Тригонометрия вокруг нас

Тригонометрия – раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Слово тригонометрия состоит из двух греческих слов: trigwnon - треугольник и metrew - измерять и в буквальном переводе означает измерение треугольников. Именно эта задача – «измерение треугольников», или, как принято говорить, решение треугольников, т. е. определение всех элементов треугольника по трем данным, - с древнейших времен составила основу практических приложений тригонометрии. Исторически тригонометрия сложилась из задач на решение плоских и сферических треугольников.

Как и всякая другая наука, тригонометрия возникла в результате человеческой практики в процессе решения конкретных практических задач.

Возникновение тригонометрии тесно связано с развитием одной из древнейших наук – астрономии; главная роль принадлежит ей в формировании и развитии сферической тригонометрии. « со времен древнего Вавилона до времени Эйлера и Лапласа астрономия была руководящей и вдохновляющей силой самых замечательных математических открытий. »

Развитие астрономии, вызвано, в первую очередь, необходимостью составления правильного календаря, имевшего важное значение для земледельческого хозяйства древности. Земледельцу нужно было знать смену времен года, чтобы своевременно производить необходимые сельскохозяйственные работы. Календарь был необходим также и служителям культа, исполняющим религиозные обряды, для определения дней праздником и многим другим лицам. Повседневная жизнь становилась вымыслом без календаря.

Развитие торговли, связанное с необходимостью передвижения, как по суше, так и водным путем, оказало большое влияние на развитие астрономии: нужно было уметь правильно определять курс корабля в открытом море.

Значительную роль в развитии астрономии и связанной с ней тригонометрии сыграла, несомненно, потребность в составлении точных географических карт, что требовало правильного определения больших расстояний на земной поверхности.

Врачам нужна была астрономия, алгебра и тригонометрия для астрологических вычислений, чтобы составить гороскоп больного и по расположению планет в созвездиях определить, поправится больной или нет.

Эти и другие стороны деятельности человека уже в глубокой древности наталкивались на необходимость ознакомления с положением и видимым движением небесных светил (Солнца, Луны, звезд).

Зарождение тригонометрии.

Уровень развития математики у древних народов Двуречья был более высоким, чем у других восточных народов. У древних народов Двуречья были особенно развиты астрономические наблюдения. Следовательно, они владели некоторыми простейшими сведениями из тригонометрии. Уже 2-3 тыс. лет до н. э. древние египтяне практически использовали астрономические наблюдения при работах по сельскому хозяйству. Разливы Нила были важны фактором в развитии земледелия.

В классическом китайском трактате «математика в девяти книгах», составленном во II-Iв. Н. э. по более ранним источникам, в книге IX трактата собран ряд задач на применение прямоугольных треугольников, где есть задачи на определение расстояния до недоступных предметов. Больших успехов в астрономии добились древние майя, ими был создан достаточно точный календарь (календарно- хронологическая система).

Тригонометрия и ее характер у древних греков

Значительно позднее тригонометрия вступила в следующий этап своего развития в древней Греции как часть астрономии. В связи с потребностями астрономии и геодезии первостепенное значение получили вычислительные задачи сферической тригонометрии. Некоторое знакомство с сферической тригонометрией имел еще Фалес Милетский (640 – 548 г г. до н. э. ) – древнегреческий математик и астроном.

В первой половине 3 в. До н. э. древнегреческий астроном и математик Аристарх Самосский (ок. 310 – ок. 230г г. до н. э. ), по свидетельству Архимеда, высказал смелую гипотезу о том, что Земля движется по кругу около Солнца: за это его обвинили в безбожии и изгнали из Афин.

Уже в середине I тысячелетия до н. э. древнегреческие ученные знали, что Земля имеет форму шара, в частности длины его окружности; были разработаны некоторые методы решения этой задачи. Первое измерение дуги меридиана и радиуса Земли принадлежит Эратосфену Киренскому (ок. 276 – 194 г г. до н. э. ) – древнегреческому математику, географу, историку, философу, поэту.

Но основополагающее значение для развития тригонометрии в эпоху ее зарождения имели работы древнегреческого ученого Гиппарха (ок. 180 – 125 г г. до н. э. ) – основателя научной астрономии.

Гиппарх составил звездный каталог с тем, чтобы будущие астрономы могли следить за появлением новых звезд и исчезновением старых. В каталог было занесено положение на небе более 1 тыс. звезд, подразделенных им по блеску на 6 звездных величин и определенных им по блеску на 6 звездных величин и определенных для того времени весьма точно. Гиппарх явился основоположником математической географии. Им было введено определение точек на земной поверхности при помощи географических координат – широты и долготы.

Следует тут же оговориться, что тригонометрии как науки в современном смысле этого слова не было ни у Гиппарха, ни у других ученных древности. Но по существу, они, пользуясь известными им положениями элементарной геометрии. , решали те задачи, которые мы сейчас относим к тригонометрии. В основе всех тригонометрических вычислений у греков лежала известная еще Гиппарху так называемая теорема Птолемея, которую можно сформулировать следующим образом: «Произведение диагоналей вписанного в круг четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон. »

Тригонометрия в Индии

Следующий шаг по развитию тригонометрии связан с развитием математической культуры народов индии с IV по XIIвв. Наряду с синусом индийцы ввели в тригонометрию косинус, точнее говоря, стали употреблять в своих вычислениях линию косинуса. Сам термин косинус появился значительно позднее в работах европейских ученных- австрийского математика Пейрбаха или Пурбаха (1423 – 1461) и немецкого математика Региомонтана (1436 – 1476).

Индийцам было так же известно соотношение sin2a + cos2a= r2 , а также формулы для синуса половинного угла и синуса суммы и разности двух углов. Таким образом, индийцы положили начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах, хотя у них и было мало внимания отведено как раз решению треугольников. Для измерений высот и расстояний были разработаны несколько правил, основанных на изменении тени вертикального шеста – гномона и на подобии треугольников. Все это предвосхищало введение тангенса и котангенса.

Тригонометрия в странах Арабского Халифата

Следующий этап в развитии тригонометрии связан с расцветом культуры стран арабского халифата. Так называлось объединение различных стран и народов, завоеванных арабами в VII – VIII вв. в него входили таджики, узбеки, персы, азербайджанцы, египтяне, сирийцы и другие народы. Многие из этих народов стояли на более высоком уровне общественного и культурного развития, чем сами арабы. Необходимые сведения по астрономии вместе с тригонометрией, алгеброй и арифметикой были заимствованы в первые из Индии. И хотя индийская математика дала начало развитию арабской математики, господствующее положение в нарождающейся науки науке у арабов занимала греческая геометрия и астрономия, благодаря переводом всех трудов Евклида, Аполлония, Архимеда, Птолемея и их позднейших комментаторов. Особенно велик вклад, внесенный арабоязычными народами в математику. Это прежде всего десятичная система счисления, позаимствованная арабами у индийцев и позже, благодаря трудам арабоязычных ученых, получившая распространение в Европе. Успехи в математике, в частности в тригонометрии, создали основу для достижений в астрономии и в некоторых других науках.

Тригонометрия и здесь развивалась в тесной связи с астрономией и географией и носила ярко выраженный «вычислительный» характер.

В Багдаде в разное время занимались научной работой такие ученые, как ал – Хорезми (783 – 830), ал – Хабаш (764 – 874), Ибн кора (836 – 901), Ибн Ирак (965 – 1035), ал – Бируни (973 – 1050).

Ал – Хорезми внес большой вклад в развитии математики, астрономии и математической географии. Его труды в течение нескольких столетий оказывали сильное влияние на ученных Востока и Запада и долго служили образцом при написании учебников математики. Два его трактата по арифметики и алгебре сыграли большую роль в развитии математики.

Тригонометрия в Европе

В XIIв. в Европе возникает городская культура, развиваются товарно – денежные отношения внутри феодальной системы хозяйства. Этому способствовали также торговые путешествия и крестовые походы, позволившие частично познакомиться не только с движениями восточной культуры, но и с культурой древней Греции. Начинается самостоятельное творчество европейских ученых; им пришлось заново открывать многое из того, что открыто было задолго до них. Первые их достижения относятся именно к тригонометрии; она разливалась в основном на базе достижений древних греков. Появились переводы некоторых «арабских» сочинений по тригонометрии. На основе этих сочинений в Англии были написаны работы по тригонометрии Р. Уоллигрфордом (ок. 1292 – 1335) и его современником Д. Модюктом. Английский ученый Томас Брадвардин (ок. 1290 – 1349) впервые в Европе предложил единичный радиус тригонометрического круга, ввел в тригонометрические вычисления котангенс под назначением «прямой тени» и тангенс под названием «обратной тени». В этот период составляют таблицы синусов.

Отметим что Региомонтан, независимо от арабов (опередивших его на 400 лет) и Т. Бродвардина, ввел в еврейскую науку функцию тангенса, составил таблицу синусов через 1’ и таблицу тангенсов через 1о. он составил так же таблицу для вычисления катета прямоугольного треугольника (сферического ) по лежащему против него углу А и по гипотенузе С согласно формуле sina – sinCsinA,назвав ее таблицей «с двойным входом». Эта работа Региомонтана сыграла очень большую роль в дальнейшем развитии тригонометрии.

Важный вклад в развитие тригонометрии внес польский астроном Николай Коперник (1473 – 1543), создатель гелиоцентрической системы мира, реформатор астрономии. Не знакомый с работами Региомонтана, Коперник самостоятельно обосновал некоторые основные положения сферической тригонометрии; он впервые сводит все дело к трехграннику, проектирующему треугольник из центра. Коперник сам занимался составлением тригонометрических таблиц. Немецкий математик Петер Крюгер(1480 – 1532) был первым из европейских математиков, составивших отдельно таблицы логарифмов тригонометрических функций и таблицы логарифмов чисел. Датский математик Томас Финк (1561 – 1656) в работе «Геометрия круглого»(1583) впервые вводит термины «синус», «тангенс» и «секанс».

Английский математик Абрахам Муавр (1667 – 1754), по происхождению француз, находит правило для возведения в степень комплексного числа, заданного в тригонометрической форме, которое широко применяется в тригонометрии и алгебре при решении двухчленных уравнений и известно теперь как «формула Муавра».

В настоящее время тригонометрия перестала существовать как самостоятельная наука, распавшись на две части. Одна из этих частей представляет собой учение о тригонометрических функциях, а другая – вычисление элементов тригонометрических фигур.

Первая часть, как мы уже говорили выше, входит в состав математического анализа, располагающего общими методами исследования функций, а вторая часть относится к геометрии и играет в ней вспомогательную роль.

«Геометрическая» часть тригонометрии в свою очередь распадается на два раздела – «прямолинейную тригонометрию» и «сферическую тригонометрию». Основным содержанием первого раздела является вычесление элементов плоских треугольников, а второго раздела – вычисления элементов сферического треугольника.

Применение тригонометрии в других науках

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела.

Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалеких звезд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как техника навигации, теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

Тригонометрия в физике

В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими (или почти периодическими) процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения. Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в механике значительный интерес представляют и колебательные движения.

а)Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x = f(t). Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени. Примером волны такого рода могут служить волны, бегущие по натянутому резиновому жгуту или по струне.

Если смещение частиц среды происходит в направлении распространения волны, такая волна называется продольной. Волны в упругом стержне или звуковые волны в газе являются примерами таких волн.

Волны на поверхности жидкости имеют как поперечную, так и продольную компоненты.

Как в поперечных, так и в продольных волнах не происходит переноса вещества в направлении распространения волны. В процессе распространения частицы среды лишь совершают колебания около положений равновесия. Однако волны переносят энергию колебаний от одной точки среды к другой.

Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными. Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными.

б)Звуковыми волнами или просто звуком принято называть волны, воспринимаемые человеческим ухом.

Если в каком-нибудь месте твердой, жидкой или газообразной среды возбуждены колебания частиц, то вследствие взаимодействия атомов и молекул среды колебания начинают передаваться от одной точки к другой с конечной скоростью. Процесс распространения колебаний в среде называется волной.

Механические волны бывают разных видов. Если при распространении волны частицы среды испытывают смещение в направлении, перпендикулярном направлению распространения, такая волна называется поперечной. Если смещение частиц среды происходит в направлении распространения волны, такая волна называется продольной. Волны на поверхности жидкости имеют как поперечную, так и продольную компоненты. Продольные механические волны могут распространяться в любых средах – твердых, жидких и газообразных.

Значительный интерес для практики представляют простые гармонические или синусоидальные волны.

Бегущая синусоидальная волна обладает двойной периодичностью – во времени и пространстве. В бегущей синусоидальной волне каждая частица среды совершает гармонические колебания с некоторой частотой ω. Поэтому, как и в случае простого колебательного процесса, средняя потенциальная энергия, запасенная в некотором объеме среды, равна средней кинетической энергии в том же объеме.

Тригонометрия помогает нашему мозгу определять расстояния до объектов.

Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения. Такой вывод был сделан после серии экспериментов, участникам которых предлагалось взглянуть на окружающий мир через призмы, увеличивающие этот угол.

Такое искажение приводило к тому, что подопытные носители призм воспринимали удаленные объекты как более близкие и не могли справиться с простейшими тестами. Некоторые из участников экспериментов даже наклонялись вперед, стремясь выровнять свое тело перпендикулярно неправильно представляемой поверхности земли. Однако по прошествии 20 минут они привыкли к искаженному восприятию, и все проблемы исчезли. Это обстоятельство указывает на гибкость механизма, с помощью которого мозг приспосабливает зрительную систему к меняющимся внешним условиям. Интересно заметить, что после того, как призмы были сняты, некоторое время наблюдался обратный эффект - переоценка расстояния.

Строго говоря, идея "измерения углов" не является новой. Еще художники Древнего Китая рисовали удаленные объекты выше в поле зрения, несколько пренебрегая законами перспективы. Сформулировал теорию определения расстояния по оценке углов арабский ученый XI века Альхазен. После долгого забвения в середине прошлого столетия идею реанимировал психолог Джеймс Гибсон (James Gibson), строивший свои выводы на основе опыта работы с пилотами военной авиации. Однако после того о теории вновь позабыли.

Результаты нового исследования, как можно предположить, окажутся небезынтересны инженерам, конструирующим системы навигации для роботов, а также специалистам, которые работают над созданием максимально реалистичных виртуальных моделей. Возможны и приложения в области медицины, при реабилитации пациентов с повреждениями определенных областей мозга.

Формула сердца

В результате исследования, проведенного студентом иранского университета Шираз Вахидом-Резой Аббаси, медики впервые получили возможность упорядочить информацию, относящуюся к электрической активности сердца или, другими словами, электрокардиографии.

Формула, получившая название тегеранской, была представлена широкой научной общественности на 14-й конференции географической медицины и затем - на 28-й конференции по вопросам применения компьютерной техники в кардиологии, состоявшейся в Нидерландах.

Эта формула представляет собой комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии. Как утверждают медики, эта формула в значительной степени облегчает процесс описания основных параметров деятельности сердца, ускоряя, тем самым, постановку диагноза и начало собственно лечения.

Теория радуги

Впервые теория радуги была дана в 1637 году Рене Декартом. Он объяснил радугу, как явление, связанное с отражением и преломлением света в дождевых каплях.

Радуга возникает из-за того, что солнечный свет испытывает преломление в капельках воды, взвешенных в воздухе по закону преломления:

где n1=1, n2≈1,33 – соответственно показатели преломления воздуха и воды, α – угол падения, а β – угол преломления света.

Различные способы решения тригонометрического уравнения.

sin x – cos x =1

1 – способ.

Приведение уравнения к однородному относительно синуса и косинуса.

Разложим левую часть по формулам двойного аргумента, а правую часть заменим тригонометрической единицей:

2sin · cos – cos2 + sin2 = cos2 + sin2

2sin · cos -2 cos2 =0 cos · (sin -cos ) =0

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла, поэтому cos ·(sin -cos ) =0 =>cos =0 или sin -cos =0 cos =0; = + πk; x= π +πk; k Є Z; sin -cos =0- однородное уравнение первой степени. Делим обе его части на cos

(cos не равен 0, sin -0=0=> sin =0, что противоречит основному тригонометрическому тождеству). Получим tg -1=0; tg =1; = + πn;x= +2 πn; n Є Z

X= π+2πk, k Є Z x= +2πn, n Є Z

2-й способ.

Разложение левой части уравнения на множители.

sin x – cos x=1

Так как 1+ cos x =2cos2 , a sin x=2sin · cos

2sin · cos -2cos2 =0 cos ·(sin -cos ) =0 cos ·(sin -cos ) =0 и так далее, как в предыдущем способе.

3-й способ.

Введение вспомогательного угла (числа).

В левой части уравнения вынесемза скобку (корень квадратный из суммы коэффициентов при sin x и cos x). Получим

(sin x·-cos x· )=1 sin x ·cos -cos x·sin = sin (x- ) = x- = (-1) n·arcsin+ π k, k Є Z

Ответ: x= + (-1) n ·+ π k, k Є Z

С помощью тригонометрического круга легко установить, что решение x= + (-1) n · + π k, k Є Z распадается на два случая x= π+2πk x= +2πk

4-й способ.

Преобразование разности ( или суммы) тригонометрических функций в произведение.

Запишем уравнение в виде sin x-sin (-x) =1

Применяем формулу разности двух синусов, получим

2·sin(x- )·cos =1

2sin(x- )· =1 sin(x- )= и так далее, как в предыдущем способе.

5-й способ.

Приведение к квадратному уравнению относительно одной из функций.

Так как sin2 x + cos2 x=1 то sin x = ±

± -cos x=1

± =1+ cos x

Возведём обе части в квадрат:

1-cos2 x =1+2cos x+ cos2 x

2· cos2 x+2cos x =0 cos x (cos x+1) =0 cos x =0 или cos x +1 =0 cos x =0 x= + πk, k Є Z cos x +1 =0 x= π+2 πn, n Є Z

В процессе решения обе части уравнения возводились в квадрат, что могло привести к появлению посторонних решений, поэтому необходима проверка. Выполним её.

Полученные решения эквивалентны объединению трёх решений: x= + πm x= π+2 πn x= -+ πk k Є Z

Первое и второе решения совпадают с ранее полученными, поэтому не являются посторонними.

Проверим x= -+ πk k Є Z

Левая часть: sin(-+ πk)-cos(-+ πk)=sin(-)-cos(-)=-1-0=-1

Правая часть:1

Следовательно, x= -+ πk, k Є Z -постороннее решение.

Ответ: x= + πm, m Є Z или x= π+2 πn, n Є Z

6-й способ.

Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

sin2 x -2sin x cos x+ cos2 x=1

1-sin 2x=1 sin 2x=0

2x= , k Є Z

Полученное решение эквивалентно объединению четырёх решений: x= 2πk, k Є Z x= + 2πk, k Є Z x= π+ 2πk, k Є Z x= -+2πk, k Є Z

Проверка показывает, что первое и четвёртое решения – посторонние.

Ответ: x= + 2πk, k Є Z x= π+ 2πk, k Є Z

7-й способ.

Выражение всех функций через tg x (универсальная подстановка) по формулам: sin x = cos x = tg x=

С учётом приведённых формул уравнение sin x – cos x=1 запишем в виде

Умножим обе части уравнения на (1+tg2 ),

( 1+tg2 не равно 0, так как tg2 ≥0)

2tg -1+ tg2 = 1+tg2

2tg =2 tg =1 x= + πk, k Є Z x= + 2πk, k Є Z.

ОДЗ первоначального уравнения – все множество R. При переходе к tg из рассмотрения выпали значения, при которых tg не имеет смысла, т. е. = π/2+πk, или х = π + 2πk, k Є Z. Следует проверить, не является ли х = π + 2πk решением данного уравнения.

Левая часть: sin(π+ 2πk)-cos(π+ 2πk)= sin π- cos π=0-(-1)=1

Правая часть:1

Значит ,х = π + 2πk, k Є Z-решение уравнения

Ответ: x= + 2πk, k Є Z или x= π+ 2πk, k Є Z

8-й способ.

Графическое решение.

Рассматриваемое уравнение запишем в виде sin x = 1 + cos x.

На одном и том же чертеже построим графики функций, соответствующих левой и правой частям уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются решениями данного уравнения.

y = sin x – график: косинусоида; y = cos x +1 - график: косинусоида y = cos x, смещенная на 1 вверх.

Ответ: x = (/2 + 2(k, k(Z или x = ( + 2(n, n(Z.

Решение тригонометрических уравнений из ЕГЭ ( часть С 1)

Т. к. sin x находится под знаком арифметического квадратного корня, то

Т. к. , то

sin x – cos x =1 sin x – cos x =1

sin x – cos x =1 sin x – cos x =1 sin x – cos x =1 sin x – cos x =1