Теорема Пифагора, как источник замечательных математических открытий

В настоящее время имеется около 500 различных доказательств теоремы Пифагора. Помимо геометрических, встречаются алгебраические, механические и другие доказательства, что говорит о большом числе конкретных реализаций этой замечательной теоремы, а также о неослабевающем к ней интересе со стороны широкой математической общественности. А в учебной литературе предлагается единственный способ доказательства, что лишает учащихся на примере этой теоремы, познакомится с различными способами доказательства теорем.

С именем Пифагора и его теоремой связано множество легенд и преданий, достоверность которых до сих пор является предметом оживленных дискуссий. Зная заранее исключительную важность теоремы Пифагора, для всей математики в целом, учащиеся с большим интересом изучали бы эту тему.

Пифагор и его школа

Великий древнегреческий ученый Пифагор родился на острове Самос в V1 веке до нашей эры. В молодости побывал в Египте, где учился у жрецов. Говорят, что он был допущен в сокровенные святилища Египта, посетил халдейских мудрецов и персидских магов. Около 530 г. До н. э. Пифагор переехал в Кротон − греческую колонию в Южной Италии, где основал так называемый пифагорейский союз (или кротонское братство). В сферу интересов членов союза входили научные исследования, религиозно – философские искания, политическая деятельность. Они вели суровый образ жизни, превыше всего ценили самообладание, смелость и коллективную дисциплину. Пифагорейцы жили вместе, у них было совместное имущество , и даже свои открытия они считали общим достоянием.

Деятельность союза была окружена тайной, поэтому никаких текстов от ранних пифагорейцев не осталось. Кроме того, по традиции, они все открытия приписывали Пифагору, о котором уже при жизни ходили легенды, кто на самом деле является автором того или иного результата, неизвестно.

Пифагорейцы называли собственные исследования «матéмата», что означает « науки», и делили их на четыре части: арифметику, геометрию, астрономию и гармонию (учение о музыке). Главной считалась арифметика − наука о числах. Именно она лежала в основе геометрии, и астрономии, и гармонии.

Арифметика

Пифагорейцы представляли числа как совокупности точек, образующих геометрические конфигурации − наподобие рисунка из камешков на земле. Таким образом, под числом они подразумевали « множество единиц» (греч. «аритмόс») и признавали только целые положительные (т. е. натуральные) числа, разделяя их на чётные и нечётные. (Позже Платон говорил, что арифметика есть учение о чётном и нечётном. )

Пифагорейцы доказали первую теорему теории делимости: произведение двух чисел чётно тогда, когда чётно по крайней мере одно из них. Они поставили также задачу о нахождении совершенных чисел, т. е. чисел, равных сумме своих делителей (см. статью «Совершенные и дружественные числа»). Единица считалась неделимой, у неё не было «долей». Вместо этого пифагорейцы рассматривали отношения (т. е. пропорции) целых чисел. К примеру, они могли сказать, что 2 точно так относится к 3, как 4 к 6. Говоря современным языком, они построили теорию рациональных чисел как теорию пар. Её изложение дошло до нас в «Началах» Евклида (ΙΙΙ в. до н. э. ).

Геометрия

Остается неизвестным, сколько и какие именно аксиомы положили ранние пифагорейцы в основу своей геометрии, но все они относились к планиметрии прямолинейных фигур. Изучались свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и других плоских фигур, сравнивались их площади. Венчало их систему знаний доказательство знаменитой теоремы Пифагора, которая до этого была известна как факт для некоторых частных случаев. Трудно переоценить значение теоремы Пифагора (см. статью «Треугольник, простейший и неисчерпаемый»). Её обобщение и сегодня лежит в основе определения всех метрических пространств.

Можно утверждать, что и в стереометрии пифагорейцы достигли значительных успехов. По свидетельству греческого историка и философа V в. Прокла, именно они построили пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Правда, многие современные исследователи считают, что Пифагору были известны лишь куб, тетраэдр и додекаэдр, а октаэдр и икосаэдр открыл Театет Афинский (ΙV в. до н. э. ), талантливый ученик пифагорейца Федора Керенского и Платона.

Астрономия и гармония

Пифагорейцы считали, что Земля имеет форму шара и находится в центре Вселенной: ведь нет ни каких оснований, чтобы она была смещена или вытянута в какую-то одну сторону. Солнце же, Луна и пять планет (Меркурий, Венера, Марс, юпитер и Сатурн) движутся вокруг земли. Расстояния от них до нашей планеты таковы, что при их движении возникает прекрасная музыка − музыка сфер. Обычно люди не слышат её из-за суеты жизни, и лишь после смерти некоторые из них смогут насладиться ею. А Пифагор слышал её и при жизни.

Строй арфы должен был подчиниться законам арифметики. В частности, как обнаружили пифагорейцы, такие музыкальные интервалы, как октава, квинта и кварта, соответствуют звучанию пары одинаково натянутых струн, длины которых находятся в отношении 1: 2, 2: 3 и 3: 4. Все эти открытия и привели пифагорейцев к идее о том, что «всё есть число», т. е. законы природы − не что иное, как законы целых чисел и их отношений.

Открытие иррациональности

Вначале пифагорейцы полагали, что отношения любых физических или геометрических величин можно выразить отношениями целых чисел. В частности, они считали, что все отрезки соизмеримы, т. е. каковы бы ни были два отрезка АВ и СД, существует такой отрезок , который целое число раз укладывается как по длине АД, так и по длине СД, а значит, геометрию можно свести к арифметике.

Однако вскоре пифагорейцы сделали открытие, которое перевернуло все их взгляды : они доказали , что отношение диагонали к стороне квадрата нельзя выразить отношением целых чисел.

Позже были найдены и другие несоизмеримые отрезки. В частности, Федор Керенский обнаружил, что стороны квадратов с площадями 3, 5, , 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15 несоизмеримы со стороной единичного квадрата. А Теэтет доказал, что если площадь квадрата выражается любым неквадратным числом N , то сторона его несоизмерима с единицей. Иными словами, было установлено: если Ν α², то не выражается никаким рациональным числом, − он иррационален (см. статью «Иррациональные числа»).

И тогда древнегреческие мыслители заключили, что арифметика не может служить основой для геометрии. Геометрические величины, решили они, имеют более общую природу, чем числа и их отношения. Значит, в основу математики следует положить геометрию!

Каким числом выражается длина диагонали квадрата со стороной 1?

Диагональ разбивает квадрат на два одинаковых прямоугольных треугольника, в каждом из которых она выполняет роль гипотенузы. Поэтому, как следует из теоремы Пифагора, длина диагонали квадрата равна. Сразу же возникает соблазн достать микрокалькулятор и нажать клавишу извлечения квадратного корня. На табло мы увидим 1,4142135. Более совершенный калькулятор, выполняющий вычисления с высокой точностью, покажет 1,414213562373. А с помощью мощного современного компьютера можно вычислить с точностью до сотен, тысяч, миллионов знаков после запятой. Но даже самый высокопроизводительный компьютер, сколь бы долго он ни работал, никогда не сможет ни рассчитать все десятичные цифры числа , ни обнаружить в них какой-либо период.

И хотя у Пифагора и его учеников компьютера не было, обосновали этот факт именно они. Пифагорейцы доказали, что у диагонали квадрата и его стороны общей меры (т. е. такого отрезка, который целое число раз откладывалось бы и на диагонали, и на стороне) не существует. Следовательно, отношение их длин − число − нельзя выразить отношением некоторых чисел m и n. А коль скоро это так добавим мы, десятичное разложение числа не обнаруживает никакой регулярной закономерности.

По следам открытия пифагорейцев

Как доказать, что число иррационально? Предположим, существует рациональное число m/n, такое, что m/n =. Дробь m/n будем считать несократимой (ведь сократимую дробь всегда можно привести к несократимому виду). Возведя обе части равенства в квадрат, получим m²=2n². Отсюда заключим, что m− число чётное, т. е. m = 2k. Поэтому m² =4k² и, следовательно, 4k²= 2n², или 2k² = n². Но тогда получается, что и n также число чётное, а этого быть не может, поскольку дробь m/n несократима. Возникает противоречие

. Остается сделать вывод, что наше предположение неверно и рационального числа m/n , равного не существует.

Открыв новый математический объект, пифагорейцы пришли в полное замешательство. В основе всеобщей гармонии мира, считали они, должны лежать целые числа и их отношения. Никаких других чисел они не знали. И вдруг эта гармония рушится, − существуют величины, которые отношением целых чисел в принципе не являются!

О пережитом учениками Пифагора смятении свидетельствуют древние легенды. Они держали своё открытие в секрете. Однако Гиппас из Метапонта разгласил людям «ужасную» тайну существования несоизмеримых величин, и Небо покарало его: он утонул в море во время шторма.

По другой легенде, накликая на голову Гиппаса несчастья, пифагорейцы сами вырыли ему символическую могилу, «как будто некогда бывший их товарищ, в самом деле, ушел из земной жизни», − так писал античный философ Ямвлих. Впрочем, в это трудно поверить, ведь члены пифагорейского союза всегда славились взаимовыручкой и крепкими узами дружбы.

Понятия «рациональный» и «иррациональный» использовал уже Платон в диалоге «Государство», рассуждая о соизмеримости диагонали квадрата и его стороны. Встречаются они и в десятой книге «Начал» Евклида. В переводе с латыни слово «irrationalis» означает «неразумный». Любопытно, что в средневековой Европе наряду с irrationalis в ходу был ещё и другой термин − surdus −»глухой» или «немой». Судя по такому названию, математикам Средневековья иррациональные числа представлялись чем-то настолько несуразным, что буквально «ни высказать, ни выслушать».

Рационально или иррационально?

Если числа α и b не целое, то в большинстве случаев число иррациональное. Например, α = 2, b = ½, тогда. А наоборот? Существуют ли такие иррациональные числа α и b, что число α рационально?

Докажем, что они существуют. Возьмем число. Рационально ли оно? Сразу и не скажешь, непонятно даже, как выяснить природу этого числа. Однако давайте рассмотрим обе возможности.

Если наше число с = рационально, значит, оно и есть искомое. Ну а если число с –иррационально? Тогда возведём его в степень и получим число d: d=c.

Выходит, число d не только рациональное, а даже целое. Поэтому если с − иррационально, то искомыми числа будут α = с, b =.

Итак, мы не нашли иррациональных чисел α и b, для которых число α является рациональным, но доказали, что такие числа существуют. Для математики подобие положение типично. Очень часто бывает важно убедиться в существовании объекта с нужными свойствами, не интересуясь при этом конкретными примерами.

Но вернемся к древним грекам. Удивление и досада, с которыми они вначале восприняли иррациональные числа, впоследствии сменились интересом и пристальным вниманием к новым математическим объектам. Федор Керенский в 1V в. до н. э. доказал иррациональность чисел , а его ученик Теэтет обосновал иррациональность всех чисел вида , где Ν− целое число, не являющееся точным квадратом. Теэтет на этом не остановился, позднее он доказал, что иррациональны все числа вида , где Ν− целое, не являющееся точным кубом, а также рассмотрел иррациональности вида , ,.

Пользуясь определением, иррациональные числа можно собирать из десятичных цифр, как игрушки из деталей детского конструктора. Нужно заботиться лишь о том, чтобы появление цифр не подчинялось никакой периодичности. Так, иррациональным будет число, изображенное десятичной дробью 0,10100100010, в которой единица встречается через одну, две, три позиции и т. д. , или число 0,12345678910111213, в десятичной записи которого после запятой подряд помещаются все натуральные числа.

Гораздо сложнее бывает доказать, что некоторая заданная числовая конструкция представляет собой именно иррациональное число. Больших трудов, например, стоило обосновать иррациональность таких знаменитых постоянных, как число π = 3,1415927, число e = 2,7182818 А вот о константе Эйлера С =(1+1/2 + 1/3 ++1/ n− 1n n), приближенно равной 0,577216, пока (на 1997г. ) нельзя сказать ничего определенного. Рациональна она или нет, − это еще предстоит выяснить.

Совершенные и дружественные числа.

Строгие каноны совершенства.

Совершенными называются числа, равные сумме своих собственных делителей (т. е. всех делителей, включая единицу и исключая само число). Таковы, например, числа 6 и 28, поскольку 6 = 1+2+3, 28 = 1+2+4+7+14. Люди обратили на них внимание очень давно. Древнеегипетская мера длины локоть содержала 28 пальцев. В Древнем Риме существовал обычай отводить на пирах шестое место самым знатным и почетным гостям. Совершенными числами увлекались пифагорейцы − последователи школы древнегреческого математика Пифагора.

Одна из теорем в девятой книге Евклидовых «Начал» посвящена замечательному свойству совершенных чисел, открытому, как полагают, учениками Пифагора: если число p = 1 + 2 + 4 + + + 2 простое, то число 2 ∙ p совершенное. В справедливости этого утверждения можно убедиться, рассмотрев все собственные делители числа 2ⁿ · р : 1, 2, 4, , 2ⁿ, 2 2· (24 · (2− и подсчитав их сумму. Правило Евклида позволило древнегреческому математику Никомаху из Герасы (1−ll вв. ) найти такие совершенные числа, как 6, 28, 496, 8128 (при n = 1,2,4,6). Последующие столетия оказались не столь урожайными на находки. Очередное пятое по счету совершенное число 33550336 (n = 12) было обнаружено лишь в ХV в.

Узы дружбы в мире чисел

Два натуральных числа m и n называются дружественными, если сумма собственных делителей m равна n, а сумма собственных делителей n равна m.

История дружественных чисел теряется в глубине веков. По свидетельству античного философа Ямвлиха (III −IVвв. ), великий Пифагор на вопрос, кого следует считать своим другом, ответил: «Того, кто является моим вторым Я, как числа 220 и 284 дружественные.

Для нахождения дружественных чисел арабский ученый Сабит ибн Курра (1Х в. ) предложил хитроумный способ: задавшись натуральным числом n, подсчитать вспомогательные величины р = 3· 2, q = 3 · 2ⁿ − 1 и r = 9 · 2. Если окажется, что числа р, q, r простые, тогда числа А = 2 рq и В=2ⁿ r дружественные.

Пифагорова пара 220 и 284 получается по этому методу при n = 2. Следующую пару чисел 17296 и 18416 − обнаружили независимо друг от друга марокканский ученый Ибн аль-Банна и три столетия спустя француз Пьер Ферма. В этом случае n = 4. Третью пару − 9383584 и 9437 05 (при n=7) − указал в 1638г. Рене Декарт. Дальнейшие попытки найти дружественные пары при небольших значениях n к успеху не приводят. Более того, способ Сабита ибн Курра не выявляет ни одной новой пары дружественных чисел, если n увеличивать до 20000! Неужели дружественные числа − алмазы-самородки и для подсчета их пар многовато даже пальцев одной руки?

В 1747 − 1750гг. Леонард Эйлер провел уникальные числовые « раскопки». Он придумал оригинальные методы поиска и обнаружил сразу 61 новую пару дружественных чисел. Примечательно, что среди них оказались и нечётные числа: 69615 и 11498355; 87633 и 12024045. Сейчас известно около 1100 пар дружественных чисел. Любопытно, что в 1866г. итальянский школьник Н. Паганини ( однофамилец великого скрипача) нашел пару дружественных чисел 1184 и 1210 , которую все, в том числе и выдающиеся математики, проглядели!

Вот пары дружественных чисел в пределах 100000:

220− 284, 1184 − 1210, 2620 − 2924, 5 020 − 5 564,

6 232 − 6 368, 10744 − 10 856, 12 285 − 14 595,

17 296 − 18 416, 63020 − 76084, 66928 − 66992,

67095 − 71145, 69615 − 87633, 79750 − 88730.

Дружественные числа продолжают скрывать множество тайн. Есть ли смешанные пары, у которых одно число чётное , а другое − нечётное? Существует ли общая формула, описывающая все дружественные пары? Конечно или бесконечно число таких пар? На эти и другие вопросы ответы пока не найдены.

Какие задачи решали в Вавилоне?

Существовал и другой тип задач, также требовавший развития алгебраических методов,- неопределенные уравнения (так называются уравнения, в которых две или более неизвестные величины). Вот самый древний и знаменитый пример неопределенного уравнения: x² + y² = z²

Пифагорейцы занимались накоплением абстрактных математических фактов и объединением их в теоретические системы. Так, например, из арифметики была выделена в отдельную область исследований теория операций с натуральными числами Были найдены (или специально отмечены) способы суммирования простейших арифметических прогрессий.

С Во многих клинописных текстах речь идет о решении этого уравнения в рациональных числах (x¸ y¸ z) − позднее их стали называть « пифагоровыми тройками». Не совсем ясно, знали вавилоняне общие формулы его решения или нет, однако многие такие тройки мим были известны, например (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) и др. сохранилась даже таблица рациональных «пифагоровых троек», но каким образом она была получена, определенно сказать нельзя.

Одним из самых замечательных геометрических открытий было появление, и притом для общего случая, теоремы, которую впоследствии стали называть теоремой Пифагора, впервые она встречается в клинописных текстах времён царя Хаммурапи.

Сохранилось предание, что во время пребывания Пифагора в Египте жрецы, хранители научных и мистических знаний, посвятили его в свои священные науки.

Научные знания считались в Египте великой тайной, секретом, которым владели только жрецы. С вновь посвященных брали своего рода «подписку о неразглашении», неофиты обязывались не передавать знания остальным. По легенде, Пифагор клятву нарушил, создав впоследствии собственную школу и свое религиозное учение

В Вавилоне(туда он попал якобы взятым в плен персами) в течение семи лет он постигал кабалистические науки халдейских магов, мистическую науку о числах, законы музыки.

При этом успехи были столь значительны. Что слава о нем прокатилась не только по всему Вавилону, но и достигла родного острова Самос. Когда Пифагор вернулся на свой остров, его встретили как величайшего ученого.

В V веке до нашей эры в Греции началась борьба демоса (мелких собственников земли и ремесленников) против родовой знати, что привело постепенно к становлению и укреплению единоличной власти, опирающейся на движение демоса против аристократии. Такую власть называли тиранией. На острове Самос установилась тирания Поликрата.

Пифагор, как было уже сказано, принадлежал к родовой аристократии, поэтому он не обосновался в Самосе, а в знак протеста покинул остров и уехал в один из цветущих городов южной Италии, Кротон. Он считал, что свободный человек не должен подчиняться деспотизму.

В Кротоне Пифагор основал научную школу, которая больше походила на тайное аристократическое общество, ее члены подчинялись весьма строгим правилам. Он «сразу привлек всеобщее уважение как человек, много странствующий, многоопытный и дивно одаренный судьбой и природой: с виду он был величав и благороден, а красота и обаяние были у него и в голосе и в обхождении, и во всем».

Одним из жестких требований пифагорейцев было условие сохранения тайны учения. Что ж, в этом Пифагор, очевидно, следовал опыту египетских жрецов. До нас дошла легенда о наказании богами пифагорейца Гиппаса Месопотамского за то, что он посвятил «недостойных» в тайну несоизмеримости.

Члены школы Пифагора делились на учеников и слушателей, ритуал посвящения был окружен множеством таинств. Слушателям не дозволялось видеть своего учителя, поэтому комната, в которой проходили занятия, была разделена легкой перегородкой на 2 части. В одной из них занимался Пифагор с учениками, в другой находились слушатели.

Многочисленные ученики и последователи Пифагора, которых называли пифагорейцами, свято почитали своего учителя. Поэтому в том наследии, которое оставили пифагорейцы нельзя отделить открытия самого Пифагора от идей его учеников и последователей. Все свои открытия и идеи они приписывали «научному руководителю».

Члены этой организации не только занимались наукой, но и стремились оказать влияние на политическую жизнь города, объединив вокруг себя представителей городской знати. Пифагорейцы - это не только научная школа, но и некий тайный монашеский орден. И как оправдатели «единственно верного учения» того времени, наверное, тоже хотели влиять на власть.

Однако «стремление уйти от мира, замкнутая монашеская жизнь, вегетарианство и общность имущества встречались у многих сект. Но что отличало пифагорейцев от всех других- это способ, при помощи которого они считали возможным очищение души и соединения с божеством; это делалось именно при помощи математики. Математика была одной из составных частей их религии». Так сказал о пифагорейцах Б. Л. ван дер Варден - известный голландский математик.

А какая религия обходится без символов? Пентаграмма ( или пифагорейская звезда – «правильная пятиконечная звездочка») была для пифагорейцев так же значима, как крест для христиан или полумесяц для мусульман.

Например, по легенде, один пифагореец умирал на чужбине. Денег на оплату ночлега и еды у него не было, и он попросил хозяина нарисовать на стене дома пентаграмму. «Если когда-нибудь мимо пройдет пифагореец, он обязательно сюда заглянет»,- сказал умирающий. В самом деле, через несколько лет другой пифагореец увидел этот знак, и хозяин был щедро вознагражден.

В первозданном виде пифагорейский союз существовал недолго- до южно- итальянской провинции докатилась борьба демоса против родовой аристократии. В кротоне она в первую очередь была направлена против Пифагора и его таинственной организации. Около 510 года до н. э. Союз был разгромлен, а пифагорейцы бежали.

Пифагор со своими учениками был вынужден укрыться в соседнем городе Таренту. Но вскоре и там начались волнения, что вынудило Пифагора и его учеников перебраться в город Мерапонт, где он погиб, как гласит одна легенда, в ночной схватке с демосом.

ПИФАГОРЕЙЦЫ В МАТЕМАТИКЕ.

Смерть Пифагора, как и жизнь, окружена легендами. Согласно одной из них, в Кротоне был подожжен дом пифагорейцев, и последователи Пифагора проложили своими телами ему дорогу – мост через огонь. Они погибли, а Пифагор, будучи не в силах продолжать жизнь, купленную такой ценой, затосковал и покончил с собой.

С именем Пифагора связывают также учение об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и средних.

Пифагорейцы занимались изучением свойств многоугольников, треугольников и так называемыми звездными многоугольниками (конечно, много внимания уделялось изучению пентаграммы). Школе Пифагора присваивается построение планиметрии прямолинейных фигур.

Характеристической особенностью построения древнегреческой математики является ее логическая доказательность, которая берет свое начало также в пифагорейской школе. Возможно, школа Пифагора имеет отношение и к построению теории подобия.

Основным содержанием пифагорейской математики является учение о числе. «Число – это закон и связь мира, сила, царящая над богами и смертными, условие всего определенного, всего познаваемого». Пифагорейцы искали в числовых отношениях мистические тайны и откровения. Одним из отправных в учении о числе была музыка.

Опять – таки, по преданию, Пифагор сам установил, что приятные слуху созвучия получаются, только если длины струн. Издающих эти звуки, относятся как целые числа первой четверки: 1/2,2/3,3/4. Числа 1,2,3,4 играли у пифагорейцев особую роль, их называли тетрактисом.

Величайшим открытием пифагорейцев было открытие несоизмеримости величин. Для самих пифагорейцев это открытие оказалось величайшим потрясением. Несоизмеримость отрезков была обнаружена в квадрате – фигуре, которую они считали наиболее совершенной. Открытие несоизмеримости разрушило «числовую гармонию мира».

Оказалось, что любое число может быть представлено геометрической величиной, например, длиной отрезка, но не всякий отрезок может быть выражен числом (имеется в виду, естественно, рациональные числа).

Сохранилось предание, что открытие несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной Пифагор воспринял как начало хаоса и приказал ученикам хранить это открытие в глубочайшей тайне.

Для математики открытие несоизмеримости трудно переоценить. В момент осознания несоизмеримости отрезков, едва ли не впервые, в математику вошла сложная теоретическая абстракция. Это имело огромное философское и методологическое значение для всей дальнейшей математики.

Теорема Пьера Ферма.

Теорема: Сумма одинаковых степеней двух целых чисел не может быть той же степенью третьего целого числа, если степень больше 2. Другими словами, уравнение: xn+yn= zn неразрешимо в целых числах, если n>2. Для случая, когда n=2, такое уравнение разрешимо (задача о Пифагоровых тройках).

Не мало великих математиков в свое время трудились над доказательством этой неподатливой теоремой, высказанной Ферма более трех с половиной веков тому назад, - и никому еще не удавалось найти общее, строгое ее доказательство для всех степеней выше второй. Теорема Ферма имеет свою крайне любопытную историю. Она, можно сказать, прямо заинтриговала математиков.

Ее автор, Пьер Ферма(1601-1665), юрист по профессии, советник Тулузского парламента по положению, поэт и ученый в душе – занимался математикой лишь, между прочим, для развлечения. Это не мешало, однако, сделать целый ряд огромной важности открытий, справедливо окруживших его славой гениального математика. Он почти не печатал своих трудов, а сообщал их в письмах к своим друзьям, среди которых были такие ученые, как оба Паскаля, Роберваль, Декарт, Гюйгенс и др. Целый ряд теорем из области чисел разбросаны этим гениальным дилетантом. на полях одной греческой книги! Впрочем, автором сочинения, которому посчастливилось служить записной книжкой для Ферма, был никто иной, как не менее знаменитый александрийский математик Диофант, также занимавшийся теорией чисел. Многие из теорем, найденные у Ферма, записывались им без доказательств. Эти доказательства так до нас и не дошли. Но впоследствии все его теоремы были строго доказаны позднейшими математиками, все, кроме одной той самой, о которой у нас сейчас идет речь!

Упомянутая заметка на полях книги Диофанта написана против того места текста, где александрийский математик трактует о разложении полного квадрата на сумму квадратов. Вот буквальный перевод того, что Ферма записал сбоку на полях:

«Между тем, совершенно невозможно разложить полный куб на сумму двух кубов, 4 степень на сумму двух 4 степеней, вообще какую-либо степень на сумму двух степеней с тем же показателем. Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но здесь слишком мало места, чтобы его поместить». В чем состояло это «поистине удивительное» доказательство, - никто теперь не знает. Но в то же время ни один математик не сомневался, что такое доказательство действительно было найдено Ферма, и что оно было верно. Не таков был человек Пьер Ферма, чтобы покривить душой, и не таков он был математик, чтобы ошибаться. Ведь все другие теоремы, высказанные им без доказательств, были доказаны позднейшими математиками. Такова, например, теорема: «Каждое простое число вида 4n+1 есть сумма двух квадратов. » Она дана была Ферма без доказательства, но 100 лет спустя Эйлер нашел – довольно сложное и трудное- ее доказательство.

Кажущееся исключение, бросающее, по-видимому, тень на репутацию Ферма, как непогрешимого теоретика чисел, составляет следующий случай. Ферма высказал теорему, что всякое число вида n

22 + 1 есть простое число. В течение целого столетия не возникало сомнений в ее правильности. Но вот другой гений теории чисел, Эйлер, доказал, что теорема верна лишь для n<32, и что при n = 32 получается число 4294967297, которое не простое, а составное, ибо делится без остатка на 641.

Однако это не только не подрывает веры в добросовестность Ферма, но, напротив, скорее утверждает ее. Дело в том, что и сам Ферм сомневался в абсолютной верности этой теоремы и откровенно заявлял, что ему еще не удалось дать ее исчерпывающее доказательство. «Доказательство очень кропотливо - говорит он - и должен признаться, что я еще не довел его до удовлетворительного завершения».

После этого едва ли можно еще сомневаться в том, что Ферма действительно доказал свое великое предложение. А если так, то вполне возможно, что кому-нибудь посчастливится подыскать доказательства той теоремы. Вот краткий перечень того, что уже сделано в этом направлении.

Прежде всего, легко доказать, что если теорема справедлива для показателя n, то она справедлива также и для всякого другого показателя, кратного n. Значит, все дело в том, чтобы доказать справедливость теоремы для всякого простого показателя. Для суммы кубов теорема была доказана еще древними арабами. Для n равного 4 ее доказал Эйлер, для n =5- доказали Гаусс и Дирихле. Для n=7- доказал Ламе. Наконец Куммер доказал ее для всякого показателя меньшего 100.

Таким образом, для многих частных случаев теорема Ферма доказана. Но у Ферма было общее ее доказательство, для всякого, и это – то общее доказательство требуется найти. При этом достойно было отмечено, что многие позднейшие математики (Эйлер и Куммер), доказываю частные случаи теоремы Ферма, пользуются такими приемами, которые далеко выходят за пределы элементарной математики и которые самому Ферма не могли быть известны. Очевидно, гениальный французский математик шел каким-то совершенно особым путем, ускользнувшим из поля зрения позднейших математиков.

«ПОСЛЕДНИЙ ШТУРМ» ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

Конец ХХ в. ознаменовался для математиков настоящей сенсацией: попытки доказать великую теорему Ферма наконец-то увенчались успехом!

Летом 1995г. в одном из великих математических журналов – «Анналы математики» - было опубликовано полное доказательство теоремы. Разбитое на две статьи, оно заняло весь номер – в общей сложности более 100 страниц. Основная часть доказательства принадлежала 42-летнему английскому математику Эндрю Уайлсу, профессору Принстонского университета (США), «штурмовавшему» знаменитую проблему почти десять лет. На последнем этапе подключился Ричард Тейлор, профессор Оксфордского университета. Он помог устранить проблемы, имевшие в первоначальном доказательстве Уайлса.

Это первоначальное доказательство Уайлс изложил 23 июня 1993 г. в цикле лекций, прочитанных им в Институте математических наук имени Исаака Ньютона в Кембридже. Оно явилось плодом напряженной затворнической работы. По признанию Уайлса, никто, кроме его жены, не знал, что он работает в этой области.

Идеи Уайлса опирались на замечательную связь между уравнением Ферма z и эллиптическими кривыми, задаваемыми уравнением у= x(x - a)(x-c) (*)

( впервые на неё обратил внимание французский математик Ив Эллегарш в 1970 г. ). Ранее, в 1955 г. , японский математик Ютака Танияма сформулировал в виде гипотезы одно свойство множества эллиптических кривых – так называемую модулярность. В 1985 г. немецкий ученый Герхард Фрей предположил, что из справедливости этой гипотезы для кривых можно вывести теорему Ферма, а в 1986 г. американец Кеннет Рибет доказал предположения Фрея. Таким образом, чтобы доказать теорему Ферма, осталось только найти доказательство гипотезы Таниямы. Именно оно и было изложено Уайлсом в кембриджских лекциях.

Никто не ожидал такой смелости от малоизвестного математика. Специалисты взялись за тщательную проверку доказательства Уайлса. И через несколько месяцев ( как не раз уже бывало в истории доказательства великой теоремы) они обнаружили в работе Уайлса пробелы. Но в целом его идеи были признаны глубокими, красивыми и современными.

Уайлс принялся исправлять доказательство. Прошел почти год, и в августе 1994-го он был приглашен на очередной Международный математический конгресс в Цюрих. Математический мир с нетерпением ждал его доклада. Уайлс, конечно же, хотел завершить доказательство к моменту своего выступления, но не успел. Коллеги видели, как даже перед самым докладом он продолжал работать, сидя на ступеньках рядом с аудиторией. И когда, поднявшись на кафедру, Уайлс сообщил замершему залу, что пока не обладает полным доказательством, ему дружно зааплодировали.

Однако уже 19 сентября 1994 г. , всего через месяц после конгресса, Уайлс, по его словам, озарила ключевая идея, которая и позволила ему ( вместе с приглашенным к студенчеству Тейлером) восполнить наконец имевший пробел. На этот раз доказательство выдержало все самые скрупулёзные проверки и было опубликовано. Так завершилась 350-летняя история доказательства великой теоремы.

А могло ли доказательство самого Ферма ( если таковое существовало) быть аналогично уайскому? Вот мнение Уайса на этот счет: «Ферма не мог располагать таким доказательством. Это доказательство двадцатого века.

Великая теорема Ферма носит как будто бы частный характер. Но попытки её доказательства обогатили математику новыми идеями, методами, теориями. В этом и состоит непреходящее значение великой теоремы.

Значение теоремы Пифагора

Благодаря тому что теорема Пифагора позволяет находить длину отрезка (гипотенузы) , не измеряя его непосредственно, она как бы открывает путь с прямой на плоскость, с плоскости в трёхмерное пространство и дальше – в многомерное пространство. Этим определяется её исключительная важность для геометрии и математики в целом.

В некотором смысле в теореме Пифагора, как в зерне, заключена вся евклидова планиметрия. Вспомним формулу для расстояния между точками и в декартовых координатах: С одной стороны, это просто теорема Пифагора для треугольника с гипотенузой АВ и катетами, параллельными осям координат ( их длины равны и ). Но, с другой стороны, если считать пары чисел точками плоскости, тогда эта формула уже является определением расстояния. Из нее можно вывести все понятия, непосредственно определяемые через расстояния, - такие как равенство и подобие фигур. Или, например, окружность. Она определяется как множество пар чисел , для которых

= const.

где () – некоторая заданная точка ( центр окружности ).

Можно определить и все другие геометрические понятия и терминах расстояний: в частности, отрезок AB- это множество таких точек С , что АС+СВ = АВ. А стоит добавить ещё одну координату и соответствующее слагаемое ( z- z )в формулу расстояния – и мы в трёхмерном пространстве. Подобным же образом геометрическая структура вводится в пространствах любой, даже бесконечной размерности.

Теорема Пифагора лежит в основе многих более общих метрических соотношений на плоскости и в пространстве. В значительной мере на неё опирается и тригонометрия: ведь важнейшее тригонометрическое тождество cos + sin =1- это та же теорема Пифагора, записанная в другом виде.

Доказательство теоремы Пифагора – это триумф древнегреческой мысли – для самих пифагорейцев вскоре, однако, обернулся трагедией. В пифагорейской гармонии рационального прозвучали диссонансы в виде несоизмеримых отрезков, как это имеет место между стороной квадрата и его диагональю. Доказательство этого замечательного факта, которое можно найти у Евклида, во многом пропитано пифагорейским учением о четном и нечетном. Пусть α и d, соответственно, сторона и диагональ квадрата, выраженные натуральными числами: (α; d) = 1. Тогда по теореме Пифагора, d² = 2α² и число d должно быть четным. Но в таком случае α нечетным, так как (α; d) =1. С другой стороны, поскольку d- четное, то d² делится на 4, и тогда 2α² делится на 4 и α должно быть четным, т. е. (α; d) 1. Полученное противоречие доказывает утверждение и, следовательно, отношение рациональным числом представить нельзя, т. е. α и d – несоизмеримы.

По преданию, несоизмеримые отрезки открыл сам Пифагор. Это открытие долго держалось в тайне. Однако ученик Пифагора – Гиппас Месапонтский, открыл «недостойным» природу пропорции и несоизмеримости. За это пифагорейцы изгнали Гиппаса из своего общества и при жизни соорудили ему могилу. Вскоре Гиппас действительно погиб во время кораблекрушения, что пифагорейцами было воспринято как гнев богов за разглашение тайны.

Скорее всего, несоизмеримость между стороной и диагональю квадрата пифагорейцами была нащупана индуктивно, возможно, путем соответствующих прямых измерений, и только после этого последовало ее строгое доказательство. Это могло быть так. С помощью теоремы Фалеса сторона квадрата делилась на n равных частей. Каждую такую часть принимали за меру длины. Затем эту меру откладывали на диагонали квадрата, и в итоге получалось, что какой бы сколь угодно малой эта мера ни была, она никогда не укладывалась по диагонали целое число раз, что свидетельствовало об отсутствии общей меры длины у стороны и диагонали данного квадрата, а отсюда термин «несоизмеримые» отрезки. По существу, здесь впервые был обнаружен геометрический образ иррациональной величины. Этот факт следует признать величайшим достижением пифагорейцев, поскольку открытие иррациональных величин, наряду с методом исчерпывания Евдокса ( V- IV вв. до н. э. ), во многом способствовало становлению математического анализа в XVII – XIX вв. И вновь у истоков этих великих свершений стояла теорема Пифагора!

Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодотворных идей. Уже у Евклида мы встречаем доказательство теоремы косинусов для произвольного треугольника, из которой получается соотношение, связывающее диагонали параллелограмма с его сторонами. Там же мы находим такое интересное обобщение теоремы Пифагора: оказывается, если на сторонах прямоугольного треугольника построены подобные между собой многоугольники, то площадь многоугольника, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей многоугольников, построенных на катетах. В дальнейшем оказалось, что данная теорема остается справедливой, если на сторонах прямоугольного треугольника строятся любые ( в том числе и криволинейные) подобные между собой фигуры. Впрочем, частный случай этого утверждения, по некоторым данным, обнаружил еще Гиппократ (ок. 450 – 430 гг. до н. э. ) – предшественник, и в некотором смысле наставник Евклида.

Гиппократ доказал, что для данного прямоугольного треугольника площадь круга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей кругов, построенных на катетах как на диаметрах. При доказательстве этого утверждения Гиппократ обратил внимание на две криволинейные фигуры, которые теперь принято называть «луночками Гиппократа». Сумма площадей гиппократовых луночек равна площади прямоугольного треугольника, на который они опираются. Но тогда если прямоугольный треугольник равнобедренный, то площадь луночки оказывается равной половине площади прямоугольного треугольника, на который она опирается. Пожалуй, это был первый случай, когда обнаружилось выражение площади криволинейной фигуры через площадь некоторой прямолинейной фигуры. В этом смысле Гиппократа называют родоначальником идеи апагогического метода, когда решение поставленной задачи сводится к решению другой, более доступной задачи. В данном случае площадь криволинейной фигуры, которая, как мы теперь знаем, в общем случае выражается с помощью определенного интеграла, сводится к простейшей задаче по вычислению площади прямоугольного треугольника. При этом теорема Пифагора вновь вступает как источник созидательной идеи и вновь демонстрируется ее связь с задачами анализа.

В дальнейшем Гиппократ в безуспешной попытке привлечь эту идею к решению задачи о квадратуре круга обнаружил еще несколько луночек, площади которых выражались через площади прямолинейных фигур. Однако полное описание всех возможных гиппократовых луночек потребовало глубоких алгебраических исследований и было завершено лишь в XIX- XX вв. в рамках теории Галуа.

На рубеже XVIIв. на вооружение математиков пришли алгебраические методы, однако при этом нелишне вспомнить крылатую фразу замечательного французского математика Софии Жермен (1776- 1831), которая как-то сказала: «Алгебра – не что иное, как записанная в символах геометрия, а геометрия – это просто алгебра, воплощенная в фигурах». Мостик между алгеброй и геометрией перебросил Рене Декарт в 1637г. с помощью метода координат, когда между точками плоскости и упорядоченными парами чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие. Таким образом, концепция геометрического пространства приобретает аналитически измеримые очертания.

Итак, в рамках данного историко-математического проекта сделана попытка обстоятельно представить теорему Пифагора эволюционно, в виде источника открытий, а также плодотворных математических идей и обобщений. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана и, как представляется, данный источник и по сей день способен, утолить жажду пытливого исследователя.

В ходе проведения исследования получены следующие новые теоретические и практические результаты:

1. Получены новые знания следующего характера: исторические сведения о жизни и открытиях Пифагора и его последователей; конструктивные геометрические способы доказательства теорем; историческая роль теоремы Пифагора в развитии математики.

2. Выдвинуты новые гипотезы и идеи: теорема Пифагора послужила источником множества обобщений и идей в области математики, в частности в теории чисел, геометрии, тригонометрии, алгебре.

3. Созданы новые творения в виде: сборника доказательств теоремы алгебраическими, геометрическими и конструктивными методами, а также сборник задач, в решении которых используется рассматриваемая теорема.

4. Определены новые проблемы (задачи): Теорема Пифагора - основа евклидовой геометри.

На основании проведенного исследования и полученных результатов можно сделать следующие выводы:

1. Благодаря тому, что теорема Пифагора позволяет находить длину отрезка (гипотенузы), не измеряя его, она как бы открывает путь с прямой на плоскость, с плоскости в трёхмерное пространство и дальше – в многомерное пространство. Этим определяется её исключительная важность для геометрии и математики в целом.

2. В некотором смысле в теореме Пифагора, как в зерне, заключена вся евклидова планиметрия. Вспомним формулу для расстояния между точками и в декартовых координатах: С одной стороны, это просто теорема Пифагора для треугольника с гипотенузой АВ и катетами, параллельными осям координат ( их длины равны и ). Но, с другой стороны, если считать пары чисел () точками плоскости, тогда эта формула уже является определением расстояния. Из нее можно вывести все понятия, непосредственно определяемые через расстояния, - такие как равенство и подобие фигур. Или, например, окружность. Она определяется как множество пар чисел (), для которых

= const.

где () – некоторая заданная точка (центр окружности ).

Можно определить и все другие геометрические понятия и терминах расстояний: в частности, отрезок AB- это множество таких точек С, что АС+СВ = АВ. А стоит добавить ещё одну координату и соответствующее слагаемое ( z- z )в формулу расстояния – и мы в трёхмерном пространстве. Подобным же образом геометрическая структура вводится в пространствах любой, даже бесконечной размерности.

3. Теорема Пифагора лежит в основе многих более общих метрических соотношений на плоскости и в пространстве. В значительной мере на неё опирается и тригонометрия: ведь важнейшее тригонометрическое тождество cos + sin =1- это та же теорема Пифагора, записанная в другом виде.

. 4. Труды Пифагора можно считать отправным пунктом исследования неопределенных алгебраических уравнений (диофантовых уравнений), одно из которых известно нам, как Великая теорема Ферма. Попытки её доказательства обогатили математику новыми идеями, методами, теориями.