Шаг в науку математики

О, математика земная,

Гордясь, прекрасная, собой

Ты всем наукам мать родная,

И дорожат они тобой.

Твои расчёты величаво

Ведут к планетам корабли

Не ради гордости Земли.

Чтобы мысль людская в поколение

Несла бесценные дары,

Великих гениев творенья,

Полёты в дальние миры.

В веках овеяна ты славой,

Светило всех земных святил.

Тебя царицей величавой

Недаром Гаусс окрестил.

Строга, логична, величава,

Стройна в полёте, как стрела,

Твоя немеркнущая слава

В веках бессмертье обрела.

Я славлю разум человека,

Дела его волшебных рук;

Надежду нынешнего века –

Царицу всех земных наук.

Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время всё шире проникает в повседневную жизнь, все более внедряется в традиционно далёкие от неё области. Интенсивная математизация различных областей человеческой деятельности особенно усилилась с появлением и развитием ЭВМ. Компьютеризация общества, внедрение современных информационных технологий требует математической грамотности человека почти на каждом рабочем месте. Это предполагает и конкретные математические знания, и определённый стиль мышления, вырабатываемый математикой. Практическая полезность математики обусловлена тем, что её предметом являются фундаментальны структуры реального мира, пространственные формы и количественные отношения – от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте людей, до достаточно сложных, необходимых для развития научных и технологических идей.

Каждый человек должен владеть практическими приёмами геометрических измерений и построений, читать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков, понимать вероятностный характер случайных событий и уметь оценить вероятность наступления того или иного исхода, составлять несложные алгоритмы и др.

Математическое образование необходимо и для общей культуры человека. Это касается знакомства с методами познания действительности. Изучение математики способствует эстетическому воспитанию человека, формируя понимание красоты и изящества математических рассуждений, помогает восприятию геометрических форм, усвоению идей симметрии, развивает воображение, пространственные представления.

В математике рассматривается очень много важных и интересных разделов. Один из самых главных – это неравенства. С этой темой мы познакомились ещё в начале своего обучения, а в дальнейшем обогащали свои знания, рассматривая более сложные, но не менее интересные неравенства. Всё же меня заинтересовали классические неравенства. Но прежде, чем перейти к рассмотрению интересующей меня теме, я хотела бы остановиться на свойствах и способах решений типичных неравенств.

Неравенства являются важной частью математического аппарата, применяющегося для решения задач, теории и практики. Ещё в детстве мы познакомились со словами «больше» и «меньше» и знаками «>» и «<», с помощью которых записываются отношения между числами. Кроме того, в жизни мы часто встречаемся с выражениями «не меньше» или «не больше» и прекрасно понимаем их. Например, если кто-то решил иметь не больше двух «троек» в четверти, то он выполнит своё намерение, если у него не будет ни одной «тройки» или он получит одну или две «тройки». Его намерение не будет выполнено, если число «троек» будет больше двух. В этом и состоит обычный смысл выражения «не больше».

В математическом языке для отрицаний «не меньше» и «не больше» имеются специальные знаки: ≥ и ≤, с которыми мы также знакомы. Словосочетание «меньше или равно» означает в точности то же самое, что и «не больше», а «больше или равно» - то же, что и «не меньше». Таким образом, неравенство a≤b верно, если a<_b, неравенство a≥b верно, если a>b или a=b. Так верными являются неравенства: 5≤8, 5≤5, а неравенство 5≤4 – неверное.

Знаки < и > называются знаками строгого неравенства, а знаки ≤ и ≥ - знаками нестрогого неравенства.

Для работы с неравенствами нужно знать их свойства. Эти свойства, по сути, являются правилами перехода от одних неравенств к другим. Они напоминают свойства равенств, но есть и существенные различия.

Преобразуя выражения, вы всегда записываете цепочку равенств. При этом вы основываетесь на очевидном свойстве равенств: если a=b и b=c, то a=c. Оно имеет специальное название – свойство транзитивности.

Неравенства также обладают свойствами транзитивности:

Если a<_b и b

a < _b < c a b c

В справедливости этого свойства легко убедиться, прибегнув к координатной прямой: если точка a лежит левее точки b, а точка b левее точки c, то точка a лежит левее точки c.

Для равенств справедливо также следующее свойство: если a=b, то a+c=b+c

- прибавив к равны числам одно и то же число, мы опять получим равные числа.

Аналогичное свойство имеет место и для неравенств: если a<_b и c – любое число, то a+c<_b+c

В самом деле, если точка a расположена левее точки b, то при перемещении этих точек на одно и то же расстояние – влево или вправо – их расположение не меняется.

c>0 c>0 a a+c b b+c c<0 c<0 a+c a b+c b

Словами это свойство неравенств читают так: к обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число.

Из рассмотренного свойства легко получить полезное следствие: любое слагаемое можно переместить из одной части неравенства в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный.

Вообще: если a>b и c>0, то ac > bc если a>b и c<0, то ac < _bc

Обе части неравенства можно умножить (или разделить) на одно и то же положительное число, оставив знак неравенства без изменения;

Обе части неравенства можно умножить (или разделить) на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.

Известно, что равенства можно почленно складывать, если a=b и c=d, то a+c= b+d. Точно так же и для неравенств: если a<_b и c< d, то a+c<_b+d

В самом деле, каждое слагаемое первой суммы меньше соответствующего слагаемого второй, поэтому первая сумма меньше второй. Таким образом, если сложить почленно неравенства одного знака, то получим неравенство того же знака.

Наконец, неравенства одного знака с положительными членами можно почленно перемножать: если a<_b и c< d, и a, b, c, d – положительные числа, то ac < _bd.

Заметим, что все свойства были сформулированы неравенств со знаком «<». Понятно, что аналогичные свойства справедливы и для других знаков неравенства: >, ≤, ≥.

Например:

1) Известно, ac, d>b. Сравните: aи b, aи d, c и d.

Решение:

Т. к. a < c, b > c, то a < _b

Т. к a < _b, d > b,то a < d

Т. к. b > c, d > b, то d > c

2) Можно ли сделать вывод о соотношении между числами a и c, если известно, что: решение: а) a > b, b = c, то a > c б) a > b, b ≤ c, то a > c в) a < _b, b ≤ c, то a < c

3) Запишите несколько неравенств, которые можно получить из неравенства

X + Y – 3 > Z + 5 переносом слагаемых из одной части в другую.

Решение:

X + Y – Z > 8;

X + Y > Z + 8;

8X + 8Y – 8Z > 64.

Свойства неравенств.

1) Если a > b, то b < a.

2) Если a > b, b > c, то a > c.

3) Два неравенства вида (1) a < _b и b < c или (2) a > b и b > c могут быть объединены в двойное неравенство: a < _b < c и a > b > c.

4) Если a > b и m – любое число, то a + m > b + m

К обеим частям неравенства можно прибавить (или отнять) одно и то же число, в результате получается неравенство того же смысла.

Пример: 5>3; прибавим к обеим частям по 4, получим 9>7.

5) Если a > b и m > 0, то am > bm.

Обе части неравенства можно умножить на одно и то же положительное число, от чего смысл неравенства не меняется.

При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число m (m<0) смысл неравенства меняется на противоположный, т. е.

если a > b и m<0, то am < _bm.

Пример: 3 >–1 умножим на –4; получим –12<4.

То же самое можно сказать и о делении обеих частей неравенства на число m (m≠0) поскольку деление сводится к умножению на

Действия над неравенствами

1) Сложение. Два или несколько неравенств одинакового смысла можно складывать. В результате получается неравенство того же смысла.

a>b c>d m>n a+c+m>b+d+n

2) Вычитание. Неравенство противоположного смысла можно почленно вычитать, в результате получим неравенство того же смысла, что и неравенство – уменьшаемое.

Если a > b и c < d и из первого неравенства вычитаем второе, то a–c > b−d.

Пример: –3 > –7

–3–4 > –7–5

–7 > –12.

3) Умножение. Два или несколько неравенств одинакового смысла можно перемножить между собой, если все их части положительны; в результате получим неравенство того же смысла.

a<_b c0)(c>0), то ac < _bd

Пример: 3 < 5

12 < 30.

4) Деление. Два неравенства противоположного смыла можно делить одно на другое, если все части неравенств – положительные числа: в результате получим неравенство – делимое, т. е. неравенство, которое делим на другое: a>b c0,c>0)

Пример: 4>3

Решение неравенства с одним неизвестным.

Неравенство вида ax+b>a1+b1 или ax+b < a1+b1 называются неравенства первой степени с одним неизвестным. Таковыми будут, например, неравенства 1)-5>+2

2) 4 – 5x

Решением неравенства называется всякое значение x, которое удовлетворяет данному неравенству.

Например, число 2 является решением неравенства 4-5х < х +22, так как

4 - 5·2 < 2+22, -6<24.

Решить неравенство – это значит найти все значения неизвестного, удовлетворяющие данному неравенству. Отыскание решения всякого неравенства первой степени с одним неизвестным приводит к простейшим неравенствам вида 1) х > а

2) х < в.

В первом случае говорят, что число a есть нижняя граница значений неизвестного. Это значит, что любое число, большее числа a, является решением неравенства. Если на числовой оси построим точку, соответствующую числу a, то значение неизвестного х, удовлетворяющие неравенству х > a, изображаются точками, лежащими правее точки х =a. X>0

В простейшем неравенстве x<_b число b называется верхней границей неизвестного, является решением этого неравенства. Графически неравенство x<_b иллюстрируется следующим образом: на числовой оси отмечается точка, соответствующая числу b, тогда любая точка, расположенная левее точки b, изображает число, удовлетворяющее данному неравенству.

Неравенства первой степени с одним неизвестным решаются по той же схеме, как уравнения первой степени,

Пример: - 1> 3 - x

Умножим обе части на 3>0, чтобы освободиться от дробей:

2х – 5 – 3 > 9 – 3х.

Перенесём член с неизвестным из правой части в левую, а свободный член из левой в правую, изменяя у переносимых членов знаки на противоположные: 2х+3х > 9+8; 5х > 17.

Разделив обе части на 5>0, получим х>3,4. Число 3,4 – нижняя граница значений неизвестного х.

Понятие о доказательстве неравенств:

Неравенство, справедливое при всех значениях букв, входящих в него (быть может, с некоторыми ограничениями), называется тождественным неравенством. Относительно такого неравенства ставится вопрос не о решении его, а доказательстве.

В чем заключается доказательство и как оно проводится, поясняю на примерах.

Пример1: Доказать, что среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше их среднего геометрического, т. е. , что

Предположим, что данное неравенство справедливо, когда после возведения обеих частей в квадрат получим неравенство того же смысла (большему положительному числу соответствует больший квадрат).

, или a2+2ab+b2 4ab; a 2– 2ab +b2 0; (a+b)20

Очевидно, что последнее неравенство является тождественным, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Но это пока были поиски доказательства, а не само доказательство, так как когда мы данное неравенство начинали преобразовывать – возводить в квадрат обе части, прибавлять к обеим частям по одному и тому же члену и т. д. , ставя между частями неравенства все время знак ≥, то мы, в сущности, уже признали, что левая часть неравенства не меньше правой, а тогда и доказывать нечего. Если мы докажем, что произведённые операции обратимы, то этим будет доказано, что

Имеем: (a–b)2 ≥ 0 или a2+b2 ≥ 2ab.

Прибавим к обеим частям по 2ab: (a+b)2 ≥4ab;. Извлечём из обеих частей квадратный корень и берём только арифметические значения корней, тогда

Очевидно, знак неравенства будет иметь место только при a=b.

Пример2: Доказать, что если a >0, b>0, c >0, то a2 + b2 +c2 ≥ab + bc + ac.

Доказательство: будем исходить из очевидных неравенств: а2 + в2≥ 2ав

(а – в)2≥ 0, (а – с)2≥ 0, или а2 + с2≥ 2ас

(в – с)2≥ 0 в2 + с2≥ 2вс

Складывая неравенства, получим: 2(а2 +в2 +с2) ≥ 2(ав+ ас+ вс);

После деления на 2 имеем: а2 + в 2 +с2 ≥ ав+ ас +вс

Примеры доказательства справедливости неравенства.

Доказательство справедливости неравенств с помощью цепочки эквивалентных неравенств.

Один из методов доказательства справедливости неравенств основан на построении цепочки эквивалентных неравенств, в конце которой получается неравенство, справедливость которого очевидна.

Пример1. доказать неравенство

Заменим это неравенство на эквивалентное

Раскрывая скобки и группируя слагаемые левой части неравенства получим эквивалентное неравенство. Так как a >0, b>0, то справедливость неравенства очевидна, что и доказывает справедливость эквивалентного ему исходного неравенства.

Пример2. Доказать, что для любых действительных х и у выполняется неравенство x2 +2xy + 3y2 + 2x + 6y + 3 ≥ 0.

Преобразуя левую часть данного неравенства: х2 + 2xy + 3y2 + 2x + 6y + 3 = (x2 + 2xy + y2) + 2y2 + 2x + 6y + 3=

(x + y )2+ 2(x + y) + 2y2 + 4y + 3= [(x + y)2+2(x + y)+1]+ 2y2 + 4y + 2=

[(x + y) + 1]2 + 2(y2 + 2y + 1)= [(x + y) + 1]2 + 2(y+1)2.

В результате проведенных тождественных преобразований исходное неравенство приводится к эквивалентному неравенству: (x + y + 1)2 + 2(y + 1)2 ≥ 0, справедливость которого очевидна.

Аналогичным образом, используя неравенства, доказываемые ранее, можно доказать, например, следующие неравенства:

1)a2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2(a + b + c);

2)(a+b)(b+c)(a+c) ≥ 8abc, (a>0, b>0, c>0);

3)a2+b2+c2 ≥ ab + bc + ac (a, b, c – числа одного знака)

Некоторые специальные приёмы доказательства справедливости неравенств.

1. Один из специальных приёмов доказательства справедливости неравенств состоит в следующем. Пусть, например, требуется доказать справедливость неравенства А<В. Если удаётся подобрать такую величину С, что А<С, и доказать справедливость неравенства С ≤В, то тем самым будет доказана справедливость исходного неравенства А<В.

2. Справедливость некоторых неравенств, в которых левая и правая части – функции натурального аргумента, может быть доказана следующим приёмом. Исходное неравенство преобразуется к эквивалентному неравенству, у которого правая часть постоянная, а левая есть функция натурального аргумента. Тогда, рассматривая функцию натурального аргумента, стоящую в левой части неравенства, как общий член некоторой последовательности, доказательство справедливости неравенства можно свести к исследованию свойств этой последовательности.

Пример. Доказать, что неравенство 2n-1≤n! справедливо при любом натуральном n.

Преобразуем данное неравенство к эквивалентному неравенству (3) Рассмотрим последовательность (хn), задаваемое формулой общего члена xn=

Нетрудно доказать, что эта последовательность – монотонно убывает и, следовательно, наибольший член данной последовательности – это первый член, который равен 1. Но так как при n=1 неравенство (3) верно, то оно будет верно и при всех остальных значений n.

3. Справедливость некоторых неравенств может быть доказана методом математической индукции.

Некоторые способы проверки справедливости числовых неравенств.

При решении некоторых уравнений и неравенств иногда необходимо выяснить, какое из двух (или нескольких) чисел наибольшее, а какое – наименьшее. Ниже на примерах рассмотрены некоторые простейшие способы проверки справедливости числовых неравенств.

1) Для того, чтобы выяснить какое из двух рациональных чисел m/n и p/q больше, вычислим разность этих чисел:

Если разность больше нуля, то

3) При сравнении двух иррациональных чисел a и b часто используют следующий способ: предполагают, что одно число больше другого (скажем, a>b, верно), и строят цепочку эквивалентных неравенств, приводящих к неравенству, справедливость которого очевидна (и тогда предположение, что a>b, верно), либо к неравенству, которое заведомо несправедливо (в этом случае сделанное предположение, что a>b, неверно, и следовательно, a<_b). Например, пусть требуется выяснить, какое число больше: или 2.

Предположим, что меньше 2:

Так как обе части неравенства (4) положительны, то их можно возвести в квадрат и сохранить тот же знак, который был у предыдущего неравенства:

Раскрывая скобки, получаем 14 - 2. Последнее неравенство можно переписать в виде 13<. Возведя обе части неравенства в квадрат, получим неравенство 169<168. Очевидно, что последнее неравенство несправедливо, следовательно, предположение о том, что число меньше 2, неверно. Число больше 2.

Графическое решение неравенств. Пример: Решить графически неравенство 2х-5>0. Левая часть неравенства, т. е. 2х-5, есть линейная функция аргумента х: обозначим её через у: у=2х-5, и построим её : Неравенство 2х-5>0 означает, что находятся такие значения аргумента х, при которых линейная функция положительна, т. е. ординаты прямой положительны, или точки графика лежат выше оси абсцисс. Этому требованию удовлетворяют все точки, абсциссы которых больше 2,5; другими словами, эти точки лежат правее точки пересечения графика с осью ОХ.

Некоторые важные неравенства.

1) для любых действительных чисел a и b выполняется неравенство a + b ≤ a + b.

Т. е. абсолютная величина суммы двух действительных чисел не превосходит суммы абсолютных величин этих чисел.

Методом математической индукции можно доказать, что для любого конечного числа слагаемых ai справедливо неравенство:. Причём равенство достигается в том случае, когда все слагаемые – числа одного знака.

2) Для любых действительных чисел a и b выполняется неравенство:

a –b ≥ a – b.

Т. е. абсолютная величина разности двух чисел не меньше абсолютной величины разности абсолютных величин этих чисел.

3) Для любых действительных чисел a и b выполняется неравенство a2 + b2 ≥ 2ab , причём равенство достигается в том и только том случае, когда a = b.

4) Если a и b – действительные числа одного знака (ab>0), то ≥2, причём равенство достигается в том и только том случае, когда a<_b.

5) Неравенство Коши: если a и b – неотрицательные действительные числа, то , т. е среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического.

Аналогично неравенство справедливо и для любого конечного набора неотрицательных чисел ai (i=1, 2, 3,, n): , т. е. среднее арифметическое n неотрицательных чисел больше или равно их среднему геометрическому; равенство достигается, когда все n чисел равны.

6) Неравенство Коши-Буняковского: для любых действительных чисел a1, a2, a3, an, b1, b2,, bn выполняется неравенство:

(a1b1 + a2b2 + a3b3 + + anbn)

Равенство достигается тогда и только тогда, когда числа ai и bi пропорциональны, т. е. когда существуют такие  и β, что 2 + β2 ≠ 0, и для всех i=1, 2, 3,, n выполняется равенство ai + βbi =0.

7) Связь между средним арифметическим и средним квадратичным нескольких чисел: абсолютная величина среднего арифметического любого конечного числа действительных чисел не превосходит среднего квадратичного этих чисел, т. е , причём равенство достигается тогда и только тогда, когда все n чисел равны между собой.

8) Неравенство Гёльдера (обобщение неравенства Коши-Буняковского): для любых действительных чисел a1, a2, a3, an, b1, b2,, bn при любом p>1 выполняется неравенство a1b1+ a2b2++ anbn ≤ ( a1p+ a2p++ anp )1/p · ( b1q + b2q+ + bnq )1/q, где q -

При p=2, неравенство Гельдера превращается в неравенство Коши-Буняковского.

Решение неравенств.

Основные определения.

Пусть f – числовая функция одной или нескольких переменных (аргументов). Решить неравенство f <0 (1) – это значит найти множество значений аргумента (аргументов) функции f, при которых неравенство (1) справедливо.

Аналогично, решить неравенство –f>0 (2) – это значит найти множество значений аргумента функции f, при которых неравенство (2) справедливо.

Множество решений нестрогих неравенств вида f≤0 и f≥0 находится как объединение множеств решений уравнения f=0 и соответствующих строгих неравенств.

Множество значений аргумента функции f, при которых соответствующее неравенство справедливо, называют множеством решений неравенств или просто решением неравенства. Два неравенства считаются эквивалентными, если множества их решений совпадают.

Линейные неравенства.

Под линейными неравенствами понимают неравенства вида ах + в>0, ах + в<0, ах + в≥0, где а и в - действительные числа (а ≠ 0). Линейные неравенства решают заменой исходного неравенства ему эквивалентным. При этом используются следующие преобразования неравенств, приводящие к эквивалентным неравенствам: прибавление к обеим частям неравенства одного и того же числа и умножение (деление) обеих частей неравенства на одно и то же число. Так, множество решений неравенства ах + в>0 (3), может быть найдено следующим образом. Прибавив к обеим частям неравенства (3) число – в, в результате чего получим эквивалентное неравенство ах>-в (4) и разделив обе части неравенства на а. Тогда:

1) Если а >0, то получим неравенство: x> - , которое и даёт множество решений исходного неравенства (3). Это множество решений также можно записать в виде: x

2) Если а<0, то получаем неравенство x>-. Множество действительных чисел, удовлетворяющих неравенству, и есть множество решений исходного неравенства (3): x

Квадратные неравенства.

Под квадратным неравенством понимается неравенство, которое может быть приведено к одному из следующих неравенств: ах2 + вх + с >0, ах2 + вх + с <0, ах2 + вх + с ≥0, ах2 + вх + с ≤0, где а, в ,с – некоторые действительные числа и а≠0.

Простейшими квадратичными неравенствами являются неравенства х2< m и х2> m,

Множеством решений неравенства х2< m:

1) При m≤0, х = Ø (т. е. решений нет);

2) При m>0, х.

Множеством решений неравенства х2> m:

1) При m<0, х (т. е. х – любое действительное число);

2) При m≥0,

Квадратное неравенство ах2+вх+с>0 в зависимости от значений своих коэффициентов а, в, с имеет множество решений:

1) При а>0, D= в2 – 4ас ≥0,

2) При а>0, D<0,

3) При а<0, D≥0,

4) При а<0, D<0, х= Ø (т. е. решений нет);

Решение неравенства ах2+вх+с<0 сводится к решению, рассмотренного выше неравенства, если обе части неравенства умножить на -1.

Множество решений нестрогих неравенств ах2+вх+с≤0 и ах2+вх+с≥0 находится как объединение множеств решений соответствующих строгих неравенств и уравнений.

Дробно-линейными неравенствами называются неравенства, приводящие к виду где а, в, с, d, k – некоторые действительные числа, с≠0 (если с=0, то дробно-линейное неравенство превращается в линейное). К дробно-линейным неравенствам относятся и неравенства вида (5), в которых вместо знака > стоят знаки <, ≥, ≤. Решение дробно-линейного неравенства сводится к решению квадратного неравенства. Для этого необходимо умножить обе части неравенства (5) на выражение (сх + d)2, которое положительно при всех

Метод интервалов.

Пусть Р(х) – многочлен n-й степени с действительным коэффициентом, с1, с2,, сi – все действительные корни многочлена с кратными k1, k2, k3, ki, соответственно, причём с1> с2> сi. Тогда многочлен Р(х) можно представить в виде

Р(х)= (х – с1) (х – с2) (х – с1) Q(х), (6) где многочлен Q(х) действительных корней не имеет и либо положителен, либо отрицателен при всех x. Положим для определённости, что Q(х) >0. Тогда при х<с, все сомножители в разложении (6), за исключением первого, положительны и Р(х) <0. В этом случае говорят, что многочлен Р(х) меняет свой знак при переходе через корень с. Если же с1 – корень чётной кратности, то все сомножители (в том числе и первый) при с2< х <с1 положительны и, следовательно, Р(х) >0. В этом случае говорят, что многочлен Р(х) не меняет своего знака при переходе через корень с1.

Аналогичным способом, используя разложение (6), нетрудно убедиться, что при переходе через корень с2 многочлен Р(х) меняет знак, если k2 нечётное, и не меняет знака, если k2 чётное.

Рассмотренное свойство многочленов используется для решения неравенств методом интервалов. Для того, чтобы найти все решения неравенства Р(х) >0, достаточно знать все действительные корни многочлена Р(х), их кратности и знак многочлена Р(х) в произвольно выбранной точке х0, не совпадающей с корнем многочлена.

Пример1. Решить неравенство х2 (х+2)(х-1)3 (х2+1) >0 (7)

Отметим на числовой оси ОХ корни многочлена, стоящего в левой части неравенства

При х>1 многочлен положителен, так как все сомножители, стоящие в левой части равенства, положительны. Будем двигаться по оси ОХ справа налево. При переходе через точку х=1 многочлен меняет свой знак и становиться отрицательным, так как х=1 – корень кратности 3; при переходе через точку х=-2 многочлен опять меняет знак и становится положительным.

Промежутки знакопостоянства данного многочлена изображены схематически на рисунке. Отсюда x

Рациональное неравенство вида , где Р(х) и Q(х) – многочлены, может быть также решено методом интервалов. Умножая обе части неравенства (8) на многочлен [Q(х)]2, который положителен при всех допустимых значениях неравенства (8), получаем неравенство Р(х)Q(х) >0, эквивалентное неравенству

Пример2. Решить рациональное неравенство

Умножив обе части неравенства на (х-3)2, получим неравенство, эквивалентное х2(х-1)3(х+2)(х-3) <0

Множество решений последнего неравенства находится методом интервалов и будет следующим: x

Решение иррациональных неравенств.

Под иррациональным неравенством понимается неравенство, в которых неизвестные величины (или рациональные функции неизвестных величин) находится под знаком радикала. Для того, чтобы найти множество решений иррационального неравенства, приходится, как правило, возводить обе части неравенства в натуральную степень. Несмотря на внешнюю схожесть процедуры решения иррационального неравенства и иррационального уравнения, между ними существует большое отличие. При решении иррациональных уравнений можно не заботиться о том, чтобы после возведения в степень получилось уравнение, эквивалентное исходному: алгебраическое уравнение имеет конечное число корней, из которых проверкой нетрудно отобрать решение исходного иррационального уравнения.

Множество решений неравенства представляет собой, как правило, бесконечное множество чисел, и поэтому непосредственная проверка решений путём подстановки этих чисел в исходное неравенство становится принципиально возможной. Единственный способ, гарантирующий правильность ответа, заключается в том, что мы должны следить за тем, чтобы при каждом преобразовании неравенства у нас получилось неравенство, эквивалентное исходному.

Решая иррациональные неравенства, следует помнить, что при возведении обеих частей в чётную степень всегда получается неравенство, эквивалентное исходному неравенству. Если же обе части неравенства возводить в нечётную степень, то будет получаться неравенство, эквивалентное исходному и имеющее тот же знак, лишь в случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны.

Пример: Решить неравенство

Множеством допустимых значений х, которое находится как решение системы x-5

9- x является промежуток [5;9]

Неравенство (10) эквивалентное неравенству обе части которого неотрицательны. Возведя обе части неравенства (11) в квадрат, в результате несложных преобразований получаем неравенство 2x-15>2 эквивалентное неравенству (11). Далее возможны два случая:

1) Если 2х - 15≤0, т. е. х ≤15/2, левая часть неравенства отрицательна или равна нулю, а правая неотрицательна. Поэтому ни при каком x неравенство (12) не выполняется.

2) Если 2х – 15>0, то обе части неравенства неотрицательны и после возведения в квадрат получаем неравенство, эквивалентное неравенству (12): (2х - 15)2>4(9 - х).

Таким образом, множество решений неравенства (10) получается как множество решений системы неравенств:

2х – 15> , откуда получаем x

(2х – 15)2>4(9 - х).

Геометрическое изображение множества решений неравенства с двумя неизвестными.

Пусть имеется некоторое неравенство с двумя неизвестными. Множество решений такого неравенства – это множество упорядоченных пар действительных чисел (х;у), которое геометрически может быть изображено как множество точек координатной плоскости ОХУ.

Объединение множеств решений неравенств F(х;у), F(х;у) <0 и уравнения F(х;у)=0 даёт множество всех точек координатной плоскости ОХУ, за исключением точек, в которых функция двух переменных F(х;у) не определена. Так, например, объединение их множеств решений неравенств и уравнение даёт множество всех точек числовой плоскости R2, за исключением множества точек, принадлежащих ОХ.

Уравнение (х;у) =0 задаёт множество точек «границы раздела» (либо часть этой границы) между множествами точек, задаваемых неравенствами f(х;у)>0 имеет единственное решение относительно переменной у (х считается параметром), то говорят, что уравнение f(х;у)=0 задаёт функцию у=f(х).

Если уравнение F(х;у)=0 имеет единственное решение относительно переменной х (у считается параметром), то говорят, что уравнение F(х;у)=0 задаёт функцию х=g(у), где у считается независимой переменной, а х - зависимой.

Может оказаться, что F(х;у)=0 не имеет единственного решения ни относительно переменной х, ни относительно переменной у. В этом случае говорят, что уравнение F(х;у)=0 задаёт соответствие между множествами допустимых значений переменных х и у/

Обобщенное неравенство Коши

Рассматривая виды, решения классических неравенств, я использовала свойства давно известных мне неравенств школьного курса. Тем самым, изучая тему, я ещё раз повторила и закрепила знания о неравенствах, а также пополнила их решением нетрадиционных неравенств. Эти дополнительные знания мне помогут решать неравенства рациональнее и применять их в изучении различных тем, тем, например, «Применение производной». Я смогу не останавливаться только на неравенствах школьного курса, но и самостоятельно решать и углублять свои знания классических неравенств.