Исследование зависимости периода колебаний математического маятника от его длины и амплитуды колебаний

Математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити, находящаяся в поле тяжести Земли. Математический маятник – это идеализированная модель, правильно описывающая реальный маятник лишь при определенных условиях: длина нити l много больше размеров подвешенного на ней тела, масса нити ничтожно мала по сравнению с массой тела, а деформации нити настолько малы, что ими вообще можно пренебречь.

Колебательную систему образуют нить, присоединенное к ней тело и Земля, без которой эта система не могла бы служить маятником.

Анализ свободных колебаний, совершаемых математическим маятником, значительно упрощается, если:

1) силы трения, действующие на тело, пренебрежительно малы и поэтому их можно не учитывать;

2) будем рассматривать лишь малые колебания маятника с небольшим углом размаха.

По второму закону Ньютона:

В проекции на горизонтальную ось ОХ:

Для малых колебаний OC ≈ l – длина нити:

Уравнение свободных колебаний маятника

Причинами свободных колебаний математического маятника являются:

1. Действие на маятник силы натяжения и силы тяжести , препятствующей его смещению из положения равновесия и заставляющей его снова опускаться.

2. Инертность маятника, благодаря которой он, сохраняя свою скорость, не останавливается в положении равновесия, а проходит через него дальше.

Период свободных колебаний математического маятника – минимальный промежуток времени, по истечении которого система возвращается в прежнее состояние, не зависит от его массы, а определяется лишь длиной нити и ускорением свободного падения в том месте, где находится маятник:

Цель исследования: экспериментально показать, что период Т малых колебаний математического маятника с длиной нити l пропорционален и не зависит от массы m тела и величины амплитуды А; построить графики зависимости T(), T(m) и Т(А); сделать выводы.

Оборудование: четыре шарика (можно гайки) разной массы, четыре нити длинами l1 = 49 см, l2 =81 см, l2 = 121 см, l4 = 169 см, секундомер, мерная лента, штатив с муфтой и кольцом.

Порядок выполнения работы:

1. Установить штатив на краю стола и закрепить у верхнего конца штатива с помощью муфты кольцо. Подвесить к нему шарик на нити.

2. Измерить расстояние l от точки подвеса до центра шарика.

3. Отклонить шарик от положения равновесия на 5 см и отпустить.

4. Измерить время t, в течение которого груз совершит N полных колебаний.

5. Повторить опыт с другими длинами нитей маятника.

6. Результаты измерений и вычислений.

7. Построить график зависимости периода колебаний от длины маятника T= f().

8. Не изменяя длину маятника, изменить массу груза и повторить опыты с тремя грузами.

9. Результаты измерений и вычислений.

10. Построить график зависимости периода колебаний от массы груза

11. Не изменяя длину нити, массу груза, установить зависимость периода от амплитуды малых колебаний.

12. Результаты измерений и вычислений.

13. Построить график зависимости периода колебаний от амплитуды T=f(A).

Вывод: Из простых опытов видно, что период колебания математического маятника не зависит от массы колеблющегося тела и амплитуды колебаний при небольших углах отклонения, а зависит только от длины нити.

Изменяя длину маятника, легко заметить, что чем короче маятник, тем меньше период его колебаний, и, наоборот, чем длиннее маятник, тем больше период его колебаний.

Подставив под маятник со стальным шариком сильный магнит, заметим, что период колебаний маятника уменьшился. Поднесение магнита равносильно увеличению земного притяжения. Поэтому можно высказать предположение, что период колебаний маятника зависит от ускорения свободного падения.

Изменяя период колебаний такого маятника, можно очень точно измерить ускорение свободного падения. В районах, где залегают плотные породы (в г. Железногорске, Курской области) ускорение свободного падения несколько больше нормального для этой широты. Это используют в геологии для поиска полезных ископаемых – гравиметрическая разведка.

Период колебаний математического маятника прямо пропорционален корню квадратному из длины его нити.

Маятники находят широкое применение в часах для измерения времени. Создание часов (в 1656 г. Гюйгенсом) явилось мощным толчком для развития науки и техники. Появилась реальная возможность изучать движение небесных тел и работу всевозможных механизмов. Стлала развиваться конструкторская деятельность, в том числе и в области точной механики. Были созданы хронометры – часы с точным ходом.