Удивительные свойства квадратов

СОДЕРЖАНИЕ.

Предисловие. стр. 2

Глава 1. Замечательные свойства квадрата. стр. 4 а) Определения квадрата, полученного из разных видов четырёхугольников.

б) Основные свойства квадрата:

- свойства сторон;

- свойства углов;

- свойства диагоналей;

- симметрия квадрата; в) Признаки квадрата.

Глава 2. Превращения квадрата. стр. 7.

а) Головоломки на превращения квадрата в другие геометрические фигуры.

б) Техника составления танграмм.

Глава 3. Геометрия превращений квадрата. стр. 10 а) Чем квадрат лучше других четырёхугольников.

б) Как Абул Вефа составил квадрат из трёх равных квадратов.

в) «Золотое сечение».

Глава 4. Правило квадрата для решения задач. стр. 17 а) Правило квадрата в шахматах.

б) Задачи на перегибания листа бумаги. (ВЫРЕЗАНИЕ) в) Задачи на вычисление площади фигуры (№7,8,9,10. ) г) Задачи на построение (№11,12)

В геометрии известна замечательная теорема венгерского математика Фаркаша Бой-аи: если два многоугольника равновелики (т. е. имеют равные площади), то всегда возможно один из них расчленить на конечное число таких многоугольников, из которых может быть составлен второй.

Это значит, что если взять, например, квадрат, то без всякой потери площади можно его превратить в правильный пятиугольник или правильный шестиугольник, в один или несколько равносторонних треугольников и т. д.

Такое перекраивание квадрата в другую фигуру может быть осуществлено не единственным способом, но потребуется проявить большую находчивость и изобретательность, чтобы найти хотя бы один подходящий способ.

Допустим даже, что квадрат уже разрезан на необходимое число частей. Надо и теперь немало потрудиться, чтобы соответствующим переложением этих частей получить заданную фигуру.

С такими головоломками любой школьник сталкивается на олимпиадах по математике и во время предметных декад. Чтобы научиться решать такие задачи я повторила и обобщила весь теоретический материал, связанный с квадратом, и исследовала ряд задач, с применением свойств квадрата. Самые интересные из этих задач я предлагаю в своей работе.

Замечательные свойства квадрата

Квадрат имеет много замечательных свойств. Некоторые из них рассматриваются в школьном курсе геометрии.

Прямые углы, равные стороны, симметричность придают квадрату простоту и известное совершенство формы; недаром он служит эталоном при измерении площадей. Эти же его качества лежат в основе и других увлекательных свойств квадрата, которые в школе не изучаются. Эти свойства интересны для каждого, кто стремится расширить рамки своих геометрических представлений.

Получение квадрата из разных видов четырёхугольников

-ПРЯМОУГОЛЬНИК с равными сторонами есть КВАДРАТ.

- ПАРАЛЛЕЛОГРАММ с равными сторонами, имеющий прямой угол есть КВАДРАТ.

- РОМБ, у которого все углы прямые есть КВАДРАТ.

Основные свойства квадрата

AB = BC = CD = AD

A=B =C =D=90°

AC = BD т. O-середина АС и BD

AO = OC = OB = OD

AC - биссектриса A и C

BD - биссектриса B и D

ABCD имеет четыре оси симметрии в) Некоторые признаки квадрата:

1)Если в прямоугольнике диагонали взаимноперпендикулярны, то это квадрат.

2) Если в ромбе диагонали равны, то это квадрат.

3) Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то это квадрат.

2) Если в произвольном четырехугольнике все углы равны 90 градусов н диагонали перпендикулярны, то это квадрат.

Докажем сформулированные признаки.

1)Рассмотрим прямоугольник, у которого диагонали ACBD,т. к. прямоугольник есть параллелограмм, для которого т. О - середина диагоналей АС и BD. По свойствам параллелограмма AD = BC AO = OC треугольники

AB = CD BO = OD AOD, BOA, COD, BOC-прямоугольные и равные по двум катетам.

Из равенства треугольников АВ = ВС = CD = AD, т. е. ABCD - ромб, в прямоугольнике ABCD, по доказательству ромб, значит, есть равные стороны ABCD - квадрат.

По условию ABCD - ромб, где диагонали АС = BD. Рассмотрим ABD =ADC:

1. АВ =СО (как стороны ромба )

2. AD - общая

3. AC=BD (по условию)

Из равенства треугольников BAO = CDA = 90°.

Ромб – параллелограмм A +D=180°

A =D=90°

Вывод: В ромбе все углы по 90° это квадрат.

По условию ABCD- параллелограмм, где АС=BD

Рассмотрим ABD = DCA

1) АВ=CD(как стороны параллелограмма)

2) AD – общая

3) AC=BD(по условию)

Из равенства треугольниковBAD = CDA = 90°

ABCD- парал-мA+ D= 180° (как соседние углы) и по доказательству

A = D=90° ABCD - прямоугольник

Рассмотрим ABO и ADO

1) O = 90°

2)АО - общая

3)BO=OD (t. О – середина диагоналей в парал-ме)

Вывод: АВО = ADO по двум катетам AB=AD Прямоугольник с равными сторонами есть квадрат.

Дан произвольный четырехугольник ABCD, где

ABAD A=B=C=D=90° , то ABCD

, то BCAD

Вывод: ABCD- параллелограмм, где A=B=C=D=90° т. е. это прямоугольник. Диагонали взаимноперпендикулярны, то это квадрат.

ПРЕВРАЩЕНИЯ КВАДРАТА

(Несколько головоломок для разминки)

В умелых руках любознательного человека самый необыкновенный, хорошо всем знакомый квадрат становится удивительной геометрической фигурой.

Он может, например, весь без остатка превратиться в другую фигуру или в несколько других фигур правильной или неправильной формы. Но для каждого превращения квадрат предварительно должен быть разрезан на определенные части.

На страницах этой главы я покажу задачи с квадратами одинакового размера.

На квадратах начерчены линии для разреза.

Из частей изображенных квадратов можно составить геометрические фигуры, например: трапецию, параллелограмм, прямоугольник.

Задача 1. Из семи частей квадрата № 1 составьте:

Задача 2. Из девяти квадратов со сторонами, равными 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 и 18 единицам, составить прямоугольник.

Решая эту задачу, придерживайтесь правила упаковщиков: начинать укладку с большего предмета.

Задача 3. Вот 11 квадратов, из которых требуется составить один квадрат.

Задача 4. Очень остроумно разрезал квадрат еще несколько тысяч лет тому назад китайский ученый Та-Нг

Вероятно, эти части квадрата первоначально служили для демонстрации геометрических фигур. В самом деле, нетрудно составить из частей чёрного квадрата прямо угольник, параллелограмм, трапецию и т. д.

С течением времени было замечено, что из этих частей можно составить множество фигур - силуэтов самой причудливой формы, употребляя для составления каждой фигуры все семь частей квадрата.

ГЕОМЕТРИЯ ПРЕВРАЩЕНИЙ КВАДРАТА. ЗАДАЧА РАЗРЕЗЫВАНИЯ КВАДРАТА

Не правда ли: наш «удивительный квадрат», о котором говорилось в первой главе, очень похож на механизм с хорошо прилаженными частями, который можно разобрать и из тех же частей собрать новый механизм.

Для того чтобы из готовых частей квадрата составить его снова или составить несколько иных, заранее указанных фигур, не нужны какие-либо расчеты и построения — достаточно проявить настойчивость, терпение, смекалку.

Однако мне захотелось не только складывать многоугольники из готовых частей квадрата, но и самой научиться разрезать квадрат на части, необходимые для составления той или иной фигуры, например прямоугольного или равностороннего треугольника, правильного пятиугольника или шестиугольника, трех или пяти квадратов и т. д.

На языке геометрии это значит: найти геометрические построения, при помощи которых разрезается квадрат, и доказать, что из полученных частей может быть составлена требуемая фигура.

Такая постановка вопроса сразу превращает каждую головоломку первой главы в более интересную, но и, более трудную геометрическую задачу на «разрезывание» фигур.

Своеобразие подобного рода задач в их некоторой неопределенности. Возьмем для примера задача 1 первой главы и сформулируем ее как следующую геометрическую задачу:

Показать, каким образом нужно разделить данный квадрат прямолинейными разрезами, - чтобы переложением полученных частей можно было составить три сплошных квадрата, равных между собой.

Здесь ничего не сказано о том, как резать данный квадрат и на сколько частей, — отсюда и неопределенность задачи.

Желательно все же, чтобы число разрезов было возможно меньшим, хотя заранее это число и неизвестно, и неизвестно также, может ли оно быть установлено какими-либо предварительными расчетами. Обычно число делений зависит от способа разрезывания, то есть от тех геометрических построений, которые были применены при решении задачи.

В поисках наименьшего числа делений можно применять разнообразные приемы построений и получать тем самым различные решения одной и той же задачи на перекраивание данной фигуры. Таким образом, при решении подобного рода задач открывается широкая возможность проявления находчивости и инициативы, развития геометрической интуиции.

ЧЕМ КВАДРАТ «ЛУЧШЕ» ДРУГИХ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ?

Когда мы изготовляем какой-нибудь предмет и придаем ему ту или иную форму, то думаем не только о том, чтобы он был прочен, удобен и красив, но и заботимся об экономии — чтобы размеры предмета (площадь, периметр, поверхность, объем и т. п. ) имели наибольшее или наименьшее значение.

В этом смысле одна из возможных форм предмета может оказаться «лучше» другой.

Рассмотрим пример. Предположим, что мы изготовляем открытую коробочку с квадратным дном из квадратного же листа, длина стороны, которой равна, а см. Если для этого мы отогнем от краёв квадрата полоски ровно в 1/6 а см. то объем коробочки будет больше, чем в том случае, если мы отогнем полоски шириной меньше или больше чем 1/6 а см.

Здесь была заранее указана форма предмета, от нас зависел только выбор его размеров.

Но может возникнуть и такая практическая задача геометрического характера: огородить изгородью, забором или решеткой участок земли определенной площади так, чтобы длина ограды была насколько возможно малой, причем огороженный участок должен быть прямоугольной формы, но с любым соотношением сторон. В переводе на точный, математический язык это значит, какой из прямоугольников данной площади имеет наименьший периметр?

Ответ на этот вопрос дает следующая теорема: Периметр квадрата меньше периметра любого равновеликого ему прямоугольника.

Для доказательства сравним периметр квадрата ABCD данной площади с каким-либо прямоугольником BEFG той же площади.

Пусть сторона квадрата равна а. Очевидно, что одна из сторон равновеликого ему прямоугольника, например Ь, больше а; тогда другая сторона С непременно меньше а. Отнимем от квадрата и прямоугольника общую часть АВЕК. Останутся два равновеликих прямоугольника AKFG и KECD, т. е AG • FG - DC - KD. Но так как FG < DC, то AG >KD или Ь - а > а - с. Отсюда Ь + с> 2а и 2Ь + 2с> 4а, то есть периметр любого прямоугольника, равновеликого квадрату, больше периметра квадрата. Значит, среди всех равновеликих прямоугольников квадрат обладает наименьшим периметром.

Пусть теперь, наоборот, нам задана не площадь, а периметр прямоугольника. Можно построить очень много прямоугольников с одним и тем же периметром, но с разными площадями. Какой же из них будет обладать наибольшей площадью? Это опять квадрат.

Площадь квадрата больше площади любого прямоугольника с тем же периметром.

Доказать это можно так, как обычно доказывают обратные теоремы — от противного.

Дан квадрат, периметр которого равен Р, а площадь равна Q. Допустим, что существует прямоугольник, периметр которого тоже равен Р, а площадь Q> Q. Построим новый квадрат, равновеликий этому прямоугольнику, то есть с площадью, тоже равной Q, следовательно, большей, чем площадь данного квадрата. Но по предыдущей теореме периметр нового квадрата Р< Р. Значит, площадь нового квадрата больше площади данного, а периметр меньше. Это невозможно. Следовательно, не существует прямоугольника с периметром таким же, как у квадрата и площадью большей, чем площадь квадрата. Не существует также и прямоугольника, имеющего площадь, равную площади данного квадрата, так как в этом случае периметр квадрата меньше периметра прямоугольника, что противоречит условию.

Итак, среди всех прямоугольников, имеющих один и тот же периметр, квадрат обладает наибольшей площадью.

Отметим еще (без доказательства), что квадрат «лучше» не только прямоугольника, но и любого четырехугольника, то есть периметр квадрата меньше периметра любого четырехугольника одинаковой с ним площади и площадь квадрата больше площади любого четырехугольника одинакового с ним периметра.

Подобного рода свойства квадрата проявляются и в других случаях. Вот еще пример.

Спортивная площадка в школьном дворе имела форму прямоугольника, по ее углам росли 4 дерева. Директор школы разрешил ученикам расширить площадку на столько, на сколько они смогут это сделать при выполнении следующих двух УСЛОВИЙ:

1)Сохранить прямоугольную форму площадки, но обязательно изменить направление ограничивающих ее сторон.

2)Деревья должны остаться на периферии площадки (если не по углам, то где-нибудь на сторонах площадки).

Будущие архитекторы засели за расчеты и чертежи.

На чертежах появились разнообразные прямоугольники, описанные около данного прямоугольника. Расчеты показали, что площади описанных прямоугольников не одинаковы. Какой же из них имеет наибольшую площадь?

Оказалось, что таким прямоугольником является квадрат.

КАК АБУЛ ВЕФА СОСТАВИЛ КВАДРАТ ИЗ ТРЕХ РАВНЫХ КВАДРАТОВ

Задачами превращения одной фигуры в другую путем переложения разрезанных частей занимались еще в древние времена. Возникли они из потребностей практиков-землемеров и строителей архитектурных сооружений древнего мира. Появились практические приемы и правила, не обоснованные доказательствами, и естественно, что многие из них были неверны, ошибочны.

Один из самых замечательных арабских математиков Абул Вефа, живший в X веке, решил целый ряд вопросов, относящихся к геометрическому превращению фигур.

В сочинении «Книга о геометрических построениях», дошедшем до нас не полностью в списках его учеников, Абул Вефа пишет:

«В настоящей книге мы займемся разложением фигур; вопрос этот необходим многим практикам и составляет предмет особенных их разысканий. К таким вопросам мы приходим, когда требуется разложить квадраты так. чтобы получились меньшие квадраты, или когда из нескольких квадратов требуется составить большой квадрат. Ввиду этого мы дадим основные начала, которые относятся к данным вопросам, так как все методы, применяемые рабочими, не основанные на каких-либо началах, не заслуживают доверия и весьма ошибочны; между тем на основании таких методов они производят различные действия».

На одном из собраний геометров и практиков Абул Вефе была предложена задача: Составить квадрат из трех равных квадратов.

Познакомимся с тем решением, которое дал Абул Вефа.

Он разрезал квадраты I и II по диагоналям и каждую из половинок приложил к квадрату III.

Затем он соединил отрезками прямых вершины Е, F, G и Н. Полученный четырехугольник EFGH—оказался искомым квадратом.

Доказательство сразу следует из равенства образовавшихся маленьких треугольников HLK, EKD и остальных таких же (HL = ED; углы HLK и EDK— по 45° и углы HKL =EKD).

Приведенное решение, по словам Абул Вефы, «точно и вместе с тем удовлетворяет практиков».

«ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ»

Традиционными инструментами геометрических построений являются циркуль и линейка. Но целый ряд геометрических задач можно будет решить, совсем не употребляя циркуля и линейки (разве только для нанесения заданных линий) при помощи перегибания листа бумаги, на котором выполняется построение.

Пусть, например, требуется разделить данный угол ABC пополам - Отогнем бумагу по прямым ВС и АВ (не на лицевую сторону), а затем перегибанием совместим отогнутый край ВС с отогнутым краем АВ, Получившийся сгиб ВО и будет биссектрисой угла ABC.

Кусок бумаги произвольной формы можно при помощи перегибаний превратить в прямоугольник или в квадрат.

Отогните какую-либо часть данного куска бумаги. Пусть полученный таким образом сгиб будет XX. Это — прямая линия. Теперь, проведя ножом по сгибу, отрежьте меньшую часть куска. Отогните другую часть бумаги так, чтобы при этом край ХХ накладывался на себя. Получившийся прямолинейный сгиб YY будет перпендикуляром к XX. (смежные углы YBX и YBX — прямые, так как они совпадали при наложении). Меньшую часть по сгибу отрежьте.

Повторяя указанный прием, образуйте края AD и CD. Фигура ABCD -— прямоугольник.

Пусть АВ будет короткой стороной прямоугольника ABCD. Перегните прямоугольник ABCD наискось так, чтобы край АВ лег на край ВС. Кусок EDCF удалите. Оставшаяся фигура AEFB — квадрат.

Таким образом, на куске бумаги нетрудно образовать перпендикулярные или параллельные сгибы. Можно представить себе и более сложные задачи на построение, которые интересны тем, что решаются перегибанием квадратного листа бумаги.

Задача 1. Произвести «золотое сечение» стороны данного квадратного куска бумаги при помощи только перегибаний,

Хочу напомнить, что «золотым сечением» или иначе - делением в крайнем и среднем отношении называется деление данного отрезка АВ точкой X таким образом, чтобы выполнялась пропорция:

Решение: Складывая данный квадрат ABCD пополам, найдем на стороне ВС ее середину Е.

Построим прямолинейный сгиб АЕ, Наложим BE на ЕА и в конце сгиба на стороне АВ отметим точку F, а на АЕ — такую точку К, что ЕК = BE. Отложим на АВ отрезок АХ = АК (это тоже можно сделать перегибанием; линия сгиба AS), и тогда точка X— искомая. Для доказательства наложим ХВ на ХА (линия перегибания ХН) и точку пересечения линии сгиба ХН и прямой ЕА обозначим буквой L. Ясно, что при этом LX образует прямые углы с АВ. Построим еще сгиб FK (по двум точкам). Углы при точке К — прямые, так как по построению один из них равен углу при вершине В. Прямоугольные треугольники AXL и AKF равны; они имеют общий острый угол А и два равных катета: АХ = АК (по построению).

Отсюда XL = FK, а так как FK = BF, то

BF = XL(1J

АВЕ oo AXL и BE = АВ/2(по построению); следовательно,

XL = АВ/2(2)

Из (1) и (2) имеем.

BF = АХ/2(3)

Отметим на АВ точку Y такую, что

BF=FY(4)

(наложением BF на FA) Тогда АВ = AF + FB = AF + FY

Очевидно также, что AY = AF — FY

Перемножая полученные равенства, будем иметь:

АВ AY = (AF + FY)*(AF-FY) = AF2-FY2

Из (4) и (1) следует: FY = FK; тогда АВ AY = AF2 - FK2. Но AF2 - FK2 = АК2 (из прямоугольного треугольника AKF); кроме того, АК = АХ (по построению) Таким образом,

АВ AY = AF2-FK2 = AK2=AX2

АХ2 = АВ AY(5)

Но AX=2XL = 2BF = BF+BF=BF+ FY = BY

(2) (1)(4)

Следовательно, АХ = BY, а отсюда и

AY=BX. (6)

Из (5) и (6) имеем;

АХ2 = АВ ВХ(7)

Таким же образом легко показать, что и

BY2 = AB AY,(8) то есть точка У в свою очередь делит отрезок АВ в крайнем и среднем отношении.

Задача№2. Перегибанием куска бумаги легко разделить данный угол пополам, и вы, без затруднений на квадратном или прямоугольном куске бумаги построите углы в 45°, 22°30', 11° 15' и т. д. Но как построить при помощи перегибания угол в 36', а, следовательно, и в 72°, 18°, 9° и т. д. ? Оказывается, это возможно, если воспользоваться умением произвести «золотое сечение» стороны квадрата (см. предыдущую задачу).

Решение:

Найдем точку Y, делящую сторону АВ данного квадратного куска бумаги в крайнем и среднем отношении способом предыдущей задачи. Построим прямоугольник AYGD и разделим его пополам линией сгиба EF. Повернем YB около Y так, чтобы вершина В упала на EF, и это положение вершины А обозначим буквой К. Сделаем сгибы YK, KB и КА.

Покажем, что треугольник ВАК — равнобедренный и каждый из углов ВКА и КАВ вдвое больше угла АВК.

По построению BY = YK и EY = АЕ. Отсюда YK = AK и BY = YK = AK.

Далее,BAK=KYA,KBY-YKB;следовательно,KYA = 2KBY(как внешний угол треугольника BYK) и

BAK = 2KBA(1)

ВК2 = ЕК2 + BE2 = АК2 — АЕ2 + BE2 = = YK2 + (BE2 — АЕ2) = BY2 + (BE + АЕ) (ВЕ — АЕ) =

= BY2 + AB (BE— YE) = BY2 + АВ • AY, но BY2=AB * YB; значит, ВК2 - АВ • YA + АВ • BY = AB(YA + BY) = АВ АВ= АВ2 или ВК = АВ. Отсюда

BAK = BKA. (2)

Из (1) и (2) следует, что

BAK= АКВ= 2 ZКВА что и требовалось доказать.

Пусть KBA=a, то ВАК = ABK = 2а, и а + 2а + 2а =180°;5а = 180°; а =36°.

Таким образом, КВА = 36°, т. е. угол КВА — искомый.

ПРАВИЛА КВАДРАТА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПРАВИЛО КВАДРАТА В ШАХМАТАХ

Какому шахматисту не знаком тот волнующий момент игры, когда какой-нибудь пешке, предположим белой, открывается возможность последовательными ходами, без поддержки своих фигур, пройти к последней линии шахматного поля, а противодействовать этому движению может только король противника, например. При этом белая пешка не защищена и ничто не препятствует передвижению черного короля по направлению к пешке.

Как определить, пройдет ли белая пешка в ферзи или по дороге будет уничтожена черным королем?

Начинающие шахматисты, да и не только начинающие, решают эту задачу пробными «ходами» своих пальцев по клеткам доски, да еще с приговорами «он сюда, я сюда, он сюда. » и т. д.

Но среди шахматистов немало друзей математики, и им такой «способ» не к лицу. Вопрос: «Догонит ли король Пешку?» решается мгновенно при помощи «правила квадрата». Надо мысленно построить квадрат, одной стороной которого является предстоящий путь пешки до последней линии доски. Тогда, если король противника войдет в этот квадрат (с любой его стороны) раньше, чем пешка покинет вершину угла квадрата, то король догонит пешку, если нет, то пешка проходит в ферзи.

В позиции при ходе черных король попадет в очерченный квадрат и, следовательно, задержит пешку белых; при ходе белых король черных не успевает вступить в очерченный квадрат, и белые выигрывают Вот и все несложное «правило квадрата»

Если пешка находится в начальном положении, как на то первым ходом она, как известно, может быть передвинута на две клетки В этом положении вершиной определяющего квадрата должна быть не та клетка, на которой стоит пешка а следующая — по ходу движения пешки.

Перегибая лист бумаги

Среди множества возможных действий с бумагой особое место занимает операция ее перегибания. Одним из достоинств этой операции является то, что ее можно производить, не имея под рукой никаких дополнительных инструментов — ни линейки, ни циркуля, ни даже карандаша. Этим вы, конечно, неоднократно пользовались, когда складывали из бумаги пилотку, самолет, кораблик и т. п.

Практические свойства бумаги порождают своеобразную геометрию, с элементами которой, я познакомлю вас в данной главе. Роль линий в этой геометрии будут играть края листа и складки, образующиеся при его перегибаниях, а роль точек — вершины углов листа и точки пересечения складок друг с другом или с краями листа. Оказывается, возможности операции перегибаний листа очень велики. То, что они включают в себя всю геометрию одной линейки, не вызывает сомнений. Но они в определенной степени таят в себе также и возможности циркуля, хотя и не позволяют проводить непосредственно дуги окружности.

Хочу заметить, что при реальной работе с бумагой нужно учитывать следующие обстоятельства. Если складывать лист бумаги в несколько раз, то сами складки получаются все менее и менее четкими из-за того, что настоящая бумага имеет некоторую, пусть незначительную, но ненулевую толщину. Этот эффект иногда начинает проявляться уже при втором перегибании. Следовательно, решая задачи этой главы, мы должны беспокоиться о том, чтобы при реализации решений бумагу приходилось складывать по возможности в меньшее число раз. Кроме того, не будем закрывать глаза и на то, что внешний вид бумаги несколько портится от дополнительных складок. Поэтому давайте поищем более экономные в этом смысле построения.

Задача №1. Середина отрезка.

На листе бумаги отмечены две точки А и В. Как с помощью перегибаний этого листа разделить отрезок ЛВ пополам?

Решение:

Перегнем лист бумаги по прямой линии, проходящей через точки А и В так, чтобы сами точки остались на видимой стороне бумаги после перегибания. Тогда, прижав друг к другу точки Л и В неразвернутого листа и разгладив этот лист, мы получим искомую точку С на прямой ЛВ, равноудаленную от А и В.

Задача №2. Перпендикуляр к прямой.

Как с помощью перегибаний листа бумаги провести прямую, перпендикулярную данной прямой и проходящую через данную точку?

Решение:

Перегнём лист бумаги по данной прямой так, чтобы данная точка D осталась на видимой стороне листа. Затем, не разворачивая лист бумаги, перегнём его ещё раз по прямой, проходящей через точку D, проследив при этом за тем, чтобы некоторые точки А и В данной прямой совместились. Тогда полученная прямая CD будет перпендикулярна прямой АВ. поскольку углы ACD и BCD в силу симметрии равны друг другу и составляют в сумме развёрнутый угол АСВ.

В описанном здесь построении после первого перегибания бумагу можно полностью развернуть, а затем перегнуть по прямой, проходящей через точку D, проследив за тем, чтобы совместились некоторые другие точки прямой ЛВ, одна из которых лежит на самом краю листа.

Задача №3. Параллельная прямая. Как с помощью перегибаний листа бумаги провести прямую, параллельную данной прямой и проходящую через данную точку?

Решение: Проведем сначала перпендикуляр к данной прямой так. как описано в решении задачи 2, а потом проведем перпендикуляр к полученной прямой, проходящий через данную точку. Последняя прямая будет параллельна данной, так как обе они перпендикулярны одной и той же прямой.

Задача №4. Выравнивание краёв бумаги.

У вас в руках оказался лист бумаги неправильной формы, а вы хотите с помощью перегибаний получить из него бумажный прямоугольник. Один из простейших способов сделать это состоит в последовательном проведении сначала какой-либо прямой АВ, затем перпендикуляра ВС к ней, затем перпендикуляра CD к полученной прямой и, наконец, перпендикуляра DA к прямым CD и АВ. Дело в том. что проведение перпендикуляров описанным способом предполагает наличие достаточно больших участков дайной прямой как с одной, так и с другой стороны от данной точки (иначе точность построения сильно падает: таким образом на перпендикуляр к прямой АВ через точку В точно провести практически не удается).

Придумайте другой способ проведения перпендикуляров, пользуясь которым можно свести расход бумаги при выравнивании ее краев к минимуму (например, реализовать построение прямоугольника ABCD).

Примерно по середине листа проведем две перпендикулярные прямые (линии сгиба) ЕР и ОЯ, параллельные сторонам будущего прямоугольника ABCD и пересекающиеся в точке О. Приложим сверху край EF листа, перегнутого предварительно по прямой ЕР, к той части исходного листа, которая содержит точку G, и проследим, чтобы точка О оказалась прижатой к лучу OG. Тогда, перегнув вдоль листа нижнюю часть листа, мы получим прямую AD. Аналогично с другой стороны от прямой EF получаем прямую ВС. Приложив также край GH листа, перегнутого по прямой СЯ, к той части исходного листа, которая содержит точку £, и проследив, чтобы точка О оказалась прижатой к лучу ОЕ и чтобы линия ОН пересекла обе построенные ранее линии AD и С В, мы получим сторону АВ прямоугольника. Аналогично получаем противоположную его сторону СО. Для доказательства того, что построенный четырехугольник действительно является прямоугольником, достаточно проверить, что прямые ЛВ и СО параллельны прямой EF, а прямые AD и ВС — прямой GH.

Задача №5. Правильность угольника

Прежде чем пользоваться угольником с ровными краями для проведения перпендикуляров, вы хотите убедиться в том, что ваш угольник имеет прямой угол. Как это сделать?

Проведем прямую АВ и, приставив к ней угольник одним катетом, восставим перпендикуляр CD к прямой АВ в некоторой точке С. Повернув угольник по плоскости бумаги на 90° вокруг точки С и приставив к прямой А В угольник другим катетом, восставим еще раз перпендикуляр CD к этой прямой в точке С, Если два проведенных отрезка CD совпадут, то угольник имеет прямой угол, а если не совпадут, то используемый для построении угол не является прямым.

Задача №6. Перегибания квадрата:

Какое наименьшее количество раз необходимо перегнуть четырёхугольный кусок материи, чтобы убедиться в том, что он имеет форму квадрата?

Необходимо перегнуть четырехугольный кусок материи два раза. В самом деле, одного перегибания явно недостаточно для проверки того, является ли четырехугольник квадратом, так как наличие у него не только одной, а даже двух осей симметрии еще не позволяет утверждать, что четырехугольник есть квадрат. С другой стороны, если четырехугольник ABCD симметричен относительно диагонали АС и относительно прямой EF, проходящей через середины сторон АВ и CD, то он является квадратом. Действительно, применяя в определенном порядке указанные симметрии, получаем равенства AB=AD = BC=CD и

ZABC = ZBAD = 90°, из которых следует, что четырехугольник ABCD является ромбом и прямоугольником, т. е, квадратом.

Вырезание из бумаги

С помощью перегибаний листа бумаги я обосновывала некоторые геометрические свойства фигур. Вырезала по клеткам игрушечного кота.

За основу берутся квадратные листы. Перед вырезанием их придется определенным образом складывать края листа будут изображены сплошными линиями, а места сгиба — штриховыми. Сплошными линиями будут также показаны места, по которым нужно аккуратно сделать разрезы ножницами.

Задачи на вычисление площади фигуры

Задача №7:

Показан нерациональный (а) и рациональный (6) раскрой стальной полосы при изготовлении заготовки AFEDCB для деталей комбайна. Подсчитайте, сколько погонных метров полосы будет сэкономлено при изготовлении 200 заготовок (измерения даны в миллиметрах).

Решение:

При нерациональном раскрое на изготовление каждой детали расходуется 175 погонных миллиметров стандартной стальной полосы. При рациональном раскрое заготовки соответствующим образом переставляются в результате чего достигается экономия AK=х погонных миллиметров на каждую пару. Найдем х. AK=х= AP- КР = 175-KP, KP=DC+CD, DC=CD=60мм, следовательно, РК = 60мм + 60мм=120 мм. Тогда х= 175-120 = 55. Отсюда, заключаем, что при изготовлении 200 деталей мы сэкономим 55мм100 = 5500мм, т. е. 5,5 погонных метров стандартной стальной полосы.

Задача №8:

Сторона квадратной шайбы равна 60мм. Какой длины Должен быть лист стали шириной 300мм, если из него нужно сделать 50 шайб?

Решение:

На ширине листа поместится 5 шайб, т. е. для получения 50 шайб нужно вдоль листа разместить 50:5=10 рядов, т. е. длина листа должна быть 6010, т. е. 600мм.

Задача №9:

Новосел, решив выложить пол в квадратной кухне площадью 7,29м2 квадратными разноцветными плитками, купил такой набор: 1 плитка со стороной 120см, 3 плитки со стороной 90см, 9 плиток со стороной 60см и 2 плитки со стороной 30см. Другой новосел для точно такой же кухни купил на 1 плитку больше со стороной 120см, на 1 плитку меньше со стороной 90см и на 1 плитку меньше со стороной 60см. Кто из них поступил разумно?

Решение:

При ответе на вопрос нужно учитывать не только деньги, затраченные новоселами на покупку плиток, но и соответствие купленного набора поставленным целям, а также подумать о том, удастся ли новоселам выложить пол в своих кухнях купленными плитками. И тогда обнаруживается, что первый новосел сможет это сделать, а второй не сможет (если, разумеется, плитки нельзя разрезать). Действительно, общая площадь купленных им плиток равна 7,56м2, т. е. излишек составляет 0,27м2, а эту площадь нельзя составить из набора плиток, купленных вторым новоселом, так как 0,27 м2<0,36м2 — площадь одной наименьшей плитки. Теперь ясно, что более разумно поступил первый.

Задача №10:

Сложите квадрат наибольшей площади, используя 4 палочки длиной 1см, 4 палочки длиной 2см, 7 палочек длиной 3см, 5 палочек длиной 4см.

Решение:

Если а — длина стороны квадрата, то его периметр равен 4а, т. е. делится на 4. Наибольшее число, не превосходящее 53 (длину всех палочек) и делящееся на 4, равно 52. Следовательно, если мы сможем выбрать четыре набора из предложенных нам наборов палочек, в каждом из которых сумма длин равна 13см, то и длина стороны искомого квадрата будет равна 13см. Такими наборами являются, например, следующие: 4, 4, 3, 2; 4, 4, 3, 1, 1; 4, 3, 3, 2, 1; 3, 3, 3, 2, 2.

Задачи на построение.

Задача №11:

Земельный участок, имеющий форму квадрата, был огорожен изгородью, от которой сохранились два столба на параллельных сторонах квадрата. Кроме того, остался столб в центре квадрата. Как восстановить границу участка?

Решение:

Пусть М и К — данные точки на сторонах искомого квадрата, О — его центр. Построим точки M и К симметричные соответственно М и К относительно точки О. Получим прямые МК и КМ, которым принадлежат две противоположные стороны квадрата.

Параллелограмм МКМК определяет направления сторон квадрата МК,и KM. Если К'К — перпендикуляр на прямую МК, то КК' — длина стороны квадрата, а КК'• — половина его диагонали. Строим циркулем с центром О и радиусом КК'• на прямых МК и КМ вершины А, В, С, D искомого квадрата.

Задача №12:

Поверхность пруда имеет форму квадрата. В вершинах квадрата на берегу пруда растут четыре дуба. Хотят вдвое увеличить площадь поверхности пруда, но так, чтобы новый пруд сохранил форму квадрата и чтобы все четыре дуба остались целы (т, е. были на берегу). Как это сделать?

Решение:

Построим точки О, О, O,O, симметричные точке О относительно прямых ВС, AD, CD и АВ соответственно. Докажем, что S = 2S. Пусть ВС = х. Тогда площадь пруда равна x2

Площадь нового пруда S= ООOO= 2x2.

Я пришла к выводу, что квадрат действительно удивительная геометрическая фигура, имеет много замечательных, интересных свойств. Квадрат способен превращаться в другие геометрические фигуры правильной или неправильной формы. А также квадрат-это механизм, с хорошо приложенными частями, который можно разобрать и из тех же частей собрать новый механизм.

Человеческая мысль не стоит на месте. А потому в настоящее время существует танграммы, решённые на базе круга. Например:

Круг разбили на 10 частей: четыре одинаковых треугольника и три пары фигур неизвестного наименования. Включив пространственное воображение из полученных частей фигуры можно составить силуэты разных зверюшек, птичек и человечков.

Главное соблюдать правило: для составления надо использовать силуэта все 10 частей. Не накладывая одну на другую.

Желаю всем читателям шумных успехов и буйного разгула фантазии!

Используемая литература:

«Удивительный квадрат». Кордемский Е. А. , Русалёв Н. В.

«Тысяча проблемных задач по математике: Книга для учащихся». Лоповок Л. М. «Примени математику». Сергеев И. Н.

«Задачи по планиметрии с практическим содержанием». Варданян С. С.