ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПЛОСКИХ МОДЕЛЕЙ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТЕМЫ «ПЛОЩАДЬ»

Одной из актуальных проблем, стоящих перед школой, является обеспечение успешности каждого учащегося в обучении. В связи с этим учебные средства становятся не только источниками знаний, но и средствами управления познавательной деятельностью учащихся, одним из главных условий оптимизации процесса обучения и воспитания в целом.

Особое значение имеют развитие самостоятельности и творческой активности учащихся и воспитание навыков самообучения. Важной составной частью самостоятельности как черты личности школьника является познавательная самостоятельность, которая трактуется как его готовность (способность и стремление) вести целенаправленную познавательно-исследовательскую деятельность.

Учебное исследование – это не только познавательная деятельность учащихся под руководством учителя, но и метод обучения самой исследовательской деятельности. Приобщение к ней делает учебу производительным трудом, повышает развивающий эффект обучения, который состоит и в приобретении новых знаний, и в овладении новыми способами деятельности.

Творческая деятельность в нашей школе организована в форме групповых занятий. Трудности при доказательстве теорем, сложность понимания, осмысления и усвоения процесса доказательства определили область исследования.

Доказательства теорем в учебнике геометрии основаны на трансформации словесной формулировки теорем в чертеж. Очень важными в данной ситуации являются демонстрация движения и видоизменений модели, возможность осмотреть ее в различных ракурсах.

Именно эти потребности привели нас к созданию демонстрационных плоских моделей. Ценность таких моделей состоит в двух особенностях: в возможности использовать трехмерность и в возможности деформировать их. Получается убедительная гипотеза, которая затем доказывается.

Исходя из вышесказанного, целью нашей научно-исследовательской работы является разработка демонстрационного комплекта плоских моделей для доказательства теорем по теме «Площадь». К числу основных задач, решавшихся в ходе исследования, относится:

- проанализировать теоретический материал по теме «Площадь»;

- выявить динамику процесса доказательства теорем;

- изучить требования к изготовлению наглядных пособий;

- отразить процесс доказательства теорем на динамической модели.

Наглядные пособия на уроках геометрии как способ познания окружающего мира

Значение функции наглядности

Геометрия, как поэзия, живопись, скульптура и музыка, есть порождение таинственной потребности человека в познании, в духовности, в стремлении его к красоте и совершенству.

Г. Х. Харди

Как известно, основными целями изучения геометрии являются развитие пространственных представлений и развитие логического мышления. Эти цели реализуются в основном в требованиях, предъявляемых к знаниям и умениям учащихся Государственным стандартом. Развитие пространственных представлений формулируется как умение читать и делать чертежи, определять необходимость дополнительных построений, определять взаимное расположение геометрических фигур.

Формирование и развитие логического мышления формулируется как владение методами доказательств, применяемыми при обосновании геометрических утверждений (теорем, лемм, следствий и т. д. ), а также при проведении аргументации и доказательных рассуждений в ходе решения задач.

На различных этапах обучения геометрии наглядность выполняет различные функции. В младших классах она является исходным пунктом обучения. Эта функция наглядности на протяжении всего процесса обучения. Однако по мере продвижения нами к старшим классам все чаще исходным началом изучения материала служат теоретические положения, аксиомы, системы понятий, усвоенные на предшествующих этапах, а наглядность используется для иллюстрации, для конкретизации понятий и закономерностей.

В зависимости от нашего возраста, уровня развития абстрактного мышления используются различные средства наглядности. Для формирования пространственных представлений у учащихся учитель вначале использует объекты природы, предметы окружающей действительности.

Применение готовых моделей или конструирование их самими учащимися требует более высокого уровня развития абстрактного мышления. Выполнение или чтение учащимися различных чертежей и схематических рисунков возможно лишь на еще более высокой ступени развития. И, наконец, при наличии определенных условий средствами наглядности могут служить абстрактные понятия, аксиомы и теоремы.

Применение каждого конкретного средства наглядности или их совокупности направлено на развитие абстрактного мышления учащихся. В то же время достижение определенного уровня мышления создает возможность более широко использовать средства наглядности.

Выбор конкретного средства наглядности и способ его применения зависит от содержания учебного материала, методов обучения, которые использует учитель.

Динамические наглядные пособия

«Плоские» приборы, имеющие возможность перемещать отдельные части относительно друг друга, воссоздавать различные конфигурации, являются динамическими средствами обучения.

Изготовление динамических наглядных пособий носят выраженный исследовательский характер, для этого требуется применение различных эвристических приемов, а также методов научного познания: наблюдения, сравнения, аналогии, обобщения и т. д. С другой стороны, сами динамические модели являются средством развития умений по использованию этих приемов и методов. Они отражают динамику рассматриваемого процесса и позволяют представить их наглядно.

Динамические модели призваны стимулировать «работу мысли», задавать направление поиска, следуя которому можно прийти к правильному ответу; помогают не только обнаружить скрытую закономерность, внутреннюю связь между объектами или их элементами, но и подсказывают идею доказательства. Иными словами, они играют роль своеобразной подсказки.

Эту же функцию берут на себя, «заложенные» в требования доказательства теорем, рекомендации или конкретные указания, а также входящие в формулировку теоремы «наводящие» вопросы. Становится легко догадаться до доказательства теоремы, нередко его можно «увидеть» на модели, внимательно проанализировав последний.

Доказательство основано на наблюдении за отдельными элементами и сравнение их различных положений. При этом часто приходится выполнять мысленные преобразования элементов. Таким образом, совершая шаг за шагом, выявляются некоторые закономерности, которые затем выражаются «на языке фигур». Сначала как рабочую гипотезу, а после уточнения и проверки как верное утверждение.

Говоря о роли динамических моделей в развитии наглядных представлений и пространственного мышления, выделим два ключевых элемента.

Использование динамических моделей предполагает мысленные преобразования рассматриваемых объектов или их элементов. Любая модель наглядно может воспроизводить лишь фрагменты процесса изменения объекта и позволяет зафиксировать и сравнить его состояние на нескольких промежуточных стадиях. Чтобы обобщить результаты визуальных наблюдений, приходится «конструировать в уме» весь процесс, представлять его в целостности, иначе говоря, проводить мысленный эксперимент.

Второй важный момент – с помощью динамических моделей легко смоделировать выход из плоскости в пространство. При изучении курса планиметрии такой выход можно осуществлять с использованием самых разных динамических моделей.

Важно, что в процессе использования таких моделей «выходишь» не только в пространство, но и имеешь возможность «побывать» в разных плоскостях и убедиться, что законы планиметрии справедливы в любой из них. С помощью динамических моделей можно моделировать процесс открытия математических фактов, в частности выражающих зависимости между различными величинами.

Использование плоских моделей на уроках геометрии

Требования к изготовлению моделей наглядных пособий

При конструировании демонстрационного комплекта плоских моделей придерживались выполнения основных технических требований, которые необходимо предъявлять к любым наглядным пособиям.

а) Должны отсутствовать несущественные детали, могущие отвлечь от главного.

При этом необходимо добиться простоты и наглядности модели. На ней должны быть представлены каждая изучаемая точка, каждый рассматриваемый отрезок. Необходимо, чтобы все точки, отрезки модели имели одинаковую толщину и одинаковую по яркости окраску. Наибольшая и наименьшая толщина имеющихся линий должны быть сравнимы друг с другом. Вспомогательные детали должны иметь меньшие размеры, меньшую толщину, должны быть малозаметны за счет значительно менее яркого цвета.

б) Важным качеством любого наглядного пособия является удобство пользования и хранения.

Для плоских моделей из бумаги существенна возможность их двигать, видоизменять, поворачивать, показывать, накладывать, перегибать и т. д.

Покажем в качестве примера, каким образом модель из комплекта может быть использована для вывода формулы площади параллелограмма. Прежде всего, из этой модели можно сконструировать параллелограмм, выделить его высоту, трансформировать в прямоугольник. Известно, что площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. Поскольку одно измерение равно стороне параллелограмма, а второе – его высоте, получаем, что площадь параллелограмма, равная площади прямоугольника, равна произведению длины стороны параллелограмма на высоту, проведенную к этой стороне.

Демонстрационный комплект плоских моделей при изучении темы «Площадь»

Нами разработан демонстрационный комплект для доказательства теорем по теме «Площадь» из 7 моделей.

1 модель – для доказательства и вывода формулы площади прямоугольника.

Эта модель наглядно показывает, что площадь квадрата, достроенного на данном прямоугольнике, с одной стороны, по свойству 3º равна квадрату его стороны, т. е. С другой стороны, по свойствам 1º (Равные многоугольники имеют равные площади. ) и 2º (Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. ) равна 2S+a²+b². Из записанного равенства выводим формулу S=ab (площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон).

2 модель – для доказательства теоремы, что площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Эта модель показывает, что

1) трапеция АВСК, с одной стороны, составлена из параллелограмма АВСД и треугольника ДСК, с другой стороны, из прямоугольника НВСК и треугольника АВН;

2) равенство прямоугольных треугольников ДСК и АВН;

3) следовательно, равенство площадей параллелограмма АВСД и прямоугольника НВСК.

При выводе применяется теорема о площади прямоугольника.

3 модель – для доказательства теоремы, что площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

На этой модели прослеживается, что

1) треугольник АВС достроен до параллелограмма АВСД;

2) равенство треугольников АВС и ДСВ, следовательно, и их площадей;

3) площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма АВСД.

4 модель – для доказательства теоремы об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу (Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведение сторон, заключающих равные углы).

На этой модели, состоящей из двух треугольников АВС и АВС, видно при их наложении совмещением вершин А и А, сторон АВ, АС на лучи АВ и АС, что

1) треугольники АВС и АВС имеют общую высоту СН;

2) треугольники АВС и АВС также имеют общую высоту ВН. Применяется следствие 2 из теоремы о площади треугольника (Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания). Перемножая полученные равенства, находим

5 модель – для доказательства теоремы о площади трапеции.

Эта модель наглядно показывает, что диагональ ВД разделяет трапецию на два треугольника АВД и ВСД, площади которых определяются с учетом равенства высот ДН и ВН. Из суммы площадей этих треугольников

13 находим, что площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

6 модель – для доказательства теоремы Пифагора.

На этой модели треугольник достроен до квадрата со стороной а+в. С одной стороны, площадь этого квадрата равна квадрату его стороны, т. е. (а+в)². С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого их которых равна

Из записанного равенства, левая и правая части которого площади одного и того же квадрата, получим, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

7 модель – наглядное доказательство теоремы, обратной теореме Пифагора (Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный):

1) рассматривается прямоугольный треугольник со сторонами у которого и ;

2) применяется теорема Пифагора;

3) из равенства треугольников (на обеих сторонах модели) следует, что данный треугольник прямоугольный.

Таким образом, в ходе данного исследования был проведен анализ теоретического материала по теме «Площадь», выявлена динамика процесса доказательства теорем, изучены требования к изготовлению наглядных пособий, отражены процессы доказательства теорем на динамических моделях.

На основании результатов данного исследования разработан и изготовлен демонстрационный набор плоских моделей для изучения темы «Площадь». Начато учебное исследование темы «Подобные треугольники и изготовлены модели для доказательства теорем, выражающих признаки подобия треугольников. Планируется изготовление динамических моделей по теме

« Движение».

Приведенные в работе примеры исследований не единственно возможные для выбранного материала. Кроме того, эти примеры представляют собой лишь наброски, этюды учебных исследований, которые могут быть по-разному детализированы и модифицированы.

Считаем, что использование плоских моделей на уроках геометрии в сочетании с другими наглядными пособиями, обеспечивает усвоение и понимание учащимися учебного материала на более высоком уровне.