(t-2+3)4=16
(t-1)4+(t+1)4=16 t4+4t3+6t2+4t+1+t4-4t3+6t2-4t+1=16
2t4+12t2-14=0 пусть t2=a
2a2+12a-14=0
D=144-4*2(-14)=144+112=256 а1=(-12+16)/4; a2=(-12-16)/2=-28/4=-14 t2=1 t2=-14; -14 <0 корней нет t1=1; t2=-1 x=t-2 x=t-2 x=1-2 x=-1-2 x=-1 x=-3
Ответ: -1; -3.
(x2-x)/(x2-x+1)-(x2-x+2)/(x2-x-2)=1 пусть x2-x=a a/(a+1)-(a+2)/(a-2)=1
О. З. (a+1)(a-2) a(a-2)-(a+2)(a+1)=(a-2)(a+1) a2-2a-a2-a-2a-2a-2-a2-a+2a+2=0
-a2-4a=0 a+4a=0 a(a+4)=0 a=0; a=-4 x2-x=0 x2-x=-4 x(x-1)=0 x2-x+4=0 x=0 или x-1=0D=1-16=-15 x=1D <0, корней нет
Ответ: 0; 1
Выделение квадрата двучлена.
х2+(8+x2)/(x+9)2=40 х2+81x2/(x+9)2+2x(9x/x+9)-2x(9x(x+9))=40
(x-9x(x+9))2+18(x2/x+9)=40 x-(9x/x+9)=(x2+9x-9x)/(x+9)=x2/x+9
(x2/x+9)2+18(x2/x+9)=40 пусть x2/x+9=a a2+18a-40=0
D=324+160=484 а1=(-18+22)/2=2; a2=(-18-22)/2=-20 x2/(x+9)=2 x2/(x+9)=-20 x2+-2x-18=0 x2+20x+180=0 x+9 ≠0 x+9 ≠ 0
D=4+72=76 D=400-720=-320, корней нет
X1, 2=(2±2)/2=1±
Ответ: 1±.
х2+(x/x-1)2=8 х2+(x/x-1)2+2x(x/x-1)-2x(x/(x-1)=8
(x-x/x-1)2-(x2/х-1)=8 x+(x/x-1)=x2/x-1
(x2/x-1)2-2(x2/x-1) пусть x/x-1=a a2-2a-8=0
D=4+32=36 а1=(2+6)/2=4; a2=(2-6)/2=-2 х2-4x+4=0 x2+2x+2=0 x-1 ≠0 x-1 ≠0 x=2 D=4-8=-4, корней нет
Ответ: 2.
х3+1/x3+x2+1/x2+x+1/x=6; x=0 – не корень.
х+1/x=a
(x+1/x)2=a2 x2+1/x2+2x(1/x)=a2 x2+1/x2=x2-2
(x+1/x)3=a3 x3+3x2 (1/x)+3x(1/x2)+1/x3=a3 x3+1/x3=a3-3x-3/x x3+1/x3=a3-(3x+1/x) x3+1/x3=a3-3a a3-3a+a2-2+a-6=0 a3+a2-2a-8=0 делители числа -8: ±1; ±2; ±4.
а1=2; 23+22-2*2-8=0; 2 – корень.
Разделим на (a-2)
a3+a2-2a-8 a-2
a3-2a2 а2+3a+4
(a-2)(а2+3a+4)=0 a-2=0 или а2+3a+4=0 a=2 D=9-16=-7; корней нет x+1/x=2 x2-2x+1=0
(x-1)2=0 x=1
Ответ: 1.
(x+4)/(x-1)+(x-4)/(x+1)-(x+8)/(x-8)-(x-8)/(x+2)=-8/3
(x-1+5)/(x-1)+(x+1-5)/(x+1)-(x-2+10)/(x-2)-(x+2-10)/(x+2)=-8/3
1+5/(x-1)+1-5/(x+1)-1+10/(x-2)-1-10/(x+2)=-8/3
5/(x-1)-5/(x+1)+10/(x-2)-10/(x+2)=-8/3
5/(x-1)-5/(x+1)=10/(x+2)-10/(x-2)-8/3
10/(x2-1)-40/(x2-4)+8/3=0
Пусть x2=a О. Д. З. : а≠1;4.
10/(a-1)-40/(a-4)+8/3=0
(4a2-65a+16)/(a-1)(a-4)=0
4a2-65a+16=0
D=3969 а1, 2=(65+-63)/8 а1=16; a2=1/4; х2=16 ; x2=1/4; х1=4; x2=-4; x3=-1/2; x4=1/2.
Ответ: ±4; ±1/2.
2x/(x2-4x+2)+3x/(x2+x+2)=-5/4 x=0 – не корень
2x/x(x-4+2/x)+3x/x(x+1+2/x)=-5/4
Пусть x+2/x=a О. Д. З : a ≠ -1; 4
D=729+1040=1769
2/(a-4)+3/(a+1)=-5/4;
8(a+1)+12(a-4)+(5a-20)(a+1)=0
8a+8+12a-48+5a2-20a-20=0
5a2+5a-60=0 a2+a-12=0
D=1+48=49 а1=(-1+4)/2=3; a2=(-1-7)/2=-4 х+2/x=3 x+2/x=-4 х2-3x+2=0 x2+4x+2=0
D=9-8=1 D=16-8=8
X1=(3+1)/2=2; x2=(3-1)/2=1 x1, 2=(-4±2)/2=-2±
Ответ: 1; 2; -2±.
Комментарии