Симметрические системы уравнений

Изучая дополнительную литературу по решению систем уравнений, я встретилась с новым видом систем – симметрические. И я поставила перед собой цель:

Обобщить научные сведения по теме «Системы уравнений».

Разобраться и научиться решать способом введения новых переменных;

3 ) Рассмотреть основные теории, связанные с симметрическими системами уравнений

4) Научиться решать симметрические системы уравнений.

История решения систем уравнений.

Издавна применялось исключение неизвестных из линейных уравнений. В 17-18 в. в. приемы исключения разрабатывали Ферма, Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Безу, Лагранж.

В современной записи система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет вид: а1х + b1у = с1, а2х + b2х = с2 х = с1b1 – с2b; у = а1с2 – а2с1 Решения этой системы выражаются формулами.

а1b2 – а2b1 а1b2 – а2b1

Благодаря методу координат, созданному в 17 в. Ферма и Декартом, стало возможным решать системы уравнений графически.

В древневавилонских текстах, написанных в 3-2 тысячелетиях до н. э. , содержится немало задач, решаемых с помощью составления систем уравнений, в которые вводят и уравнения второй степени.

Пример №1:

Площади двух своих квадратов я сложил: 25. сторона второго квадрата равна стороны первого и еще 5. Соответствующая система уравнений в соответственной записи имеет вид: х2 + у2 = 25 , у = х = 5

Для решения этой системы вавилонский автор возводит во втором уравнении у в квадрат, получаем у2 = 1 х2 + х +25, подставив, получаем 1 х2 + 6х = , решая уравнение, находим х, затем у.

Диофант, который не имел обозначений для многих неизвестных, прилагал немало усилий для выбора неизвестного таким образом, чтобы свести решение системы к решению одного уравнения.

Пример №2:

«Найти два натуральных числа, зная, что их сумма равна 20, а сумма их квадратов 208».

Задачу так же решали составлением системы уравнений, х + у = 20, , но решал х2 + у2 = 208

Диофант, выбирая в качестве неизвестного половину разности искомых чисел, т. е.

(х – у) = z, + (х + у) = 10

_ у = 10 – z х = 10 + z

Далее х2 + у2 = (z = 10)2 + (10 – z)2 = 2z2 + 200, а по условию равно 208

2z2 + 200 = 208 z = + 2z = -2- не удовлетворяет условию задачи, поэтому, если z = 2х = 12, а у = 8

Понятия системы алгебраических уравнений.

Во многих задачах бывает нужно найти несколько неизвестных величин, зная, что другие, образованные с их помощью величины (функции от неизвестных) равны друг другу или каким-то данным величинам. Рассмотрим простой пример.

Прямоугольный участок земли площадью 2400 м2 огорожен забором длиной 200м. найти длину и ширину участка. Фактически «алгебраической моделью» этой задачи является система из двух уравнений и одного неравенства.

Возможные ограничения-неравенства нужно иметь в виду всегда. Когда вы решаете задачи на составление систем уравнений. Но все же главное – решить сами уравнения. О методах, которые применяются, я и расскажу.

Начнем с определений.

Системой уравнений называется набор из нескольких (больше одного) уравнений, соединенных фигурной скобкой.

Фигурная скобка означает, что все уравнения системы должны выполняться одновременно, и показывает, что нужно найти такую пару чисел (х; у), которая обращает каждое уравнение в верное равенство.

Решением системы называют такую пару чисел х и у, которые при подстановке в эту систему обращают каждое ее уравнений в верное числовое равенство.

Решить систему уравнений – это значит, найти все ее решения или установить, что их нет.

Метод подстановки.

Способ подстановки заключается в том, что в одном из уравнений выражают одну переменную через другую. Полученное выражение подставляют в другое уравнение, которое после этого обращается в уравнение с одной переменной, а за тем решают его. Получившиеся значения этой переменной подставляют в любое уравнение исходной системы и находят вторую переменную.

Алгоритм.

1. Выразить у через х из одного уравнения системы.

2. Подставить полученное выражение вместо у в другое уравнение системы.

3. Решить полученное уравнение относительно х.

4. Подставить поочередно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения вместо х в выражение у через х, полученное на первом шаге.

5) Записать ответ в виде пар значений (х; у).

Пример №1 у = х – 1,

5х + 2у = 16

Подставим во второе уравнение у = х – 1, получим 5х + 2 (х – 1) = 16, откуда х = 2. подставим полученное выражение в первое уравнение: у = 2 – 1 = 1.

Ответ: (2; 1).

Пример №2:

8у – х = 4, 1) 2 (8у – 4) – 21у = 2

2х – 21у = 2 16у – 8 – 21у = 2

-5у = 10 х = 8у – 4, у = -2

2х – 21у = 2

2) х = 8 * (-2) – 4 х = 8у – 4, х = -20

2 (8у – 4) – 21у = 2 х = 8у – 4, у = -2 х = -20, у = -2

Ответ: (-20; -2).

Пример №3: х2 + у +8 = ху, 1) х2 + 2х + 8 = х * 2х у – 2х = 0 х2 + 2х + 8 = 2х2

-х2 + 2х + 8 = 0 х2 + у + 8 = ху, х2 – 2х – 8 = 0 – квадратное уравнение у = 2х х1 = -2 х2 = 4 х2 + 2х + 8 = х * 2х 2) у1 = 2 * (-2) у = 2х у1 = -4 у2 = 2 * 4 х1= -2 у2 = 8 х2 = 4 у = 2х х1 = -2, х2 = 4 у1= -4, у2 = 8

Следовательно (-2; -4); (4; 8) – решения данной системы.

Способ сложения.

Метод сложения заключается в том, что если данная система состоит из уравнений, которые при полученном сложении образуют уравнение с одной переменной, то, решив это уравнение, мы получим значения одной из переменных. Значение второй переменной находят, как и в способе подстановки.

Алгоритм решения систем способом сложения.

1. Уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных.

2. Складывая или вычитая полученные уравнения, найти одно неизвестное.

3. Подставляя найденное значение в одно из уравнений исходной системы, найти второе неизвестное.

Пример №1. Решить систему уравнений способом сложения: х + у = 20, х – у = 10

Вычтем из первого уравнения второе, получим

2у = 10 у = 5

Выразим из второго выражения х = 20 - у

Подставим у = 5 в данное выражение: х = 20 – 5 х = 15.

Ответ: (15; 5).

Пример №2:

5х + 3у = 29,

5х – 4у = 8

Представим в виде разности уравнения предложенной системы, получим

7у = 21, откуда у = 3

Подставим это значение в выраженное из второго уравнения системы х = , получим х = 4.

Ответ: (4; 3).

Пример №3:

2х + 11у = 15,

10х – 11у = 9

Сложив данные уравнения, имеем:

2х + 10х = 15 + 9

12х = 24 х = 2, подставив это значение во второе уравнение, получим:

10 * 2 – 11у = 9, откуда у = 1.

Решением данной системы является пара: (2; 1).

Графический способ решения систем уравнения.

Алгоритм.

1. Построить графики каждого из уравнений системы.

2. Наитии координаты точки пересечения построенных прямых.

Случай взаимного расположения прямых на плоскости.

1. Если прямые пересекаются, т. е. имеют одну общую точку, тогда система уравнений имеет одно решение.

2. Если прямые параллельны, т. е. не имеют общих точек, то система уравнений не имеет решений.

3. Если прямые совпадают, т. е. имеют множество точек, тогда система уравнений имеет бесконечное множество решений.

Пример №1:

Решить графически систему уравнений х – у = -1,

2х + у = 4 у

Выразим из первого и второго уравнения у: у = 1 + х, у = 4 – 2х х

Построим графики каждого из уравнения системы:

1) у = 1 + х – графиком функции является прямая х 0 1 (1; 2) у 1 2

2) у = 4 – 2х – графиком функции является прямая х 0 1 у 4 2

Ответ: (1; 2).

Пример № 2: у х + 2у = 6,

2х + 4у = 8

2у = 6 – х,

4у = 8 – 2х х у = , у = у = - графиком функции является прямая х 0 2 у 3 2 у = - графиком функции является прямая х 0 2 у 2 1

Ответ: решений нет.

Пример № 3: у х – 2у = 2,

3х – 6у = 6 х – 2у = 2, х – 2у = 2 х у = - графиком функции является прямая х 0 2 у -1 0

Ответ: система имеет бесконечное множество решений.

Метод введения новых переменных.

Метод введения новых переменных заключается в том, что вводится новая переменная только в одно уравнение или две новых переменных сразу для обоих уравнений, далее уравнение или уравнения решаются относительно новых переменных, после этого остается уже решить более простую систему уравнений, из которой находим искомое решение.

Пример №1:

+ = , х + у = 5

Обозначим = z, тогда =.

Первое уравнение примет вид z + = , оно равносильно 6z – 13 + 6 = 0. Решив получившееся уравнение, имеем z = ; z =. Тогда = либо = , другими словами первое уравнение распалось на два уравнения, следовательно, имеем две системы:

= , = , х + у = 5 х + у = 5

Решения этих систем являются решениями данной системы.

Решением первой системы является пара: (2; 3), а второй- пара (3; 2).

Следовательно, решениями системы + = , х + у = 5

Являются пары (2; 3); (3; 2)

Пример № 2:

+ = 8,

Пусть = Х, а = У.

2Х + 3У = 8,

5Х – 2У = 1

Х = , 5 * - 2У = 1

5Х – 2У = 1 2,5 (8 – 3У) – 2У = 1

20 – 7,5У – 2У = 1

Х = , -9,5У = -19

5 * - 2У = 1 У = 2

Произведем обратную замену.

= 2 х = 1, у = 0,5

Ответ: (1; 0,5).

Симметрические системы уравнений.

Система с n неизвестными называется симметрической, если она не меняется при перестановки неизвестных.

Симметрическая система двух уравнений с двумя неизвестными х и у решается подстановкой u = х + у , v = ху. Заметим, что встречающиеся выражения в симметрических системах выражаются через u и v. Приведем несколько таких примеров, представляющих несомненный интерес для решения многих симметрических систем: х2 + у2 = (х + у)2 - 2ху = u2 - 2v, х3 + у3 = (х + у)(х2 -ху + у2) = u (u2 - 2v – v) = u3 - 3uv, х4 + у4 = (х2 + у2)2 - 2х2у2 = (u2 - 2v)2 - 2v2 = u4 - 4u2v + 2v2, х2 + ху + у2 = u2 - 2v + v = u2 - v и т. д.

Симметрическая система трех уравнений относительно неизвестных х у, z решаются подстановкой х + у + z = u, ху + уz + хz = w. Если найдены u, v, w, то составляется кубическое уравнение t2 – ut2 + vt – w = 0, корни которого t1, t2, t3 в различных перестановках являются решениями исходной системы. Наиболее часто встречающиеся выражения в таких системах выражаются через u, v, w следующим образом: х2 + у2 + z2 = u2 - 2v х3 + у3 + z3 = u3 - 3uv + 3w

Пример № 1: х2 + ху + у2 =13, х + у = 4

Пусть х + у = u, ху = v.

u2 – v = 13, u = 4

16 – v = 13, u = 4 v = 3, u = 4

Произведем обратную замену.

х + у = 4, ху = 3 х = 4 – у ху = 3 х = 4 – у,

(4 – у) у = 3 х = 4 – у, у1 = 3; у2 = 1 х1 = 1, х2 = 3, у1 = 3, у2 = 1

Ответ: (1; 3); (3; 1).

Пример № 2: х3 + у3 = 28, х + у = 4

Пусть х + у = u, ху = v.

u3 – 3uv = 28, u = 4

64 – 12 v = 28, u = 4

-12v = -36 u = 4 v = 3, u = 4

Произведем обратную замену.

х + у = 4, ху = 3 х = 4 – у ху = 3 х = 4 – у,

(4 – у) у = 3 х = 4 – у, у1 = 3; у2 = 1 х1 = 1, х2 = 3, у1 = 3, у2 = 1

Ответ: (1; 3); (3; 1).

Пример № 3: х + у + ху = 7, х2 + у2 + ху = 13

Пусть х =у = u, ху =v.

u + v = 7, u2 – v = 13 u2 – v = 13 u2 – 7 + u =13 u2 + u = 20 v = 7 – u, u (u + 1) =20 u2 – v =13 u = 4 v = 7 – u, u = 4 v = 3, u = 4

Произведем обратную замену.

х + у = 4, ху = 3 х = 4 – у ху = 3 х = 4 – у,

(4 – у) у = 3 х = 4 – у, у1 = 3; у2 = 1 х1 = 1, х2 = 3, у1 = 3, у2 = 1

Ответ: (1; 3); (3; 1).

Пример № 4: х + у = 5, х3 + у3 = 65

Пусть х + у = u, ху = v.

u = 5, u3 – 3uv = 65 u3 – 3uv = 65 125 – 15v = 65

-15v = -60 u = 5, v = 4 v = 4

Произведем обратную замену.

х + у = 5, ху = 4 х = 5 – у, ху = 4 х = 5 – у, у (5 – у) = 4 х = 5 – у у1 = 1 , у2 = 4 х1 = 4, х2 = 1, у1 = 1, у2 = 4

Ответ: (4; 1); (1; 4).

Пример №5: х2 + ху + у2 = 49, х + у + ху = 23

Сделаем замену неизвестных, система примет вид u2 + v = 49, u + v = 23

Сложив эти уравнения, получим u2 + u – 72 = 0 с корнями u1 = 8, u2 = -9. Соответственно v1 = 15, v2 = 32. Остается решить совокупность систем х + у = 8, х + у = -9, ху = 15 ху = 32

Система х + у = 8, имеет решения х1 = 3, у1 = 5; х2=5, у2 =3.

ху = 15

Система х + у = -9, действительных решений не имеет.

ху = 32

Ответ: (3; 5), (5; 3).

Пример №6. Решить систему уравнений.

2х2 – 3ху + 2у2 = 16, х + ху + у + 3 = 0

Используя основные симметрические многочлены u = y + x и v = ху, получим следующую систему уравнений

2u2 – 7v = 16, u + v = -3

Подставляя из второго уравнения системы выражение v = -3 – u в первое уравнение, получим следующее уравнение 2u2 + 7u + 5 = 0, корнями которого являются u1 = -1 и u2 = -2,5; а соответственно им значения v1 = -2 и v2 = -0,5 получается из v = -3 – u.

Теперь осталось решить следующую совокупность систем х + у = -1, и х + у = -2,5 , ху = -2 ху = -0,5

Решениями этой совокупности систем, а значит исходной системы (в силу их эквивалентности), таковы: (1; -2), (-2; 1), ( ; ).

Пример № 7:

3х2у – 2ху + 3ху2 = 78,

2х – 3ху + 2у + 8 = 0

С помощью основных симметрических многочленов система может записана в следующем виде

3uv – 2v = 78,

2u – 3v = -8.

Выражая из второго уравнения u = и подставляя его в первое уравнение, получим 9v2 – 28v – 156 = 0. Корни этого уравнения v1 = 6 и v2 = - позволяют найти соответствующие им значения u1 = 5, u2 = - из выражения u =.

Решим теперь следующую совокупность систем х + у = 5, и х + у = - , ху = 6 ху = -.

х = 5 – у, и у = -х - , ху = 6 ху = -.

х = 5 – у, и у = -х - , у (5 – у) = 6 х (-х - ) = -.

х = 5 – у, и у = -х - , у1= 3, у2 =2 х1 = , х2 = - х1 = 2, х2 = 3, и х1 = , х2 = - у1= 3, у2 =2 у1 = -, у2 =

Ответ: (2; 3), (3; 2), (; -), (-;).

Заключение.

В процессе написания статьи я познакомилась с разными видами систем алгебраических уравнений. Обобщила научные сведения по теме «Системы уравнений».

Разобралась и научилась решать способом введения новых переменных;

Рассмотрела основные теории, связанные с симметрическими системами уравнений

Научилась решать симметрические системы уравнений.