Учеба  ->  Науки  | Автор: | Добавлено: 2015-05-28

Взаимосвязь математических и биологических явлений и процессов при помощи функций

Объектом исследования в моей статье являются показательная, степенная, тригонометрическая функции, а предметом исследования – свойства этих функций, их применение в природе, науке и технике.

С седьмого класса мы начали изучать понятие функций, их свойства, графики. Однако размеры школьного учебника не позволяют показать всё многообразие задач, требующих для своего решения применение функций. Также в школьном учебнике не излагается история возникновения и развития функции.

Выясним, как развивалось понятие функции, показать полезность изучения функций, доказать взаимосвязь математических и биологических явлений и процессов.

Я поставил перед собой следующие задачи:

1. Выяснить, как зависит вид графика степенной функции от свойств степени.

2. Выяснить, какие законы природы выражаются показательной функцией.

3. Рассказать о применении параболы в науке и технике.

4. Рассказать о процессах органического роста, органического затухания, выравнивания в природе, технике, экономике.

5. Выяснить, какие колебания полезны для человека, какие нет, и с помощью какой функции описываются колебания.

6. Создать тесты в электронном виде для подготовки к Единому Государственному экзамену.

Использованные методы – сбор материала, его анализ и обобщение, создание тестов в электронном виде.

История развития функции

Вавилонские таблички

За две тысячи лет до нашей эры в Двуречье возвышалось царство со столицей в Вавилоне. Жители Двуречья делали плоские плитки из глины и писали на них (еще влажных) заостренной палочкой. Для нас особенно интересны математические плитки – таблички. Вавилоняне умели вычислять длину окружности по ее радиусу, правда, с большой погрешностью; точно вычисляли площадь треугольника, объемы простейших тел. Запас функций у греков был богаче, чем у вавилонян. Но, как бы ни был велик прогресс греческой математики по сравнению с вавилонской, в ней тоже не было ни общего понятия функции, ни обозначений конкретных функций.

Функция Орема

К началу 14-го века в Европе, во Франции жил замечательный математик Никола Орем. Он первым стал изображать график функции. Все величины, по Орему, имеют интенсивности и экстенсивности. Интенсивности находятся в зависимости от экстенсивности. Пусть, например, скорость движения тела зависит от времени. Экстенсивность будем откладывать на горизонтальной прямой от точки А. Отрезок АС, длина которого равна экстенсивности, называется долготой. В точке С проведем перпендикуляр к АВ и отложим на нем отрезок CD, длина которого равна интенсивности. Отрезок CD Орем называет широтой. Если такое построение произвести для каждой точки отрезка АВ, то получим линию EDF, которую Орем называет линией верхнего края или линией интенсивностей.

Замечательные работы Орема были известны широко, однако они мало повлияли на развитие математики.

Функция Лейбница

Одним из создателей новой математики был великий немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц. Именно Лейбниц ввел в математику слово “функция” (от латинского “functio”- исполнение обязанностей, деятельность).

Функциями Лейбниц называл “всякие части прямых линий, которые получают, проводя бесчисленные прямые, соответствующие неподвижной точке и точкам кривой”.

Вот один из примеров такой “функции”, который приводит сам Лейбниц.

Дана кривая l и прямая MN. Возьмем на кривой l точку С и проведем касательную к кривой l в этой точке. Обозначим через Т точку пересечения прямой MN с касательной. Отрезок СТ и есть “функция” по Лейбницу. Этот отрезок меняется, когда точка С движется по кривой l.

Таким образом, в термин “функция” Лейбниц вкладывал смысл, отличный от нашего. Можно сказать, что у Лейбница было предчувствие понятия функции. Таким образом, имя “функция” уже появилось на свет в 1694 году, но современного смысла оно еще не имело.

Эйлер же ввел для функции обозначение f(x), которое используется и сейчас.

Показательная функция

Графики этой функции. Показательная функция очень часто реализуется в физических, биологических и иных законах. В жизни нередко приходится встречаться с такими фактами, когда скорость изменения какой-либо величины пропорциональна самой величине В этом случае рассматриваемая величина будет изменяться по закону, имеющему вид у=у0аx.

По закону показательной функции размножалось бы все живое на Земле, если бы для этого были благоприятные условия. Доказательство тому – распространение в Австралии кроликов, которых там раньше не было. Одна пара кроликов дает за год приплод в 50 крольчат. Если бы все они оставались в живых, то в грубом приближении можно было бы считать, что число кроликов увеличивается в 25 раз каждый год. Но тогда через два года их число увеличивается в 625 раз, через 3 года в 15 625 раз и т. д. , уже через 5 лет было бы 255. Разумеется, в действительности мы не наблюдаем такого чудовищного роста.

В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т. е. по закону показательной функции. Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания.

Например, рост бактерий в идеальных условиях соответствует процессу органического роста; радиоактивный распад вещества – процессу органического затухания. Законам органического роста подчиняется рост вклада в банке, восстановление гемоглобина в крови донора или раненого. Закон органического роста выражается формулой: N = Nоekt. В природе и технике часто можно наблюдать процессы, которые подчиняются законам выравнивания, описываемым показательной функцией.

Например, если снять кипящий чайник с огня, то сначала он остывает быстро, а потом остывание идет гораздо медленнее. Скорость остывания пропорциональна разности между температурой Т чайника и температурой То окружающего воздуха. Постепенно происходит теплообмен между чайником и воздухом и температура выравнивается. Закон изменения температуры чайника имеет вид:

Т = Тo + (100 –Тo) е-kt.

Описание радиоактивного распада так же связано с показательной функцией. Количество распадающегося за единицу времени вещества всегда пропорционально имевшемуся количеству вещества. Радий распадается в зависимости от времени по закону М = Мое-kt, где: Мо – начальное количество радия, k – некоторый коэффициент.

В конце 20-х годов Н. Н. Семенов описал теорию цепных реакций. Было установлено, что при попадании нейтрона в атомное ядро урана оно раскалывается, причем этот процесс сопровождается испусканием новых нейтронов. Ученые научились управлять процессом размножения нейтронов при помощи знаний о показательной функции.

Степенная функция

Функция y = xp, где р – действительное число. Свойства и график степенной функции существенно зависят от свойств степени.

График функции y = x2n имеет такой же вид, как, например график функции y = x4.

График функции y = x2n-1 имеет такой же вид, как, например, график функции y = x3.

График функции y = 1/x2n имеет такой же вид, как, например, график функции y = 1/x2.

График функции y = 1/x2n-1 имееттакой же вид, как, например, график функции y = 1/x3.

График функции у = хр имеет такой же вид, как например, график функции у = х 1/3 (при 0<р>1), или как график функции у = х4/3 (при р > 1 ). График функции у = хр , где р – отрицательное число, имеет такой же вид, как например, график функции у = х –1/3.

Замечательное свойство параболы широко используется в науке и технике. Известно также, что многие законы природы выражаются в виде квадратичной зависимости. Например, скорость воды в реке на разных глубинах разная: у дна и у поверхности наименьшая, где-то внутри потока она наибольшая. Можно считать, что если от оси Oy отложить горизонтальные отрезки, равные по длине скорости воды на соответствующей глубине, то получится парабола с горизонтальной осью, вершина которой находится на 1/3 глубины потока.

Представим себе, что очень узкая зеркальная полоска изогнута в форме дуги параболы.

Если мы параллельно оси параболы направим пучок лучей, то они, отразившись от зеркала, соберутся в некоторой точке F, расположенной на оси и называемой фокусом параболы. Параболоид вращения – поверхность, получаемая при вращении параболы вокруг ее оси. Если направить такое параболическое зеркало на солнце, то все отраженные лучи пройдут через фокус параболы F и температура в нем окажется настолько большой, что с помощью солнечных лучей можно будет вскипятить воду, расплавить свинец и т. д. Отсюда происходит и само название “фокус”, означающее по – латыни очаг.

Это свойство параболических зеркал используют при конструировании солнечных печей, солнечных электростанций, отражательных телескопов- рефлекторов.

И обратно, если мы поместим источник света в фокусе параболы, то всякий его луч, отраженный от зеркала, направится параллельно оси параболы. По этой причине форму параболоида вращения имеют прожектора и автомобильные фары. Свет, исходящий из фокуса параболического зеркала, после отражения образует параллельный пучок и не рассеивается. Если требуется направить параллельный пучок радиоволн или принять их, то употребляют металлические антенны, основанные на том же принципе, что и параболические зеркала. Это сходство не случайно, ибо свет и радиоволны имеют одинаковую физическую природу. Подобные антенны находят широкое применение в таких областях науки и техники, как радиолокация и радиоастрономия.

Тригонометрическая функция

Различные колебания окружают нас на каждом шагу. Механические колебания применяются для просеивания материалов на виброситах, безболезненного высверливания отверстий в зубах. Акустические колебания нужны для приема и воспроизведения звука, а электромагнитные – для радио, телевидения, связи с космическими ракетами. С помощью электромагнитных колебаний учеными были получены снимки обратной стороны Луны и вечно закрытой облаками Венеры. Колебания сопровождают и биологические процессы, например, слух, зрение, работу сердца и мозга.

Но колебания не всегда полезны. Вибрация станка может привести к браку; вибрация самолетных крыльев при неблагоприятных условиях может привести к катастрофе. Если колебания под контролем человека полезны, то, вырвавшись из-под этого контроля, они превращаются в опасного врага. Надо уметь изучать колебания, знать их свойства.

Самый удобный математический метод для описания колебаний в применении тригонометрических функций.

График функции y = sin x называется синусоида.

Почему летом теплее, чем зимой? Дело в наклоне земной оси по отношению к плоскости земной орбиты. Зимой в умеренных широтах солнце невысоко поднимается над горизонтом, его лучи лишь скользят по Земле. Летом в моменты наивысшего подъема над горизонтом солнце приближается к зениту, его лучи падают почти отвесно на те же участки Земного шара. В зависимости от наклона солнечных лучей она по-разному распределяется по земной поверхности. Больше всего ее приходится на участок поверхности при отвесном падении света. Чем меньше угол, который образуют лучи с поверхностью, тем меньше их приходится на тот же участок.

Какая доля солнечной энергии приходится на участок земли при наклонном падении лучей под тем или иным углом? Проследим эволюцию жирно очерченного прямоугольного треугольника на приведенных чертежах. Очевидно, интересующая нас доля солнечной энергии равна отношению указанного катета к гипотенузе. Число, определенное таким образом и поставленное в соответствие углу, для которого оно определялось, называется синусом этого угла.

Это есть синусоида. Если что-то и кажется здесь непривычным, так это малая протяженность кривой: обычно ее рисуют безгранично разбегающейся вдоль оси абсцисс.

Я проанализировал и изучил литературу по истории развития функции, применении её в науке и технике: в измерении скорости воды в реке на разных глубинах, свойство параболических зеркал при конструировании солнечных печей, солнечных электростанций, телескопов – рефлекторов, фар, прожекторов; свойство тригонометрической функции при расчёте количества солнечной энергии на поверхность земли в зависимости от угла падения солнечных лучей; по закону показательной функции описаны процессы органического роста или органического затухания, также ей подчинены законы выравнивания. Мною были исследованы данные функции.

Также я сделал тесты в электронном виде для подготовки к Единому Государственному экзамену по двум темам: «Множество значений функции» и «Область определения функции». (Тест\Тест. exe)

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)