Цепные дроби

Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир.

И. -В. Гете

Математика выявляет порядок, симметрию и определенность, а это – важнейшие виды прекрасного.

Аристотель

Математические знания в далеком прошлом применялись для решения повседневных задач, и именно практика в значительной степени руководила всем дальнейшим развитием математики. Так и цепные дроби получили свое развитие благодаря тому, что Х. Гюйгенс (1629 – 1695) при построении планетария в Париже хотел получить наилучшие приближения для отношений периодов обращения планет.

Действительные числа однозначно отображаются цепными дробями. Основное значение такого изображения заключается в том, что, зная цепную дробь, изображающую действительное число, можно определить это число с достаточной точностью.

Преимущество цепных дробей по сравнению с десятичными в том, что цепные дроби не связаны ни с какой системой счисления и в чистом виде воспроизводят свойства изображаемых ими чисел. Так, рациональность и иррациональность изображаемого числа находит выражение в конечности или бесконечности соответствующей ему цепной дроби. Кроме того, периодичность бесконечной цепной дроби указывает на то, что иррациональность – квадратичная.

Требование же практического характера, а именно находить приближенное значение изображаемого числа, цепные дроби удовлетворяют в высшей степени, намного лучше, чем десятичные дроби.

Недостатком цепных дробей является то, что для них никаких практически приемлемых правил арифметических действий не существует. Поэтому широкого применения они не получили.

Впервые увидев цепные дроби, хочется сказать: «Это красиво!» Затем встает вопрос: «Как это составляется и что означает?» И, наконец: «Для чего это нужно?»

«Красиво!», «Что это?», «Для чего это?». Ответы на эти вопросы и является целью данной работы. Итак, наша цель: исследовать такой математический объект как «Цепные дроби», показать, что цепные дроби имеют теоретическое и практическое значение. Цепные дроби в математике как бы в «тени». Но они достойны того, чтобы их изучать и применять на практике.

Для достижения цели ставятся следующие задачи:

1) Обработка теоретического материала (его отбор, а также последовательное и доступное изложение).

2) Поиск областей применения цепных дробей.

3) Составление практического материала в форме упражнений.

Понятие цепной дроби. Разложение действительных чисел в цепную дробь

Дробь можно записать в виде суммы целой части и правильной дроби:. Но , а дальше:. Значит,. Далее получим.

Продолжим этот процесс до тех пор, пока не придем к знаменателю. В результате мы представим обыкновенную дробь в виде:

Эйлер назвал дроби такого вида непрерывными. Приблизительно в то же время в Германии появился другой термин – цепная дробь. Так за этими дробями и сохранились оба названия. Ввиду громоздкости развернутой записи цепной дроби применяют компактную запись.

В качестве примера представим дробь в виде цепной дроби:.

Или в компактной форме: [1; 3, 2, 4 ].

Удобно получить разложение обыкновенной дроби с помощью алгоритма Евклида.

Мы познакомились с разложением в цепную дробь обыкновенной дроби, т. е. рационального числа. Любое рациональное число представимо в виде конечной цепной дроби. Конечность следует из алгоритма Евклида. Но в виде цепной дроби можно записать любое действительное число. Только конечными цепными дробями здесь не обойтись. Приведем разложение в непрерывную дробь числа.

и т. д. Видна закономерность.

Таким образом,

Т. е. в компактной форме = [1: 2, 2, 2, 2, 2].

Оказывается, квадратичные иррациональности (т. е. числа вида , где a, b, c - рациональные числа), и только они раскладываются в бесконечные периодические дроби. На этот факт впервые указал Эйлер, строгое его доказательство дал Лагранж.

Из утверждения Эйлера – Лагранжа вытекает, что иррациональные числа, не представимые в виде квадратичной иррациональности, изображаются бесконечными непериодическими цепными дробями. Интересное разложение нашел первый президент Лондонского Королевского общества лорд

У. Броункер (1620 – 1684):

Замечательные представления в виде непрерывных дробей имеют числа e и ln2:

Приведенные разложения поражают своей закономерностью и в какой-то мере объясняют исключительность этих чисел. Можно было бы дать их компактную запись. Для этого нужно представить полученные дроби в виде цепных с единицами в числителе, но тогда потеряется удивительная красота формул.

Подходящие дроби. Первое свойство цепных дробей

Если оборвать дробь на знаменателе , то останется дробь. Обращая ее в обыкновенную, получим. Это выражение называют k-й подходящей дробью для исходной цепной дроби.

Например, для нашей дроби имеем: нулевая подходящая дробь: , первая подходящая дробь: , вторая подходящая дробь: , третья подходящая дробь:. Она равна самому числу.

Для цепной дроби, представляющей число, имеем следующие подходящие дроби: нулевая подходящая дробь: , первая подходящая дробь: , вторая подходящая дробь: , третья подходящая дробь: и т. д.

Подходящие дроби удобно вычислять с помощью специальной таблицы. Для этого посмотрим, как вычисляются подходящие дроби:

и т. д. Вообще имеют место рекуррентные соотношения

Рk+1 = qk+1. Pk+Pk-1 и Qk+1= qk+1. Qk+Qk-1.

Эти вычисления удобно производить последующей схеме: q - q0 qk qk+1 P 1 P0 P1 P2 Pk-1 Pk Pk+1 Q 0 Q0 Q1 Q2 Qk-1 Qk Qk+1

В первой строке этой таблицы записаны недробные элементы, с которых мы начинали строить каждый «этаж», нашей многоэтажной дроби.

Во второй строке сначала записано число 1. Это ключевое число, и надо просто запомнить, что вторая строка начинается с числа 1. Далее записаны числители подходящих дробей.

В третьей строке сначала записано число 0. Это ключевое число, и надо просто запомнить, что третья строка всегда начинается с числа 0. Далее записаны знаменатели подходящих дробей.

Оказывается, что, зная лишь нулевую подходящую дробь, следуя нашим рекуррентным соотношениям, можно найти сколь угодно много числителей и знаменателей в подходящих дробях.

Для получения очередного числителя (знаменателя) необходимо взять элемент того же столбца из первой строки умножить на предыдущий числитель (знаменатель) и прибавить к произведению «предпредыдущий» числитель (знаменатель).

Составим таблицу подходящих дробей для цепной дроби, изображающей число.

- 1 2 2 2 2 2 2 1 1 3 7 17 41 99 239 0 1 2 5 12 29 70 169

При этом, если учесть, что , , , =1,41666, то можно увидеть, что чем дальше мы идем, тем лучшее приближение числа получаем.

Цепные дроби обладают следующим важным свойством: если действительное число x записать в виде непрерывной дроби, то подходящая дробь дает наилучшее приближение числа x среди всех дробей, знаменатели которых не превосходят. Т. е. чем больше k, тем k – подходящая дробь ближе к числу.

В связи с этим замечательным свойством рассмотрим применение цепных дробей в календаре, а также в «золотом сечении».

Календарь и подходящие дроби

Что такое год? Это время, за которое Земля совершает по своей орбите полный оборот вокруг Солнца. Астрономы подсчитали, что год составляет 365 суток 5 ч 48 мин 46 с или 365,242199 суток. Но пользоваться таким сложным числом очень неудобно. Хотелось бы, чтобы в году было целое число суток. Предположим, что продолжительность года равна 365 дням. Но тогда окончание каждого года приходилось бы всякий раз на новую точку на орбите, отстоящую от предыдущей на величину, которую Земля проходит примерно за 6ч.

Какой же из этого выход? Древнеримские жрецы, ведавшие исчислением времени, произвольно удлиняли некоторые года, чтобы согласовать календарные даты с сезонными явлениями природы. Впервые порядок в счете времени навел в I в. до нашей эры римский император Юлий Цезарь. Он постановил считать одни годы по 365 суток, а другие по 366 суток, чередуя их по правилу три года подряд коротких, четвертый – длинный. Гораздо позже, с введением христианского летоисчисления, високосным стали считать каждый год, порядковый номер которого делится на 4. Этот календарь в честь Юлия Цезаря называется юлианским. По нему продолжительность суток составляет 365 суток 6 ч, что больше истинной лишь на 11 мин 14 с. Однако и это решение оказалось неудовлетворительным. К XVI в. ошибка, накапливаясь, составила уже около 10 суток.

Следующую реформу календаря провел Григорий XIII – папа римский. Было решено: сдвинуть числа на 10 дней, оставить чередование простых и високосных лет, при этом, если порядковый номер года оканчивается двумя нулями, но число сотен не делится на 4, то этот год простой. В настоящее время расхождение между юлианским и новым, григорианским календарями составляет 13 дней, поскольку с тех пор накопилось еще три дня (в 1700, 1800 и 1900 гг. ). Продолжительность григорианского года составляет

365, 2425 суток, т. е. 365 суток 5 ч 49 мин 12 с, т. е. она больше истинной лишь на 26с. Полученная точность очень велика и вполне достаточна для практических нужд.

Интересная система календаря была предложена среднеазиатским математиком и поэтом Омаром Хайямом (ок. 1048-1122), по ней високосными годами должны были считаться 8 лет из каждых 33. Продолжительность года по О. Хайяму составляет 365 суток, его погрешность всего 19с в год.

В 1864 г. русский астроном И. Медлер предложил с XX столетия ввести в России следующую поправку к юлианскому календарю: через каждые 128 лет пропускать один високосный год из 32, которые выпадают на этот период. Этот календарь самый точный из всех перечисленных. Здесь погрешность сокращается всего до 1с. Однако календарь И. Медлера не был принят, видимо, из-за того, что период в 128 лет не является «круглым» числом.

Системы календаря оказываются связанными с записью астрономического года в виде цепной дроби:

Год продолжительностью 365 суток - это нулевая подходящая дробь этой цепной дроби, 365 - юлианский год – первая подходящая дробь, 365, 365 и 365 - вторая, третья и четвертая подходящие дроби. А именно:

Системой, соответствующей второй подходящей дроби: семь високосных лет из 29, никто не предложил воспользоваться, видимо, потому, что третья подходящая дробь не намного сложнее, а точность ее гораздо больше (вспомним, что это система О. Хайяма), а четвертой подходящей дроби соответствует система И. Медлера.

«Золотое сечение» и подходящие дроби

Термин «золотое сечение» впервые применил Леонардо да Винчи (1452-1519).

Суть задачи заключается в следующем:

Дан отрезок AB (для удобства рассуждений будем считать, что его длина равна единице). Найти на нем такую точку X, чтобы AX/ BX=BX/AB.

Говоря другими словами, необходимо разделить отрезок на две части так, чтобы меньшая часть относилась к большей, как большая часть ко всему отрезку.

Обозначим BX=x, тогда AX=1-x (так как AB приняли за 1) и по условию задачи

(1 - x): x = x:1.

Решая уравнение, получаем:.

Из двух значений корня возьмем , так как другое значение отрицательно.

Итак, x=.

Знаменитый александрийский математик Клавдий Птолемей (ок. 90 – ок. 160) предложил такое геометрическое решение этой задачи.

Пусть надо построить «золотое сечение» отрезка АВ. Посмотрим на рисунок.

A X B D C

С центром в точке В радиусом АВ проводим полуокружность АЕС. Разделим радиус ВС пополам, получим точку D. Проведем дугу окружности с центром в точке D радиусом DE до пересечения с АВ. Точка пересечения Х и есть искомая.

Действительно, если АВ = 1, ВD=1/2, то по теореме Пифагора DE=. Значит, и DX=, и, действительно, получаем, что ВХ==.

Таким образом, действительно, построение Птолемея ведет к цели.

Разложим в цепную дробь.

и т. д. Видна закономерность.

Следовательно, окончательно получаем

За исключением первого нуля полученная нами цепная дробь состоит из одних единиц! Запишем несколько подходящих дробей данной цепной дроби.

Нулевая подходящая дробь:.

Первая подходящая дробь:.

Вторая подходящая дробь:.

Третья подходящая дробь:.

Составим таблицу для числителей и знаменателей подходящих дробей нашей цепной дроби.

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 Особенность данной таблицы заключается в том, что, так как умножать надо на единицу, то фактически для получения следующего числителя достаточно сложить два предыдущих. То же самое получается и со знаменателями. Более того, в знаменателе повторяются те же числа, что и в числителе, только с «опозданием» на один шаг. Можно сказать, что те и другие образуются из такой последовательности чисел:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,

Но ведь это числа Фибоначчи!

Таким образом, данные подходящие дроби легко составить, помня, что в числителе и знаменателе стоят числа Фибоначчи, только в числителе они «опаздывают» на один шаг. И, следовательно, сколь угодно точно можно определить «золотое сечение».

Второе свойство цепных дробей

Вспомним, как вычисляются подходящие дроби.

и т. д. Имеют место рекуррентные соотношения

Рk+1 = qk+1. Pk+Pk-1 и Qk+1= qk+1. Qk+Qk-1.

Докажем следующее свойство цепных дробей: для любого k = 1,2,, n имеет место формула

Pk-1Qk – PkQk-1 = (-1)k.

Для этого воспользуемся методом математической индукции. В самом деле, для k=1 имеем

P0Q1 – P1Q0 = q0q1 – (q0q1 + 1) = -1 = (-1)1.

Предположим, что формула верна для номера k, и перейдем в левой части к номеру k+1. Используя рекуррентные соотношения, получим:

PkQk+1 – Pk+1Qk = Pk(qk+1Qk+Qk-1) – (qk+1Pk+Pk-1)Qk = -Pk-1Qk + PkQk-1 = (-1)k+1.

Таким образом, формула доказана для любого натурального k. Из нее, в частности, вытекает, что числа Pk и Qk взаимно просты.

Диофантовы уравнения вида ax+by=с

Используем отмеченное нами свойство цепных дробей для решения уравнения ax+by=c Коэффициенты a и b взаимно просты. Разложим в цепную дробь. При этом.

Поскольку обе дроби несократимы, то a = Pn, b = Qn. По свойству имеем bPn-1 – aQn-1 = (-1)n.

Умножив обе части этого равенства на (-1)nc, получим

(-1)n+1aQn-1c + (-1)nbPn-1c =c, откуда видно, что пара чисел x0 = (-1)n+1cQn-1, y0 = (-1)ncPn-1 представляет собой решение уравнения.

Общее решение запишется в виде: x = (-1)n+1c Qn -1 + bt, y = (-1)n c Pn –1 – at, где t принимает целые значения

Решим уравнение 17х + 13у = 5.

Поскольку , то n = 2, , откуда х0 = -5•3 = -15, у0 = 4•5 = 20 и общее решение имеет вид x = -15+13t, y = 20-17t.

Уравнение Пелля

Диофантово уравнение в натуральных числах вида x2 –ay2 =1 называется уравнением Пелля.

Как же отыскиваются решения уравнения Пелля в натуральных числах? Сначала надо найти наименьшее натуральное решение. Для небольших значений коэффициента а это можно сделать подбором, но при больших а подбор становится затруднительным, и здесь на выручку приходят цепные дроби. Используется разложение в цепную дробь числа. А далее по утверждению Лагранжа:

Пусть s – длина периода непрерывной дроби [q 0; q1, q2,] =. Если s четно, то находят подходящую дробь = [q 0;q1,,qs-1]. В этом случае наименьшее натуральное решение уравнения имеет вид x = Ps-1, y = Qs-1.

Если же s нечетно, то надо положить х = P2s-1, y = Q2s-1, где =

[q0; q1,,q2s-1]. Мы ограничимся нахождением наименьшего натурального решения.

Рассмотрим в качестве примера уравнение х2- 3у2 = 1. Разложение в непрерывную дробь нам известно (см. раздел Упражнения):

= [1; 1, 2, 1, 2,]

Здесь s = 2, и поэтому находим подходящую дробь , откуда х = 2, у = 1 – наименьшее решение уравнения в натуральных числах.

Упражнения

Разложение обыкновенных дробей в цепную дробь.

[0; 5, 1, 2, 1, 2]

[1; 1, 4]

[0; 1, 3, 5]

[0; 2, 5]

[0; 1, 1, 7, 3]

[4; 1, 5]

Разложение иррациональных чисел в цепную дробь.

[1; 2, 2, 2]

[1; 1, 2, 1, 2, 1, 2]

[2; 4, 4, 4, 4]

[2; 2, 4, 2, 4]

=[2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4]

[2; 1, 4, 1, 4, 1, 4 ]

[3; 6, 6, 6, 6]

[3; 3, 6, 3, 6, 3]

[3; 2, 6, 2, 6, 2, 6, 2]

[3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6]

Диофантовы уравнения вида ax + by = c.

При решении уравнений будем использовать следующий алгоритм.

1) Разлагаем в цепную дробь (с помощью алгоритма Евклида или с помощью соответствующих преобразований).

2) Из разложения =определяем значение n (т. е. длину цепной дроби).

3) Находим n-1 – подходящую дробь (в случае необходимости используем таблицу).

4) Применяем формулы:

Общее решение: x = (-1)n+1c Qn -1 + bt, y = (-1)n c Pn –1 – at.

Замечания.

1) Можно находить сначала частное решение: x0 = (-1)n+1cQn-1, y0= (-1)ncPn-1.

А затем общее решение: x = x0 + bt, y = y0 – at

2) Если уравнение имеет вид ax – by = c, то, очевидно, что x = (-1)n+1c Qn -1 + bt, y = (-1)n+1 c Pn –1 + at.

3) Если a > b и =, то = [0; q0, q1,,qn]

Задание 1. 15x + 13y = 1.

2) Длина цепной дроби n = 2.

3) P1 = 7, Q1 = 6.

4) x0 = (-1)6 = -6, y0 = 7.

Таким образом, общее решение x = -6 + 13t, y = 7 - 15t

Задание 2. 67x + 7y = 18.

2) Длина цепной дроби n = 3.

3) P2 = 19, Q2 = 2.

4) Общее решение x = 36 + 7t, y = -342 - 67t.

Задание 3. 5x + 7y = 12.

2) Длина цепной дроби n = 2.

3) P1 = 3, Q1 = 2.

4) x0 = (-1)212*3 = 36, y0 = (-1)12*2 = -24.

Таким образом, общее решение x = 36 - 7t, y = -24 + 5t.

Задание 4. 63х – 100у = 90.

1) = [0; 1; 1, 1, 2, 2, 1, 3],

2) Длина цепной дроби n=7.

3) Таблица подходящих дробей:

0 1 1 1 2 2 1 3 1 0 1 1 2 5 12 17 63 0 1 1 2 3 8 19 27 100 P6 = 17, Q6 = 27.

4) Общее решение х = 90· 27 + 100t, y = 90·17 + 63t.

Уравнения Пелля x2 - аy2 = 1.

При решении данных уравнений будем использовать следующий алгоритм.

1) Разлагаем в цепную дробь.

2) Записываем в компактной форме, находим длину периода этой дроби.

3) Если s четно, то находим подходящую дробь. В этом случае наименьшее натуральное решение уравнения имеет вид x = Ps-1, y = Qs-1.

Если же s нечетно, то находим подходящую дробь. В этом случае наименьшее натуральное решение имеет вид х = P2s-1, y = Q2s-1.

Задание 1. x2 - 6y2 = 1.

2) [2; 2, 4, 2, 4, 2, 4,], k=2, четное.

3) Наименьшее натуральное решение: x = Pk-1 = P1 = 5, y = Qk-1 = Q1 = 2.

Задание 2. x2 - 13y2 = 1.

2) [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6], k = 5, нечетно.

3) Необходимо найти P2k-1 = P9, Q2k-1 = Q9.

Используем таблицу подходящих дробей.

3 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1 3 4 7 11 18 119 137 256 393 649 0 1 1 2 3 5 33 38 71 109 180

Таким образом, наименьшее натуральное решение x = P9 = 649, y = Q9 = 180.

Задание 3. x2 - 12y2 = 1.

2) [3; 2, 6, 2, 6], k = 2, четно.

3) Наименьшее натуральное решение x = P1 = 7, y = Q1 = 2.

Задание 4. x2 - 11y2 = 1.

2) [3; 3, 6, 3, 6], k = 2.

3) Наименьшее натуральное решение x = P1 = 10, y = Q1 = 3.

Из истории цепных дробей

В процессе поиска наилучшего приближения значений квадратных корней итальянский математик Пиетро Антонио Катальди (1552- 1626) пришел в 1613г. к цепным дробям, с чего и началось их изучение. Правда, они встречались почти на 40 лет раньше в «Алгебре» другого итальянского математика – Рафаэля Бомбелли (ок. 1526- 1572). Но Катальди выделил цепные дроби в отдельный тип, выявил некоторые их свойства.

Современное обозначение непрерывных дробей предложил выдающийся нидерландский ученый Христиан Гюйгенс (1629- 1695). Гюйгенс был не только знаменитым физиком, он был и замечательным математиком, удивительным изобретателем и конструктором. К тому же он писал неплохие стихи.

К цепным дробям Гюйгенс вынужден был обратиться (1680) при построении планетария в Париже. Он хотел получить наилучшие приближения для отношений периодов обращения планет. Эти отношения и отношения чисел зубцов соответствующих связанных между собой шестерен планетария должны были совпадать. Но число зубцов шестерен по техническим причинам не могут быть очень большими. Необходимо было так их подобрать, чтобы полученные отношения как можно меньше отличались от истинных. Гюйгенс обратился к цепным дробям и с их помощью нашел решение стоящей перед ним задачи. При этом он детально изучил теорию цепных дробей.

Хотелось заглянуть всюду, где встречаются цепные дроби

Поиск областей применения цепных дробей привел к проблемам создания календаря. Оказывается, что цепная дробь, изображающая время, за которое Земля совершает полный оборот вокруг Солнца, может помочь в создании календаря, она дает различные системы, по которым может составляться календарь.

В ходе поиска приятно было встретиться с одной из интереснейших задач математики, с «золотым сечением». Разложив «золотое сечение» в цепную дробь, можно найти разные по точности его приближения, причем они оказываются связанными с числами Фибоначчи.

И, наконец, знаменитые диофантовы уравнения не обошлись без применения цепных дробей. Некоторые из них можно решать с помощью цепных дробей.

В ходе выполнения работы разложены в цепные дроби некоторые рациональные и, что более интересно, иррациональные числа, освоен новый прием решения некоторых диофантовых уравнений.

Попытка пройти по тропинкам, где встречалась цепная дробь, дала возможность над чем–то подумать, что–то новое узнать, применить свои силы к новому и увлекательному математическому объекту.

Были достигнуты следующие результаты:

1)Собран и скомпонован теоретический материал, составлены на основании изученных свойств алгоритмы решений приведенных в данной работе диофантовых уравнений. Сформулированы замечания, использующиеся при решении данных уравнений.

2)Найдены некоторые области применения цепных дробей.

3)Составлены и выполнены практические задания по разложению действительных чисел в цепные дроби, а также по решению диофантовых уравнений вида ax+by=c и уравнения Пелля.

Таким образом, несмотря на то, что цепные дроби широкого применения не получили, их существование в математике не бесполезно, А мне они показались еще и очень увлекательными.