Исследование свойств функций и построение графиков с помощью малых средств информации

Понятие функции имеет огромное прикладное значение, поэтому изучению функций и их свойств посвящена значительная часть курса алгебра.

Свободное владение техникой построения графиков различных функций позволяет решать многие задачи в области математики, физики, химии, географии, биологии, а иногда является единственным средством их решения. Привлекает наглядность графического способа задания функций, т. е. возможность увидеть функциональную зависимость и придать наглядность их исследованию, умение строить графики функций представляет большой самостоятельный интерес.

Графики функции применяются для графического решения уравнений, систем уравнений, неравенств.

В настоящее время идет активная информатизация учебной деятельности. В школы внедряются компьютерная техника и малые средства информатизаций, которые помогают более эффективно и наглядно изучать свойства различных функций и строить их графики.

Общая схема исследования свойств функции и построение ее графика

1. Схема исследования свойств функции и построения ее графика

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на периодичность.

3. Исследовать функцию на четность.

4. Найти точки пересечения графика с осями координат и определить интервалы знакопостоянства функции.

5. Найти асимптоты.

6. Найти промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума и значения функции в этих точках.

7. Составить таблицу значений функции для некоторых значений ее аргумента.

8. Используя все полученные результаты, построить график.

Примеры исследования свойств функции.

Пример 1. Исследуем функцию f(x) = Зх5 - 5х + 2 и построим ее график.

D(f)= R, так как f - многочлен.

Функция не является периодической, так как она принимает значение 0 не больше, чем в пяти точках.

Функция не является четной, не является нечетной, так как f(1) = 0 и f(-1) = 4.

График пересекает ось ординат в точке (0; 2).

График асимптот не имеет.

Производная f'(х) = 15 х 4-15 х 2 =15 х2 (х2 - 1).

f'(x) существует на R.

f'(x) = 0, если х = 0 или х = 1, или х = -1.

Критические точки: -1,0; 1.

Найдем значения функции в критических точках: f(0) = 2, f(1) = 0, f(-1) = 4.

Исследуем знак производной f'(x) = 15х2 (х +1)(х -1).

f'(2) = 15 * 4(2 +1)(2 -1) = 60 *3 = 180 > 0.

Используя достаточный признак возрастания и убывания функции и учитывая ее непрерывность в точках -1; 0 и 1, получаем, что функция f(х) возрастает на (-∞; -1] и на [1; +∞), а убывает на [-1; 1].

Согласно достаточному признаку экстремума получаем, что в точке х = -1 функция имеет максимум, равный 4, а точке х = 1 - минимум, равный 0.

Составим таблицу значений функции для некоторых значений аргумента: х -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 f(х) -3,9 4 2,53 2 1,46 0 7,06

Построим график функции.

f(х)=Зх5-5х3+2

Пример 2. Исследуем функцию f(x) = и построим ее график.

f(x) =.

D(f) = (-∞; - 2)((-2; 2)((2; +∞)

Функция не является периодической, так как она принимает значение 0 только в одной точке х = 0.

Функция является нечетной, так как D(f) - симметричное множество относительно 0, и для всех х ( D(f) имеем: f(-x) = = - = -f(x)

График функции f проходит через начало координат: f(0) = 0. Интервалы знакопостоянства:

f’(x) = = = = -.

Производная f'(x)<0 на D(f), следовательно, критических точек нет.

Пользуясь достаточным признаком убывания функции и учитывая непрерывность функции в точке х = 0, получаем, что она убывает на интервалах (-∞;-2), (-2; 2) и (2; +∞).

Составим таблицу значений функции для некоторых значений аргумента:

X -4 -3 -2,5 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2,5 3 4 f(x) 0

Построим график функции.

Построение графиков функций с помощью малых средств информатизации

Использование малых средств информатизации в школе - глобальная проблема, решением которой занимались многие методисты и учителя во всем мире в 70-80-х годах XX века. Применение калькулятора видели в проверке вычислений, в расчете трудоемких выражений. В 1990-е годы интерес переключился на компьютеры личного пользования, возможности которых были намного шире, чем у калькуляторов. Однако в настоящее время калькулятор вновь привлек к себе внимание. Это объясняется тем, что он стал проще в обращении, больше умеет, и операции с ним сходны с действиями на компьютере. Калькулятор становится активным помощником, обеспечивает большую наглядность.

Инженерный калькулятор - достаточно сложное средство информационных технологий, обладающее огромными возможностями. С его помощью можно осуществлять расчеты и обрабатывать результаты экспериментов. Причем действия исследователя при этом максимально упрощены: нажатие пары клавиш позволяет получить результат одновременно со всеми возможными статистическими характеристиками исследуемого процесса.

Без четких и сознательных представлений о графике не возможно привлечение геометрической наглядности при формирование значительного числа функциональных понятий. График широко используется при изучение многих разделов школьных предметов (физики, химии, географии, биологии). Мы знакомимся с понятием числовой функции и способами ее задания, овладеваем общими понятиями:

• область определения функции;

• график функции;

• возрастание и убывание функции;

• наибольшее и наименьшее значение функции;

• нули функции;

• промежутки знакопостоянства.

Построение различных видов графиков с помощью Casio

С помощью графического калькулятора Casio можно строить графики различных функций. Для построения используется меню Graph. В этом меню вводится формула функции, которую нужно построить. С помощью калькулятора можно строить сразу несколько функций в одной системе координат. Это очень удобно для изучения свойств графиков этих функций, для их сравнения, для решения систем уравнений графическим способом. Для построения нескольких графиков в одной системе координат используется клавиша SEL (F1). В этом меню можно задавать тип линии графика (клавиша STYL (F4)), удалять формулы (клавиша DEL (F2)), строить графики (клавиша DRAW (F6)).

Примеры:

Исследование функций с применением графического калькулятора Casio

Рассмотрим важные для исследования функции моменты, одновременно соотнеся с графическим представлением:

• область определения функции – проекция графика функции на ось абсцисс;

• корни функции – абсциссы точек пересечения графика функции с осью абсцисс;

• промежутки знакопостоянства функции – интервалы оси абсцисс, соответствующие точкам графика функции, лежащим выше (или ниже) нее;

• точки экстремума – точки, вблизи которых график функции выгибается и имеет вид горба (максимум) или впадины (минимума);

• промежутки монотонности функции – интервалы оси абсцисс, на которых график функции идет вверх (или вниз);

• наибольшее и наименьшее значения функции – ординаты самой высокой и самой низкой точек графика функции;

• область значений функции – проекция графика функции на ось ординат.

Пример 1. Исследуем функцию f(x) = Зх5 - 5х + 2 и построим ее график

1. Построим с помощью Casio график функции f(x) = Зх5 - 5х + 2

2. D(y) = (-∞;+∞), E(y) = (-∞;+∞. )

3. Найдем точку максимума и минимума.

SHIFT G- SLV (F5 ) MAX (MIN)

4. Найдем нули функции

SHIGT → G-SLV(F5)→ROOT(F1)

5. Составим таблицу значений функции для некоторых значений аргумента в режиме TABLE:

Пример 2. Исследуем функцию f(x) = и построим ее график.

1. Построим с помощью Casio график функции f(x) =

1. D(y) = (-∞;-2)((-2;2)((2;+∞), E(y) = (-∞;+∞).

2. Найдем точку максимума и минимума.

SHIFT → G- SLV (F5 ) → MAX (MIN)

3. Найдем нули функции

SHIGT → G-SLV (F5) → ROOT (F1)

5. Составим таблицу значений функции для некоторых значений аргумента в режиме TABLE:

На страницах периодической печати не раз обсуждалась перспектива прихода калькулятора в школу. В частности отмечалось, что свобода выбора современной модели калькулятора не только устраняет технические трудности. Благодаря калькулятору появилась реальная возможность работать с практическими данными, наблюдать по ходу числовых расчетов за промежуточными результатами, прогнозировать ответ. Калькулятор обеспечивает большую наглядность изучаемого материала.

Современные калькуляторы обладают значительными демонстрационными возможностями: все осуществляемые с их помощью действия могут быть спроецированы на большом экране с помощью оборудования, входящего в стандартные учебные комплекты.

Преимущества калькулятора:

• миниатюрность;

• мобильность;

• практическое отсутствие необходимости в ремонте и тратах на модернизацию.

В калькуляторы уже встроено все необходимое программное обеспечение, которое невозможно удалить в отличие от персонального и карманного компьютера.

В своей работе я рассмотрела возможность графического калькулятора Casio для исследования функции и построение графиков. Возможность работы в различных режимах: TABLE, GRAPH.

Таким образом, я пришла к выводу, что Casio обладает огромными возможностями.

С помощью малых средств информатизации упрощается вычислительная работа, сокращается время на построения графиков функций и изучение их свойств. Исследование графиков проще и точнее.

Моя работа имеет практическое значение для учащихся средних школ и учителей математике, физики, химии, географии, биологии.