Учеба  ->  Науки  | Автор: | Добавлено: 2015-05-28

Родоначальник античной науки Фалес Милетский и его теоремы

Считается, что изучение геометрии было начато в древности при решении практических задач. Постепенно, в связи с потребностями людей обобщать, доказывать, отыскивать зависимости, устанавливать логические связи, создавалась геометрическая наука. Наибольшее развитие она получила в Древней Греции, т. к. там был достигнут высокий уровень культурной и общественно – политической жизни.

Геометрия, которая изучается в школе, называется евклидовой, по имени Евклида, создавшего руководство из 11 книг по математике под названием «Начала». Однако изложенные в них сведения не могли принадлежать одному человеку. Они были накоплены тысячелетиями многими учёными.

Первым известным учёным геометром считают Фалеса Милетского, родившегося в середине 6 века до нашей эры и прожившего долгую яркую жизнь. Моя работа посвящена изучению исторических сведений о жизни и творческом пути учёного. Я хочу ответить на вопросы: почему Фалеса Милетского называют одним из семи мудрецов древности, как он повлиял на развитие различных наук, каков его вклад в развитие геометрии, где и как можно применить его открытия? Я докажу теоремы Фалеса, более глубоко изучу обобщения, связанные с пропорциональностью отрезков. Тем более, на уроках геометрии этой теме отводится немного времени, решается довольно узкий круг задач, что не даёт возможности разобрать и применять на практике её детально. При написании работы я рассмотрю вопросы, выходящие за рамки школьной программы, тем самым углублю свои знания. Это будет способствовать расширению моего кругозора, умению оперировать фактами, выбирать информацию из различных источников, что очень актуально в наше время. Я заинтересован в разработке данного исследования ещё и потому, что хочу создать полезное пособие – презентацию в Power Point, которое можно будет использовать на уроках при изучении т. Фалеса с целью повышения интереса у одноклассников к геометрии. Для каждой теоремы, высказанной в форме «если. то. », можно сформулировать ей обратную теорему, в которой условие является заключением, а заключение — условием. На уроках мы изучали теорему Пифагора, теорему Виета и обратные к ним, а на высказывание, обратное теореме Фалеса, не обратили внимание. В своей работе я хочу решить эту проблему, ответить на вопрос: верна ли теорема, обратная к теореме Фалеса, какое практическое значение она имеет? В ходе исследования я буду пользоваться различными методами: изучать теоретические сведения, анализировать и сравнивать информацию из различных источников. Целью моей работы является:

• изучение творческого пути учёного, особенно в части, касающейся доказательства теоремы, носящей имя Фалеса;

• углубление знаний по теме и применение их на практике;

• создание пособия в виде презентации для использования на уроках геометрии.

В ходе своей работы я решу следующие задачи:

• изучу и проанализирую литературу по данной теме;

• познакомлюсь с биографией учёного, с его вкладом в развитие науки;

• подчеркну значимость теоремы Фалеса для изучения геометрии.

Объектом исследования будет являться деятельность первого учёного - геометра Фалеса Милетского, предметом – его теоремы и обобщения.

Мы знаем, что с помощью теоремы Фалеса можно делить отрезок на п равных частей, проводя через точки деления параллельные прямые. В таком случае можно выдвинуть гипотезу: если окажется верным высказывание, обратное теореме Фалеса, то к известным на практике способам построения параллельных прямых с помощью линейки и треугольника, можно добавить ещё один с помощью циркуля и линейки. Построив две произвольные прямые и, отложив на них равные между собой отрезки, можно утверждать, что прямые, соединяющие точки деления будут параллельны.

2. Родоначальник античной науки

Для того, чтобы ответить на поставленные вопросы, начну последовательно излагать материал. Итак, в шестом веке до нашей эры произошел решительный поворот в развитии науки. И связан он с именем Фалеса, уроженца города Милета. Как рассказывают древние историки, это был красивый многолюдный и шумный город купцов, торговцев, ремесленников, мореплавателей. Жемчужиной Эллады называли его греки. В четырёх гаванях города встречались корабли, приплывшие из Сирии, Финикии, Египта, Крита. Сюда привлекали гостей не только красоты города, но и тончайшая шерсть милетских овец, славившаяся повсюду, великолепные сорта роз, из которых изготавливали драгоценное розовое масло. Окрестности города утопали в густых оливковых садах. Тесная зависимость жизненного успеха людей от решения различного рода вопросов привела к тому, что Милет стал колыбелью античной науки. В этом городе, по мнению некоторых историков, родился основатель античной школы Фалес.

Из биографии Фалеса

Достоверно известно только то, что Фалес был знатного рода, и получил на родине хорошее образование. Собственно милетское происхождение Фалеса ставится под сомнение; сообщают, что его род имел финикийские корни, и, по мнению других историков, в Милете он был пришельцем. Он имел титул одного из семи мудрецов Греции и был поистине первым философом, первым математиком, первым астрономом в Греции.

Несмотря на огромное значение, которое имеет его имя, о нем известно мало. Относительно времени жизни Фалеса существует несколько версий. Авторы первой версии утверждают, что он родился в период с 39-й по 35-ю олимпиаду, а умер в 58-ю в возрасте 78 или 76 лет, то есть приблизительно с 624 по 548 до н. э. Другие источники сообщают, что Фалес был известен уже в 7-ю олимпиаду (752—749 до н. э. ); но в целом время жизни его сводится на период с 640—624 по 548—545 до н. э. , т. е. умереть Фалес мог в возрасте от 76 до 95 лет. Одни историки утверждают, что Фалес жил в одиночестве и сторонился государственных дел; другие — что был женат, имел сына Кибиста; третьи — что, оставаясь холостяком, усыновил сына сестры.

Будучи купцом, он использовал торговые поездки в целях расширения научных сведений, и знания, которые он приобрел в Финикии и Египте, перенес в Грецию. Фалес тратил свои сбережения и жил небогато. Он учил, что человеку нужна мудрость, а не деньги и был едва ли не единственным во всей Древней Греции человеком, служившим науке без преследования каких-нибудь практических целей. Его жизнь в Милете, посвящённая исключительно изучению природы и занятиям астрономией, не вызывала уважения у жителей, которые занимались в основном торговлей. Они считали, что умный человек должен отдавать свой труд и время только занятиям, приносящим прибыль, насмехались над ним. Рассказывают, что однажды ночью Фалес шел, не глядя себе под ноги, и рассматривал звездное небо. Он споткнулся и упал в яму. Люди стали над ним смеяться, а одна женщина сказала:

- Что ж, мудрец, хочешь познать то, что на небесах, а не видишь даже того, что у тебя под ногами?

Эта фраза стала знаменитой. Ответил на нее другой знаменитый философ - Гегель уже в ХIХ веке.

– Те, что смеются над философами, никогда не упадут в яму, - сказал он. – Ведь они уже лежат на самом ее дне.

Открытия учёного

Два случая не только подняли Фалеса во мнении его сограждан, но и заставили их признать его первым мудрецом во всей Греции. Сведения о первом случае сообщает Аристотель. Однажды уже с самого начала весны Фалес предвидел, что предстоит богатый сбор маслин. С целью доказать своим согражданам, что и из его занятий могут быть извлечены денежные выгоды, он заблаговременно скупил по низкой цене как в Милете, так и в Хиосе все свободные прессы для выделки масла. Когда его предвидение оправдалось и вследствие громадного урожая маслин потребовалось большое количество прессов, он продал их по очень высокой цене и таким образом получил значительную выгоду.

Вторым случаем, распространившим славу Фалеса на всю Грецию, было сделанное им всенародно в Милете предсказание о предстоявшем в 585 г. (28 мая) полном солнечном затмении, граница которого, как показывают новейшие астрономические вычисления, только несколькими милями проходила севернее Милета. Для этого предсказания Фалес использовал почерпнутые им в Египте астрономические сведения, восходящие к наблюдениям и обобщениям вавилонской науки. (Именно это событие помогло историкам установить довольно точно время его жизни). После этого Фалес приобрёл заметное влияние и на политическую жизнь своего родного города.

Ему же приписывают такие астрономические открытия, как объяснение причины солнечных затмений, установление времени солнцестояний и равноденствий, определение длины года в 365 дней; считается, что Фалес изобрёл глобус, «открыл» для греков созвездие Малой Медведицы как путеводный инструмент, заметив, что Полярная звезда находится под одним и тем же углом над горизонтом.

На протяжении всей жизни его интересовали два тесно связанных между собой вопроса, а именно: из чего всё произошло и что составляет принцип и сущность всего? Фалес отвечал на эти вопросы следующим образом: вода есть сущность всего, из воды всё произошло и в воду все вновь возвращается. В пользу этого мнения он приводил три довода:

• во-первых, семя всех живых существ есть нечто обладающее влажностью;

• во-вторых, все растения питаются влагой и, благодаря ей, приносят плоды; лишённые же влаги растения засыхают;

• в-третьих, даже огонь солнца и светил питается испарениями воды.

По мнению Фалеса, Вселенная представляет собой жидкую массу, в середине которой находится воздушное тело, имеющее форму чаши, повёрнутой открытой стороной вниз. Вогнутая поверхность этой чаши — небо; на нижней поверхности, в центре её, плавает диск, обтекаемый водой. «Вода – изначальный элемент, её осадок – земля, её пары – воздух и огонь», - считал Фалес. Таким образом, он явился родоначальником греческой стихийной материалистической философии.

Предание рисует Фалеса не только собственно философом и учёным, но также «тонким дипломатом и мудрым политиком»; Фалес пытался сплотить города Ионии в оборонительный союз против Персии. Сообщается, что Фалес был близким другом милетского тирана Фрасибула; был связан с храмом Аполлона Дидимского, покровителя морской колонизации.

Фалес нашёл способ определять расстояние от берега до видимого корабля,

По легенде, эта теорема была сформулирована в несохранившейся «Морской астрономии» Фалеса.

Столь же остроумно предложил он измерять высоту предметов. Став недалеко от предмета, надо дождаться, пока тень от человека не станет равной его росту. Измерив длину тени предмета, можно заключить, что она равна высоте предмета. Считают, что таким способом Фалес измерил высоту египетских пирамид.

Более всего Фалес известен тем, что ввел в геометрию доказательства. Многие математические правила были открыты намного раньше, но опытным путём. Фалес начал строить геометрию на логических основаниях, постепенно переходя при помощи доказательств от одного положения к другому. Ему принадлежит только начало этой системы, но ее продолжение оказалось настолько грандиозным, что можно говорить о нем как о родоначальнике науки. Кроме того, Фалесу приписывают доказательство таких теорем:

• Вертикальные углы равны

• Окружность диаметром делится пополам

• Углы при основании равнобедренного треугольника равны

• Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности- прямой

• Треугольники с равной одной стороной и равными углами, прилегающими к ней, равны

Трудно сказать, что в научном перечне принадлежит именно ему, однако до сих пор мы изучаем теоремы, носящие его имя.

Теорема Фалеса

Формулировка теоремы:

Две пары параллельных прямых, отсекающие на одной секущей равные отрезки, отсекают на любой другой секущей также равные отрезки.

Доказательство:

1) Проведём отрезки А1M и A2C, параллельные прямой b.

2) Треугольники А1ОA2 и A2CA3 равны по второму признаку равенства треугольников (А1А2=А2А3;угол A2А1О равен углу A3A2C; угол А1A2О равен углу A2A3C).

3) Из равенства треугольников следует, что A1О= А2С, а т. к. А2С=OM, то A1O=ОМ; A1O =B1B2, OM = B2B3, следовательно B1B2=B2B3.

ч. т. д.

Также неважно, где находятся отрезки на секущих. Рассмотрим вариант с

Также неважно, где находятся отрезки на секущих. Рассмотрим вариант с несвязанными парами отрезков, который не рассматривается в школьной программе: пусть угол пересекают прямые AA1 BB1 CC1 DD1 и при этом AB = CD.

Доказательство в случае секущих

Доказательство:

1) Дополнительные построения: проведём через точки A и C прямые, параллельные другой стороне угла. Получим два параллелограмма AB2B1A1 и CD2D1C1. Согласно свойству параллелограмма: AB2 = A1B1 и CD2 = C1D1.

2) Рассмотрим треугольники АВ2В и СD2D:

AB = CD согласно условию теоремы.

Углы ВАВ2 и DCD2 равны как соответственные, образовавшиеся при пересечении параллельных АВ2 и СD2 прямой АD.

Углы АВВ2 и СDD2 DCD2 равны как соответственные, образовавшиеся при пересечении

BB1 и DD1 прямой АD, следовательно треугольники АВ2В и СD2D равны на основании второго признака равенства треугольников.

3)A1B1 = C1D1 как соответственные элементы в равных треугольниках АВ2В и СD2D.

ч. т. д.

Обобщённая теорема Фалеса

Также существует обобщённая теорема Фалеса:

Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки:

1) Треугольники ОA1A2 и A2A3N подобны по второму признаку.

Составим пропорцию: A1A2 : A2A3=A1O : A2N

A1O=B1B2, A2N=B2B3, следовательно: A1A2 : A2A3= B1B2 : B2B3.

Из свойства пропорции имеем: A1A2 : B1B2=A2A3 : B2B3

2) Аналогично доказывается, что A1A2 : B1B2=A1A3 : B1B3

3) Т. е. мы имеем, что A1A2 : B1B2= A2A3 : B2B3= A1A3 : B1B3 ч. т. д

Теорема Фалеса является частным случаем обобщённой теоремы Фалеса, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.

Применение теорем

Данные теоремы имеют большое практическое применение, например при делении отрезка на п равных частей

Задача: разделить отрезок АВ на п равных часте

А А1 А2 А3 Ап-1 Ап а

С помощью обобщённой теоремы Фалеса можно решить задачу о построении четвёртого пропорционального отрезка.

Задача: Даны отрезки а,b, с. Построить отрезок х=bс/а

Построенный отрезок называется четвёртым пропорциональным. Это название связано с тем, что он является четвёртым членом пропорции а/b = с/х.

Теорема, обратная к теореме Фалеса

Как я уже отмечал выше, на уроках мы изучали некоторые теоремы, обратные к хорошо известным нам. В дальнейшем исследовании я постараюсь ответить на вопрос: верна ли теорема, обратная к теореме Фалеса. Рассмотрим разные случаи.

Вывод: Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины, то обратная теорема оказалась верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так:

Если прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной и на другой стороне угла равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны.

В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины.

Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обоих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (был приведён контрпример — трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований.

Использование теоремы, обратной к теореме Фалеса на практике

3) Нам известны некоторые практические способы построения параллельных прямых с помощью признаков параллельности. Я же предлагаю воспользоваться частным случаем истинности теоремы, обратной к теореме Фалеса и построить параллельные прямые с помощью циркуля и линейки.

План построения:

1. Построить произвольный угол АВС

2. От точки В на стороне ВА отложить равные между собою отрезки ВХ=ХК=КМ=

3. От точки В на стороне ВС отложить также равные между собой отрезки ВS=SD=DR=

4. Провести прямые ХS, KD, МR и т. д.

5. ХS║ KD ║ МR , т. к. если прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной и на другой стороне угла равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны.

Построение

Итак, подводя итог работы, необходимо сказать, что проблема, поставленная в начале исследования, решена. Я считаю, что ответил на вопросы: верна ли теорема, обратная к теореме Фалеса и какое практическое значение она имеет? Я проанализировал литературу по теме, обобщил полученные из разных источников знания, подчеркнул значимость теоремы Фалеса.

Как можно заметить гипотеза, выдвинутая мною в начале исследования, подтвердилась частично, лишь в том случае, если прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной и на другой стороне угла равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины. Именно этот способ можно применять для построения параллельных прямых с помощью циркуля и линейки. Подчеркну ещё раз, что данный материал не изучается на уроках геометрии.

Кроме того, я познакомился с биографией древнегреческого учёного Фалеса, с его вкладом в развитие геометрии, создал презентацию по теме исследования, которую можно использовать как практическое пособие на уроках, дополнительных занятиях, элективных курсах. Её печатный вариант прилагаю к работе. Думаю, что предложенный мной материал будет полезен многим учащимся.

Проведённые мною исследования этой темой не ограничиваются. Во время изучения литературы меня заинтересовал вопрос о пропорциональных отрезках, о пропорциях в природе, архитектуре, искусстве и это будет темой другого моего исследования

В1 В2 В3 b

Дано: а и в - прямые, А1€ а, А2€а, А3€а,

А1А2=А2А3, А1€ с, А2€d, А3€е, с║ d ║е

Доказать: В1€ в, В2€в, В3€в,

В1В2=В2В3

Согласно теореме Фалеса, если A1A2 = A2A3, то B1B2 = B2B3.

В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих, она верна, как для пересекающихся прямых, так и для параллельных.

Дано: угол пересекают параллельные прямые АА1, ВВ1, СС1, DD1 , AA1 BB1 CC1 DD1

AB=CD – несвязанная пара отрезков

Доказать: A1В1=C1D1 для чего использовал свойство подобия треугольников. Проиллюстрируем этот пример на чертеже. Пусть A - точка берега, B - корабль. На берегу восстанавливается перпендикуляр AC произвольной длины. Из точки C проводится перпендикуляр CD в противоположную от моря сторону. Из точки D смотрят на корабль и фиксируют на AC точку E - точку пересечения AC c DB. Треугольники СЕD и АЕB подобны, а расстояние AB во столько раз больше (или меньше) расстояния CD, во сколько раз AC больше или меньше CE.

1. Проведём из точки А полупрямую а, не лежащую на прямой АВ.

2. Отложим на полупрямой а равные отрезки:АА1, А1А2, А2А3, , Аn-1Аn.

3. Соединим отрезком точку Аn с точкой В.

4. Через точки А1,А2, Аn-1 проведём прямые, параллельные АnВ.

5. По теореме Фалеса отрезки АВ1, В1В2, ,Вn-1В равны.

3) Если на параллельных прямых откладывать все равные отрезки, то в результате мы получим два равных между собой параллелограмма, и теорема, обратная теореме Фалеса будет верной, но этот случай неинтересен, т. к. его нельзя использовать для построения параллельных прямых, т. к. изначально прямые задаются не произвольно.

2) Если прямые не параллельны, то как видно из, теорема, обратная к теореме Фалеса также неверна

1) На двух параллельных прямых отложены равные между собой отрезки, как видно, прямые, соединяющие их не являются параллельными, т. е. теорема, обратная теореме Фалеса неверна.

А1В1║ А2В2║ А3В3

Доказать: A1A2 : B1B2= A2A3 : B2B3= A1A3 : B1B3

Доказательство:

Дополнительные построения: проведём через точки А1, А2 прямые, параллельные В1В3, которые пересекают А2В2 в точке О и А3В3 в точке С

Доказательство:

1)А1А2В1В2 и А2А3В2В3 – параллелограммы

2) А1А2= В1В2, А2А3= В2В3, а т. к. А1А2=А2А3, то В1В2=В2В3 ч. т. д.

D 1. Строим любой неразвёрнутый угол с вершиной О;

2. Откладываем на одной стороне угла отрезки ОА = а, ОВ = b;

3. Откладываем на другой стороне угла отрезок ОС=с;

4. Соединим точки А и С;

5. Проведём через точку В прямую ВD, параллельную АС;

6. Отрезок ОD = х.

Действительно по теореме о пропорциональных отрезках

ОА/ОВ=ОС/ОD, отсюда

ОD= ОВ*ОС/ОА = b*с/а и отрезок ОD есть искомый отрезок.

c d e а А1 А2 А3 b В1 В2 В3

4) Построим две произвольные пересекающиеся прямые. Отложим равные между собой отрезки на сторонах получившегося угла. Соединим точки деления прямыми. В силу пропорциональности отрезков, отложенных на разных сторонах угла, имеем, что эти прямые параллельны, т. е. теорема, обратная теореме Фалеса верна!

1) Теорему о параллельности средней линии треугольника одной из сторон можно доказать с помощью теоремы, обратной к теореме Фалеса.

2) Для доказательства параллельности средней линии трапеции основаниям также можно использовать теорему, обратную теореме Фалеса, учитывая, что BC и AD параллельны, а пары отрезков BL, LА и СМ, МD пропорциональны

К ХS║ KD ║ МR

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)