Уравнение высих степеней

Квадратным уравнением с неизвестным х называют уравнение, левая часть которого есть квадратный трёхчлен относительно х, а правая – нуль.

Квадратное уравнение называют также уравнением второй степени. Общий вид квадратного уравнения ах2 + вх + с = 0, где а,в,с—действительные числа, а0.

Число D = в 2 – 4ас называют дискриминантом квадратного уравнения.

Если дискриминант квадратного уравнения больше нуля, то уравнение имеет два разных корня; если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет корней; если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет два одинаковых корня.

Частные виды квадратных уравнений:

•. Если а = 1, то уравнение называется приведённым x2 + px, + q = 0

Для него справедлива теорема Виета. ,где х1 ,х2 корни уравнения.

• Свойство коэффициентов квадратного уравнения ах2 + вх. + с = 0

1. если а + в + с = 0, то х1 = 1, х2 =.

2. если а - в + с = 0, то х1 = -1, х2 = -

Пример 1 5х2- 3х – 2 = 0 Пример 2 12х2 + 7х – 5 = 0 а + в + с = 5 – 3 - 2=0, а – в + с = 12 – 7 – 5 = 0 , значит х1 =1, х2 = значит х1 = - 1, х2 =

Ответ: 1; Ответ:-1;.

•. Уравнения, решаемые методом переброски.

Пусть дано квадратное уравнение: ах2 + вх + с = 0. Умножим обе части уравнения на а, получим: а2х2 + авх + ас = 0. Введём новую переменную: ах = у, тогда х =, подставляя в уравнение, получаем квадратное уравнение относительно у: у2 + ву + ас = 0, решая его находим у1 и у2, а затем х1 и х2. Этот приём удобен, когда старший коэффициент "не хороший".

Проверь себя: 1. 9х2 – 6х + 1 = 0

2. х2 + 4х – 5 = 0

3. 8х2 + х – 9 = 0

4. 2х2 – 5х – 3 = 0

• Биквадратное уравнение.

Уравнение вида где -некоторые действительные числа, причём , называется биквадратным уравнением. Заменой , где у 0 это уравнение сводится к квадратному уравнению относительно у: ау2 + ву + с = 0.

Пример3 х4 + 3х2 – 4 = 0

Пусть , где у > 0

Тогда Это уравнение квадратное и в нём а + в + с = 0, значит у1 = 1, у2 = -4< 0 не удовлетворяет условию. Значит х2 = 1, тогда х = ± 1 Ответ:.

• Уравнения вида:

Такие уравнения решаются введением новой переменной.

Тогда , раскрыв скобки, получим квадратное уравнение относительно т, находим его корни, а затем и х

. Пример4.

Тогда т. к , то

Тогда 2х2 + 3х = - 1 и 2х2 + 3х = -3 т. к 2х2 + 3х – 3 = 0 то D = 9-4. 2. 3< 0, значит, нет корней тогда - 1 и являются корнями данного уравнения

Ответ:.

• Уравнения вида: ( х + а )( х + в )( х + с )( х + р ) = т

Уравнение можно свести к квадратному, если ( ; а+ р = в+с )

Сгруппируем эти скобки согласно условиям ,и тогда можно будет ввести новую переменную, и получим квадратное уравнение.

Пример 5

Перегруппируем сомножители и преобразуем полученное уравнение:

Пусть , тогда получим уравнение:

Тогда и х2 + 5х = - 12 х2 + 5х – 6 = 0 х2 + 5х + 12 = 0

D =49 D = - 23< 0, значит нет корней х1=1, х2= - 6

Значит 1 и - 6 корни уравнения. Ответ: 1; - 6.

Проверь себя:

Уравнение вида: ах4+ вх3 + сх2 + квх + к2а = 0 называется возвратным уравнением четвёртой степени. Так как не является корнем данного уравнения, то разделим обе части уравнения на и, группируя, получим эквивалентное уравнение:

Вводя новую переменную , это уравнение легко привести к квадратному относительно у. Найдём его корни, а затем корни нашего уравнения, т. е. х.

Пример 6 3х4 – 2х3 – 31х2 + 10х + 75 = 0

Т. к. х = 0 не является корнем данного уравнения, то разделим обе части уравнения на х2 и сгруппируем. Тогда

Пусть , тогда , подставим в уравнение:

3(у 2+10 ) – 2у – 31 = 0

3у 2 – 2у – 1 = 0, т. к. а + в + с =0,то у=1, у2 = значит и х2 – х – 5 = 0 3х + х – 15 =0

Возвратные уравнения нечётной степени всегда имеют один корень, равный -1. Если выделить в этом уравнении множитель ( х + 1 ), то второй множитель приводит к возвратному уравнению степени на единицу меньше и чётной степени.

Возвратные уравнения шестой степени делятся на х3 и решаются также.

Проверь себя:

9. х4 + 4х3 – 2х2 – 12х + 9 = 0

10. 2х4 –х3 – 7х2 – 2х + 8 = 0

Рассмотрим приведённое уравнение с целыми коэффициентами вида: хп+ а1хп-1 + а2хп-2 + + ап = 0. Если это уравнение имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена ап.

Пример7.

Старший коэффициент равен 1, коэффициенты целые числа, значит, корнями могут быть делители числа 6, т. е. Используем схему Горнера

1 6 11 6

-1 1 5 6 0

1 1 7 18 24

-2 1 4 3 0

2 1 8 27 60

-3 1 3 2 0

Так как уравнение третьей степени, значит, уравнение может иметь только три корня. По схеме Горнера мы их нашли: -1; -2; -3.

Можно было найти один корень с помощью проверки и разделить многочлен, расположенный в левой части уравнения на (х- х0), где х0 найденный корень.

Тогда получим следующее уравнение: ( х + 1 )( х2 + 5х + 6 ) = 0. Квадратные уравнения мы решать умеем.

Ответ:.

• Если старший коэффициент не равен 1, то уравнение с целыми коэффициентами имеет вид: а0хп + а1хп-1 + а2хп-2 +. + ап = 0. Если несократимая дробь ( ) является корнем этого уравнения, то р является делителем свободного члена, т. е. ап , а п является делителем старшего коэффициента а0.

Пример8.

Делители свободного члена: , делители старшего коэффициента:.

Тогда корнями уравнения могут быть:. Проверка: - корни

• Очень часто по свободному члену найти корни подбором бывает невозможно. Но и в этом случае иногда можно воспользоваться данным способом с помощью метода переброски.

Пример9.

Корнями могут быть

Тогда воспользуемся переброской коэффициентов и получим: Пусть , тогда

Корнями могут быть:. Подбором - корень

Тогда разделим многочлен на ()

Воспользуемся схемой Горнера:

1 5 -1 -21

-3 1 2 -7 0 а

Тогда: у2 + 2у + 7= 0, решая, находим у1,2 = -1±. Теперь находим х.

Проверь себя:

1. Ответ:. 2. Используй свойства коэффициентов Ответ:1;-5. 3. Используй свойства коэффициентов Ответ: 4. Ответ: 5. Воспользоваться методом переброски коэффициентов.

Пусть и получим уравнение: ,так как , тогда , значит Ответ:

6. Это биквадратное уравнение, подстановка х2 = t, где t > 0, получим уравнение t2 -2t – 8 = 0, его корни 4 и -2 (не удовлетворяет условию ), х = ± 2. Ответ: ± 2.

7. Ввести новую переменную у = х2 + 5х, тогда ( у -2 )( у + 1)=64; у2 - у – 2 = 4; у2 - у – 6 = 0, у1 = -2, у2 = 3. Находим х из уравнений: х2 + 5х = -2 и х2 + 5х= 3.

Ответ:.

8. Сгруппировать скобки: (( х + 1)( х+ 4))( (х + 2)( х+ 3 )) = 1

Пусть , тогда

Значит, чтобы найти х надо решить уравнения:

Ответ:.

9. Это возвратное уравнение. Делим обе части на х 2 и вводим новую переменную: х2 + 4х – 2 - + = 0, пусть , тогда:. Получаем: у2 + 6 +4у -2 = 0, у2 + 4у + 4 = 0, у = -2. Найдём х, решив уравнение:

. Ответ: х1= -3, х2= 1.

10. Это возвратное уравнение. Делим обе части на х2 и вводим новую переменную:

2х2 – х -7 - , пусть , тогда. Получаем:

2 (у2- 4 ) - у – 7 = 0, 2у2 - у -15 = 0 , у1 = -2,5; у2 = 3. Найдём х , решив уравнения:

и. Ответ: 1; 2.

11. Корнями могут быть:. Подбором – корень. Тогда разделим многочлен на , используя схему Горнера:

1 0 -7 6

1 1 1 -6 0

Тогда: х1 =-= -3; х2 = 2. Ответ: - 3; 1; 2.

12. Умножим обе части уравнения на 6, чтобы получить уравнение с целыми коэффициентами: 3х3 + 4х2 – 10х + 3 = 0

Делители свободного члена: , делители старшего коэффициента:.

Корнями могут быть: Подбором – корень. Тогда разделим многочлен на Воспользуемся схемой Горнера:

3 4 -10 3

1 3 7 -3 0

. Ответ:

13. Вынесем х3 за скобки: х3( 6 -7х + х3 ) = 0. Получили распадающееся уравнение: х = 0 и х3 – 7х + 6 ) = 0. Второе уравнение – это уравнение с целыми коэффициентами и корнями могут быть. Подбором – корень. Тогда разделим многочлен на , используя схему Горнера:

1 0 -7 6

1 1 1 -6 0

Тогда:. Ответ: - 3; 1; 2.