Задачи математики

Математика – одна из древнейших наук. За долгую историю своего существования она знала периоды расцвета и длительного застоя. В наши дни эта наука развивается исключительно быстро.

Коротко математику можно охарактеризовать как науку о числах и фигурах. Трудно назвать такую отрасль человеческой деятельности , где не приходилось бы ставить и решать вопросы о количестве предметов , об их размерах и форме. С глубокой древности , по мере развития человеческого общества , накапливалось все больше сведений о числах , о размерах и формах различных предметов. Появилась необходимость приводить эти сведения в порядок, чтобы их легче было передавать от одного поколения к другому. Так постепенно зарождалась математика.

Пройдет много времени, и недоучки, не знающие математики, не смогут работать ни на заводе, ни в колхозе, ни на транспорте.

Изучение математики многим нелегко дается и требует упорства и труда. Некоторые вопросы школьной математики иногда кажутся недостаточно интересными и даже порой скучными. Однако азбука и грамматика какого либо языка также часто не очень интересны, а между тем только через их изучение лежит путь ко всей литературе с её увлекательными сказками, рассказами, повестями, романами и стихами. Подобно этому, через те простейшие, азбучные положения математики, которые изучаются в школе, лежит дорога к современной математики- огромной, почти необозримой по своему богатству области человеческого знания.

Логика – наука о способах доказательств и опровержений; совокупность научных теорий, в каждой из которых рассматриваются определённые способы доказательств и опровержений. Основателем логики считается Аристотель. Различают индуктивную и дедуктивную логику, а в последней - классическую, интуиционистскую, конструктивную, модальную и другие. Все эти теории объединяет стремление к каталогизации таких способов рассуждений, которые от истинных суждений-посылок приводят к истинным суждениям-следствиям; каталогизация осуществляется, как правило, в рамках логических исчислений. Особую роль в ускорении научно-технического прогресса играют приложения логики в вычислительной математике, теории автоматов, лингвистике, информатике и других.

Я выбрала именно логические задачи, потому что мне очень нравится решать их, думать над ними, ведь зато интересно и занимательно. Поэтому я придумала пять интересных задач, тексты которых предлагаю прочитать далее.

Задача №1. «Сколько стоит блокнот?»

Буратино купил два блокнота. Мальвина спросила: «Сколько стоит каждый блокнот?» «За один блокнот,- сказал Буратино,- я заплатил в 4 раза больше таких монет, каких за другой блокнот заплатил – две. За оба блокнота я заплатил 100 сольдо».

Задача №2. «Который час?»

- Который час? – спросил Чебурашка у Гены.

- А вот, сосчитай: 10 часов тому назад от начала суток прошло столько же времени, сколько останется до конца суток через два часа?

Который же час?

Задача №3. «Кто победил?»

Волк и заяц соревновались в беге. Каждый шаг зайца был в 3 раза короче волчьего, но шаги он делал в четыре раза чаще, чем волк.

Кто победил?

Задача №4.

«Будет ли солнечная погода?- Крош задал вопрос Нюше,- если поздней осенью в 22часа идёт дождь, то возможна ли через 48 часов солнечная погода?»

Пожалуйста, помогите Нюше ответить на вопрос.

Задача №5. «Что больше?»

Однажды Знайка задал вопрос Незнайке: «Что больше и на сколько: сумма всех чётных или сумма всех нечётных чисел от 1 до 10 (включая 10)»

Ответы: З. №1 – 80 сольдо и 20 сольдо; З. № 2 – 16 часов; З. №3 – Заяц;

З. № 4 – нет, так как будет ночь; З. № 5 – сумма чётных чисел больше суммы нечётных чисел на 5.

«Эссе. Исаак Ньютон» написала Анастасия Патрикова.

В 1642\3 году родился будущий физик и математик Исаак Ньютон. Родился он преждевременно из-за смерти его отца, поэтому был слаб и немощен. Его шея была тонка и мала, что не удерживала голову новорожденного. Исаак настолько был мал, что мог уместиться в большой пивной кружке. Мать Ньютона – Анна Эйскоу боялась крестить его преждевременно, поэтому запись о рождении «заморыша» появилась в день крестин – 1 января 1642\43 года (с 1 января по 28 марта всех новорождённых записывали, указывая уходящий и наступающий год, так как введён, был новый календарь). «Заморышу» помогла Леди Бекенхем, и его здоровье пошло на поправку.

Обучаясь в детском возрасте в Грэнтэмской школе, Исаак не был отличником, он был самым обыкновенным учеником, лишь отличался от всех остальных учеников зажатостью и одиночеством. У Ньютона не было друзей. Переломный момент в жизни Исаака настал в переходном возрасте, когда у него появилось величие к своему имени, которое он выцарапывал деревянным гвоздиком везде. Я считаю, что Исаак Ньютон стал учиться лучше всех, чтоб все в классе его уважали, знали его имя.

Одним из первых изобретений маленького гения стала ветряная мельница. Он хотел, чтобы родные разделили с ним его триумф, но всем не было до него ни какого дела. Конечно, в его изобретении были недоработки, которые он сам быстро устранил. Ветрила мельницы не крутились, когда не было ветра, и чтобы исправить это, Ньютон поймал мышь, запустил её в колесо. Для ускорения он прицепил перед глазами кусок сала, а для тормоза закрепил верёвку к хвосту, и когда мышь бегала, то мельничные крылья произвольно крутились. Другой постоянной поделкой Исаака с детства были деревянные колышки для изготовления солнечных часов, которые он изготавливал повсюду, куда только попадали солнечные лучи.

На смену детским и отроческим занятиям в последующие годы учёбы и работы над научными трудами пришли серьёзные изобретения в механике, а в математике открытие и разработки методов решения различных задач.

Современные школьники решают задачи и пользуются методом Ньютона, может быть, не зная о том, что предложил его Исаак Ньютон. Разработкой методов непосредственного составления по условию задачи одного уравнения с одним неизвестным, а не нескольких уравнений с несколькими переменными, занимались многие математики. Такой метод сформулировал сам Ньютон: надо обозначить неизвестное (как правило – искомое) буквой, а затем перевести условие задачи на алгебраический язык. Как это сделать Ньютон показал на многочисленных примерах, один из которых приведён ниже.

Задача. Некий торговец каждый год увеличивал на одну треть своё состояние, уменьшенное на 100 фунтов (фунт стерлингов – денежная единица Англии), которые ежегодно тратил на свою семью. Через три года он обнаруживает, что его состояние удвоилось. Спрашивается, сколько у него было денег?

Процесс составления уравнения Ньютон показал так:

Словесный текст Перевод на алгебраический язык

У торговца имеется состояниех из которого он в первый год истратил 100 фунтов. х-100 остаток он увеличивает на одну треть. (х-100) + (х-100)1/3 = (4Х-400)1/3 во второй год он опять тратит

100 фунтов. 1/3(4X-400) -100 = 1/3(4X - 700) и остаток снова увеличивает на одну треть. 1/3(4X-700) + 1/9(4X-700) = 1/9(16X-2800) в третий год он снова тратит

100 фунтов1/9(16X-2800)-100 = 1/9(16X-3700) и остаток также увеличивает на одну треть1/9(16X-3700)+1/27(16X-3700) = 1/27(6X-14800) причём оказывается вдвое богаче, чем был вначале. 1/27(64X-14800) = 2X

После этого Ньютон замечает: «Вы видите, что для решения вопросов, относящихся лишь к числам или отвлечённым отношениям величин, нужно только перевести задачу с латинского или иного языка на язык алгебры, то есть выразить её при помощи знаков, пригодных для изображения наших понятий об отношениях величин. »

С этим утверждением Ньютона трудно согласиться из-за того, что такой перевод отнюдь не так прост. И сам Ньютон в своей книге приводит примеры, подтверждающие тот факт, «что слова, содержащие выражение вопроса, не могут быть переведены на язык алгебры; но это бывает легко сделать, произведя небольшие изменения, а также придерживаясь более смысла слов, чем их буквы. » Заканчивает Ньютон словами: «искусства гораздо легче изучать при помощи примеров, чем при помощи предписаний. »

Я составила уравнения по условиям задач, используя метод Ньютона, которые представляю ниже вашему вниманию.

Задача 1.

Если конный вестовой поедет со скоростью а км \час, то приедет к месту назначения с опозданием на 1 час; если же он поедет со скоростью в км \час (в>а), то он приедет туда раньше назначенного срока на 40 минут. Какой путь должен был проехать вестовой?

Составление уравнения для решения задачи 1.

Словесный текст Перевод на алгебраический язык

Путь, который должен был проехать конный вестовой. х

Время, затраченное конным вестовым, ехавшим со скоростью а км \час. х \а

Время, затраченное конным вестовым, ехавшим со скоростью в км \часх \в

Разность времени, затраченного при движении со скоростью а км \час и со скоростью в км \часх \а – х \в = 40 + 60

Уравнение имеет вид: х = (100 а в ) : ( в – а) – путь, который должен проехать вестовой.

Задача 2.

Два товарища купили за 4800 рублей радиоприёмник, и при этом один из них отдал все свои деньги, а другой – только 3\4 своих денег. Если бы первый отдал 3\4 своих денег, а второй – все свои деньги, то для уплаты за приёмник не хватало бы 150 рублей. Сколько денег было у каждого?

Составление уравнения для решения задачи 2.

Словесный текст Перевод на алгебраический язык

Два товарища купят радиоприёмник:

Если первый товарищ потратит все свои деньги, рублей. х

И если второй товарищ потратит

3\4 всех его денег, рублей. 4800 – х

Два товарища не купят радиоприёмник:

Если первый потратит 3\4 всех своих денег, рублей3\4х и если второй потратит все свои деньги, рублей(4800-х) 4\3 то им не хватит 15 рублей

Уравнение для решения задачи имеет вид: 3\4х + (4800-х) 4\3 = х

3 равны между собой не только суммы чисел в строках, столбцах и диагоналях, но и суммы пятёрок чисел по «разломанным» диагоналям, сязанным на рисунке цветными линиями:

1 15 24 8 17

9 18 2 11 25

12 21 10 19 3

20 4 13 22 6

23 7 16 5 14

Рисунок 3.

Магические квадраты (nxn) таблица целых чисел от 1до n2, удовлетворяющих условию: n n n n

Σ аij = Σ aji = Σ аii = Σ ai

I,j=1 j= 1 i =1 i =1

Сумма чисел по строке равна сумме чисел по столбцу, равна сумме чисел по диагоналям.

Магические квадраты можно построить для любого n =3.

Общей территории магических квадратов не существует, но известен ряд алгоритмов построения магических квадратов нечётного порядка.

Магические квадраты – квадратная матрица n – го порядка, каждая строка и каждый столбец, которой является перестановками элементов конечного множества S, составляющего из n элементов.

Магические квадраты применяют в жизни на практике.

Предлагаю решить следующие три задачи.

Задача 1.

В каждой из 9 клеток квадрата поставить одно из чисел 1, 2, 3 так, чтобы сумма чисел, стоящих в каждом вертикальном ряду, а также по любой диагонали равнялись 6. Найдите все расстановки.

Задача 2.

В квадрате, состоящем из 9 клеток, расставить числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, чтобы суммы чисел, стоящих в каждом вертикальном ряду, каждом горизонтальном ряду, а также на любой диагонали были равны.

Задача 3.

Расположите 25 чисел от 1 до 25, в квадрате из 25 клеток так, чтобы в каждой строке, в каждом столбце, а также по каждой диагонали квадрата получились одинаковые суммы.