Задачи на наибольшее и наименьшее значение величин и методы их решения

Задачи, связанные с поиском наибольших и наименьших значений какой-либо величины, часто встречаются в математике, технике, экономике, медицине, и естествознании. Такие задачи решаются с помощью дифференциального исчисления. Дифференциальное исчисление дает единообразный способ их решению. Вместе с тем много интересных задач на отыскание наибольших и наименьших значений могут быть красиво решены и элементарными способами. Несмотря на необходимость знаний и исследований в этой области в связи с её актуальностью, в школьной программе ей уделяется недостаточно внимания и времени.

Цель моей работы: ознакомиться с некоторыми идеями и прикладными методами школьного курса математики, которые часто применяются в практической деятельности человека, научится решать задачи на экстремумы без вычисления производных и формального исследования функций.

Понятия об оптимизационных задачах

Определение: Оптимизационными задачами называются задачи на отыскание наибольших и наименьших значений.

Они чаще всего могут быть решены по следующей схеме:

– Проанализировав условие задачи, определяют, наибольшее или наименьшее значение какой величины требуется найти (часто говорят: какую величину следует оптимизировать?).

– Одну из неизвестных величин (сторону, угол и т. п. ) принимают за независимую переменную величину и обозначают её буквой x. Определяют границы изменения x.

– Исходя из условия задачи, выражают y через x и известные величины (чаще всего зависимость выражается с помощью функции y=f(x)).

– Находят средствами математики наибольшее или наименьшее значение на промежутке изменения x.

– Интерпретируют результат для рассматриваемой задачи.

На первых трех этапах речь идет о построении математической модели рассматриваемой задачи. Успех или неудача моделирования (а потом и поиск значений) во многом определяется выбором независимой переменной. Естественно, выбор должен быть таким, чтобы не только модель получилась «проще», но и чтобы ее удалось исследовать. Обратимся к простой иллюстрации.

Пример 1. Среди всех треугольников с двумя данными сторонами выбрать треугольник наибольшей площади.

Понятно, что существует бесконечное множество треугольников, которые имеют две данные стороны. Из этого множества надо выбрать один, имеющий наибольшую площадь.

Пусть в нашем треугольнике BC=a ,AC=b , примем AB за переменную величину x. Оптимизируемой величиной является площадь треугольника ABC, поэтому требуется через a, b и x выразить площадь треугольника ABC. Вспоминая геометрию, получаем:

Требуется найти такое x, что при нем S больше или равно площади треугольника при других значениях AB. При этом из геометрических соображений x изменяется в промежутке от 0 до a+b, т. е.

Попробуем выбрать независимую величину иначе.

Примем величину угла ABC за независимую величину. В этом случае для оптимизируемой величины S получаем:

В этом случае требуется найти такое x, что S принимает наибольшее значение. Из геометрических соображений ясно, что.

Таким образом, мы построили две модели:

S – max S - max

Первая модель сложнее, неясно, как найти значение x , при котором S принимает наибольше значение. Из второй модели видно, что наибольшее значение S будет тогда, когда sin x принимает наибольшее значение. Из свойств синуса мы знаем, что наибольшее значение синуса равно 1 при. Отсюда наибольшее значение S равно. Это записывают так:

Решение оптимизационных задач

Вспомогательные утверждения.

Теорема 1. Произведение двух положительных множителей, сумма которых постоянна, имеет наибольшее значение при равенстве множителей (если множители могут иметь равные значения).

Доказательство: Обозначим сомножители через x и y. Из тождества видно, что. (По условию - постоянно). Произведение будет наибольшее при наименьшем значении , т. е. при x=y.

Отметим, что max.

Следствие: Произведение двух положительных сомножителей x и y, связанных соотношением , где m, n - положительные числа, будет наибольшим при , т. е. при

Теорема 2. Сумма двух положительных слагаемых, произведение которых постоянно, имеет наименьшее значение при равенстве слагаемых.

Доказательство. Пусть сомножители x и y. Из тождества ясно, что , а значит и будет наибольшим, если x-y=0

Утверждение доказано.

Следствие: Если произведениепостоянно, то , где m и n – положительные числа, имеет наименьшее значение при.

Теорема 3. Произведения нескольких переменных положительных сомножителей, сума которых постоянна, достигает наибольшее значение при равенстве сомножителей (если только множители могут принимать равные значения).

Теорема 4. Если произведение положительных сомножителей постоянно, то их сумма будет наибольшей, если они равны между собой.

Обратимся к иллюстрациям.

Пример 1. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Дан периметр фигуры. Каковы должны быть размеры окна, чтобы оно пропускало наибольшее количество света?

1. Окно будет пропускать наибольшее количество света, если его площадь наибольшая. Следовательно, задачу можно переформулировать: требуется выбрать размеры окна так, чтобы площадь окна была наибольшей.

2. Обозначим высоту окна через y, а основание через – x, периметр окна P, тогда.

Площадь S окна выражается через x, y следующим образом:

Вновь переформулируем задачу: выбрать среди положительных x, y, удовлетворяющих равенству такие значения, что S принимает наибольшее значение.

3. Покажем, как можно найти наибольшее значение S с применением теоремы 1.

Из первого равенства находим y:

С учетом этого найдем выражение S через x:

Видно, что S будет наибольшим, если выражение примет наибольшее значение. Так как сумма положительных сомножителей и является постоянной, то z будет наибольшим по теореме 1 в этом случае, если выполняется равенство:

Решая это уравнение относительно x, находим

Теперь найдем y:

Пример 2. Даны две параллельные прямые и точка А между ними, служащая вершиной прямого угла прямоугольного треугольника, у которого две другие вершины лежат на каждой из прямых. Какое положение должен занимать треугольник, чтобы его площадь была наибольшей? (Рис. 4).

1. Пусть ДЕ – перпендикуляр к данным прямым и примем, что АД=a, AE=b, EC=x. Рассмотрим произвольный треугольник ABC, удовлетворяющий условию задачи.

2. Построим математическую модель задачи. Пусть EC=x.

Так как треугольник ABC – прямоугольный и проведен перпендикуляр, то и , поэтому и

Следовательно, треугольники EAC и DAB подобны, и поэтому

Это значит, что площадь треугольника выражается через x следующим образом:

Напомним, что a, b – постоянные, поэтому S будет наибольшим в том случае, если будет принимать наибольшее значение. Таким образом, требуется найти такое , при котором принимает наибольшее значение.

Произведение слагаемых и равно , поэтому не зависит от x. Применяя теорему 2, получаем: наименьшее значение площади будет при x=b, т. е. BD=a.

Таким образом, наибольшее значение площади будет тогда, когда треугольники ABD и AEC равнобедренные и прямоугольные.

Теоремы 1 и 2могут быть обобщены на большее число слагаемых (сомножителей).

Пример 3. Найти наибольшее значение функции , если.

Здесь в формулу входит произведение, поэтому естественна попытка применить теорему 1 или 3. Но попытка «в лоб» применить теорему 1 ( - не является постоянным) не дает результата. Не дает результата прямолинейная попытка применить теорему 3 (сумма x+x+x+a-x также зависит от x). Требуется таким образом преобразовать формулу для y, чтобы сумма сомножителей «стала» постоянной. Запишем y таком виде:

Функция принимает наибольшее значение в том случае, если функция примет наибольшее значение. Найдем сумму сомножителей: - не зависит от x, поэтому является постоянной. По теореме 3 функция

(а, значит, ) принимает наибольшее значение в том случае, если. Откуда легко получим, что это произойдет при.

Использование свойств квадратного трехчлена при решении оптимизационных задач

Если проанализировать решение заданий из предыдущего пункта, то можно заметить, что довольно часто оптимизируемая величина выражается через переменную по формуле:

В данном пункте я покажу, как можно использовать квадратную функцию для решения оптимизационных задач. Чтобы показать широкие возможности квадратных функций для решения оптимизационных задач, посмотрим, каким образом можно решить одну и ту же задачу: найти наименьшее значение функции

Вот только часть решений:

Так как при всех x, то

2. Находим корни трехчлена:. Известно, что парабола симметрична относительно вертикальной оси, поэтому абсцисса вершины есть среднее арифметическое чисел 1 и 5:

Так как старший коэффициент функции положителен, то функция примет наименьшее значение при Имеем

3. Для нахождения наименьшего значения функции исследуем функцию на возрастание и убывание. Оказывается: при функция убывает, а при возрастает, поэтому в точке x=3 принимает наименьшее значение.

4. Сформулируем и решим более общую задачу: найти множество значений функции

Отметим, что y входит во множество значений, если уравнение имеет хотя бы одно решение относительно x. Но относительно x это квадратное уравнение. Оно имеет решение тогда и только тогда, когда дискриминант D неотрицателен.

Убедитесь: 1) выполняется при всех x; 2) существует хотя бы дно такое x, что значение равно – 4. Возможны и другие методы решения.

Основные возможности квадратной функции, в плане решения оптимизационных задач, связаны с таким ее представлением:

В частности, из этого представления следует такое утверждение:

Теорема 1. а) Если , то функция при принимает наименьшее значение, равное ; б) Если , то функция при принимает наибольшее значение, равное.

Обратимся к примерам решения оптимизационных задач с помощью квадратного трехчлена.

Пример 1. На плоскости даны три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. Найти на прямой BC такую точку M, сумма квадратов расстояний которой до a, b, c была бы наименьшей.

Согласно общей схеме требуется ввести переменную и выразить оптимизируемую величину через переменную и данные задачи.

Опустим из точки A перпендикуляр AD на BC(рис. 5) и введем обозначения: AD=a, BD=b, DC=c (a, b, c – можно считать известными – это и означает, что точки A, B, и C заданы), MD=x,

Теперь легко находим:

Получаем выражение для y:

Вот и появилась квадратичная функция. Теперь требуется найти наименьшее значение y. Для этого можно сразу применить теорему 1, но можно поступить иначе.

Преобразуем полученную функцию:

При функция имеет наименьшее значение, равное

Довольно часто моделирование приводит к функции, которая не является квадратичной, но незначительное изменение модели приводит к тому, что удается использовать те методы, которые «работали» при наличии квадратичной функции. Обратимся к иллюстрациям.

Пример 2. Два тела двигаются по сторонам прямого угла с постоянными скоростями метров в секунду по направлению к вершине, от которой в начале движения первое находится на расстоянии a, второе на расстоянии b метров. Через сколько секунд от начала движения расстояние между ними будет наименьшим?

Пусть после начала движения прошло x секунд.

Тогда катет прямоугольного треугольника равен , а катет BC

Расстояние между автомобилями будет:

Требуется найти x, при котором значение является наименьшим. Полученная формула не является квадратичной. Как же найти наименьшее значение функции? Так как функция возрастает при , то функции и принимает наименьшее значение в одной точке. Вторая функция является квадратичной, поэтому без труда может быть найдено значение x, при котором вторая функция принимает наименьшее значение.

Зная x, мы найдем и наименьшее значение. Имеем:

Отсюда а наименьшее значение равно

Применение неравенства Коши для решения оптимизационных задач

Много довольно сложных оптимизационных задач может быть решено с помощью использования классического неравенства Коши.

Теорема 1. Если - неотрицательные числа, то , при это равенство выполняется тогда и только тогда, когда

Прейдем к иллюстрации.

Пример 1. Из всех равновеликих треугольников найти треугольник наименьшего периметра.

Пусть x, y, z– стороны треугольника, тогда имеет место неравенство:

Каждое из выражений в скобках положительно, поэтому к числам применим неравенство Коши при n=4.

Получаем:

Отсюда следует, что наименьшее значение периметра равно и достигается при x=y=z

Таким образом, среди всех равновеликих треугольников наибольший периметр имеет равносторонний треугольник.

Пример 2. Через точку M, лежащую внутри заданного угла, проводятся различные прямые. Определить ту из прямых, которая отсекает от сторон угла треугольник наименьшей площади.

Пусть AB - любая прямая, проходящая через точку M. Оптимизируемая величина – площадь треугольника AOB, обозначим ее через S.

Через M проведем параллельно OB, MK параллельно OA и обозначим KB через x. (Так как M - фиксированная точка, то отрезки DM и MK тоже фиксированы). Положим DM=a, MK=b (рис. 7).

Параллельность прямых - один из признаков того, что имеет смысл пытаться использовать подобие. Здесь имеются различные пары подобных треугольников. Рассмотрим треугольник MKB и AOB. Они подобны. Значит,. Отсюда

Теперь для S получаем формулу:

(Математическая модель задачи).

Рассмотрим функцию при. Эта функция и функция при принимает наименьшее значение в одной и той же точке.

Найдем значение x, при котором y принимает наименьшее значение. С этой целью применим к числам x и неравенство Коши:

Наименьшее значение y равно 2a (в принципе оно нам не нужно, ведь наша цель - найти прямую, проходящую через M) и принимается при тех x, при которых x и равны:

Значит, наименьшее значение функций принимается при x=a. Если вернуться к исходной геометрической задаче, то OK=a и MK – средняя линия треугольника AOB(напомним, прямая MK параллельна прямой OA). Таким образом, чтобы от сторон угла отсечь треугольник наименьшей площади, надо провести через точку M прямую так, чтобы ее отрезок, заключенный между сторонами угла, делится в точке M пополам.

Решая задачу на оптимизацию, следует быть готовыми к тому, что не удастся применить ту модель, которую мы построили (это может быть связано: с недостатком информации, незнанием дополнительных методов), или поиск ее решения может длиться долго.

Вернемся к задаче: найти наименьшее значение функции

Ясно, что наименьшее значение находится на отрезке , ибо на этом отрезке функция не положительна, а вне – положительна.

Рассмотрим на отрезке функцию. Так как и при , то.

Из определения z следует, что