Золотая пропорция в архитектуре

Я изучил понятие золотого сечения, способы его построения, применение в архитектуре античными ваятелями и их последователями в более позднее время.

Я был поражён исключительной пропорциональностью Парфенона и решил создать его макет, чтобы почувствовать своими руками каждую его пропорцию. Я убедился, что все разнообразия пропорций древних архитектурных сооружений, являются произвольными соотношений прямоугольника со сторонами 1:2.

А есть ли такие пропорции в архитектуре Российских храмов? Я с удовольствием рассматривал сделанный мною макет храма, и выяснил, что основные элементы архитектуры церкви Покрова на Нерли взаимосвязаны пропорциями и определяют геометрическую гармонию и красоту этого сооружения.

У меня возник вопрос : «А как проявляется «золотая пропорция» и её производные в архитектуре храмов города Иркутска?». Я рассмотрел планы первых этажей Спасской церкви и собора Богоявления, сделал необходимые измерения и, пришёл к выводу, что «золотая пропорция у нас есть!.

Я составил сравнительную характеристику пропорций, встречающихся в архитектуре города Иркутска. Особый интерес вызвало исследование размеров на чертежах Николо-Иннокентьевского храма, восстановленного Управлением ВСЖД осенью 2003 года на месте разрушенной церкви. И в этом новом здании есть золотая пропорция! В этом году я продолжил исследования и обнаружил золотую пропорцию в пределе Успения Пресвятой Богородицы.

А почему всюду в архитектуре используют золотую пропорцию? Ответ на этот вопрос был получен в результате обработки психологического задания-теста. Каждый из пятидесяти тестируемых рисовал на листочке отрезок, разделённый в некотором отношении, прямоугольник, овал, купол храма, окно в стене. В изображении «окна в стене» у 76% тестируемых присутствовала золотая пропорция. Значит, это действительно красиво, радует человека, необходимо ему.

Я сделал проект здания, где золотая пропорция встречается как можно чаще. Сделал чертежи фундамента, первого этажа и фасада здания, с привязкой к определённому земельному участку. Сделал макет спроектированного мною здания.

В этом году тема моей исследовательской работы - «Золотое сечение в архитектурных модулях». Я сделал обобщение «красивого», т. е. золотого сечения в античной архитектуре Парфенона, золотого сечения в древнерусской храмовой архитектуре церкви Покрова на Нерли и золотого сечения современного, спроектированного мною коттеджа. Разбив эти сооружения на модули, в каждом из которых, как и в целом архитектурном ансамбле, присутствует золотая пропорция, я спроектировал новый жилой комплекс, полностью подчинённый законам золотой пропорции, т. е. сохранивший в себе законы красоты и гармонии. Все эти модули можно сочетать и продольно, и ступенчато, и ассиметрично, в зависимости от ландшафта, плана застройки и художественного вкуса архитектора. Предлагаемый мною метод модульного проектирования будет способствовать превращению улиц родного города в красивые архитектурные ансамбли взамен унылой безликой современной архитектуры типовых коттеджей и домов – коробок.

ПОНЯТИЕ ПРОПОРЦИИ, ЗОЛОТАЯ ПРОПОРЦИЯ

С давних времён человек пользуется словом пропорция, что буквально означает “Вновь соотношение”. В математике называют равенство между отношениями четырёх величин a , b , c, d, т. е. a/b=c/d. Иначе можно сказать, что пропорция это мера соотношения симметричного и асимметричного.

Рассмотрим пример: Дан отрезок АВ, разделить его некоторой точкой Х на две части АХ=ХВ. Это деление уравновешенное, мёртвое.

Другой пример. Конфигурация не уравновешенная, беспокойная.

Только некоторая “Золотая середина”, которая не является геометрической серединой, обеспечивает желаемое единство симметрии и асимметрии. Из многих пропорций, которые использовал человек, есть одна, которую назвали “Золотой”, “Божественной”.

Задание:

Построить “Золотое” сечение отрезка AB (способ Клавдия Птолемея). С центром в точке B с радиусом АВ проводим полуокружность АЕС. Разделим радиус ВС пополам ,получим точку D.

Проведём дугу окружности с центром в точке D радиусом DE до пересечения с АВ. Точка Х и есть искомая точка. Докажем это. Пусть ВХ=x , тогда АХ=1-x (Т. К. АВ приняли за 1) =>x2 =1-x или x2+x-1=0.

D=1+4=5= (√5)2 x12 = (-1±√5)/2

Из двух значений корня возьмём (-1+√5)/2=(√5-1)/2 , т. к. другое значение является отрицательным.

Если АВ=1 , BD=1/2 , то по теореме Пифагора DE=√5/2. Значит и DX=√5/2 и действительно ВХ=√5/2-1/2=(√5-1)/2. Это именно то деление отрезка, о котором говорят, что оно радует глаз. Рассмотрим знаменитый звездчатый многоугольник, который в школе Пифагора являлся символом здоровья (пентаграмма).

Красота формы пентаграммы вытекает из внутренней красоты её математического строения. Прежде всего, следует заметить, что уже первыё этап его построения — деление окружности на 5 равных частей очень сложный и описывался во многих трудах великих математиков древних времён (Евклид, Птолемей, Дюрер).

И так, пусть окружность разделена на пять равных частей. Соединим последовательно точки деления, получим правильный пятиугольник, диагонали которого образуют пятиугольную звезду. Внутри этой пятиугольной звезды вновь образуется правильный пятиугольник, диагонали которого дают новую звезду и т. д.. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором угол A=36°, угол B=C=72° , как в писанные в окружность и опирающиеся на дуги в 72°(360i5) и 144° соответственно.

Но угол BCD=36° , поэтому CD является биссектрисой в треугольнике ABC и отсекает от него треугольник BCD подобно треугольнику ABC. Из подобия этих треугольников имеем

AB : BC=BC : DB. Так как BC=CD=AD , получаем пропорцию AB/AD=AD/DB т. е. AB так относится к большей части AD , как большая часть к меньшей (DB) т. е. точка D делит отрезок AB в золотом сечении.

Пусть AF=AD=1 , DB = x => AB=1+x приходим к уравнению (1+x)/1=1/x =>x2 + x – 1 = 0 (при A=1). Его корень x = (√5 – 1)/2 обозначим, φ т. е. (√5 – 1)/2 = φ. Так как 1 – φ = φ 2 , то x=BB=AE=EF==φ AD=DC=CB=AF==1. ED=EG==1-φ=φ2. Повторяя все эти рассуждения для треугольника DGH, где DG=φ получаем, что стороны внутренней звезды будут равны φ3, а стороны её внутреннего правильного пятиугольника – φ4 и т. д. Получили, что последовательность правильных пятиугольников и вписанных в них звёзд образуют ряд золотого сечения при a =1 — 1,φ,φ²,φ³,φ4,φ5. причём стороны правильных пятиугольников образуют ряд чётных степеней: —1,φ²,φ4, , а стороны звёзд - ряд нечётных степеней: —φ , φ3 , φ5,.

Продолжим стороны правильного пятиугольника до пересечения, то получим звезду, сторона которой x находится со стороной исходного пятиугольника AF =1 в золотом отношении т. е. 1/x=φ=>x=1/φ=(√5+1)/2=Ф. Ряд золотого сечения можно продолжать и в сторону увеличения, и в общем виде ряд золотого сечения будет иметь вид: ,Ф-3,Ф-2,Ф-1,Ф0,Ф1,Ф2,Ф3,. или ,φ3;φ2,φ,1,Ф Ф Ф2 Ф3. Этот ряд является геометрической прогрессией со знаменателем Ф и обладает уникальным свойством , аддитивным свойством : сумма двух соседних членов ряда равна следующему члену ряда : an-2+an-1=an или Фn-2+Фn-1=Фn.

Действительно т. к. 1+Ф=Ф2, то an-2+an-1=Фn-2+Фn-1=Фn-2(1+Ф)=Фn-2·Ф2=Фn=an. Чаще применяют возрастающую геометрическую прогрессию со знаменателем Ф≈1,618033988. И убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем φ=Ф-1≈0,618033988. И так, правильный пятиугольник и пятиконечная звезда обладают следующими свойствами :

1. Пересекающиеся диагонали правильного пятиугольника делят друг друга в золотой пропорции AB/AD=AD/DB=Ф.

2. Сторона правильного пятиугольника, сторона вписанной в него пятиконечной звезды и сторона образованного звездой внутреннего пятиугольника так же относятся к золотой пропорции AF/AE=AE/ED=Ф.

3. Стороны правильных пятиугольников и вписанных в них звёзд образуют ряд золотого сечения , который является бесконечно убывающей геометрической прогрессией со знаменателем φ и обладает аддитивным свойством (φn =φn+1+φn+2, n=0,1,2 ).

4. Отрезки пятиконечной звезды AB =Ф, AD=1, AE=φ и ED=φ2 Связанны между собой всеми видами «древних» средних , а именно:

AD=(AB+ED)/2 –арифметическое среднее; AD=√(AB·AE) и AE=√(AD·ED) – геометрическое среднее; AE=(2AB·ED)/(AB+ED) – гармоническое среднее. В общем случае для всех четырёх последовательных членов ряда φn, φn+1,φn+2,φn+3 нетрудно доказать справедливость соотношения φn+1=(φn+φn+3)/2=√(φn·φn+2), φn+2=(2φnφn+3)/(φn+φn+3)=√(φn+1·φn+3).

5. Из всех равнобедренных треугольников только треугольник, у которого углы при основании (72º) вдвое больше угла при вершине (36º), обладает особым свойством: биссектриса угла при основании делит противоположную сторону в золотом сечении. Такой треугольник (например, треугольник ABC) получил название '' возвышенного''.

ОСНОВНЫЕ ПРОПОРЦИИ В АРХИТЕКТУРЕ

Качественные возможности геометрической гармонии определяются количеством внутренних связей. Проведённый многими учёными анализ наиболее совершенных памятников архитектуры, отобранных историей общества как идеал красоты, показал, что членение во всех направлениях обнаруживает математические связи, выраженные отношением чисел 1,2 и √5. Например:

Основные пропорции в архитектуре

П1 П2 П3 П4

отрезок 50 30 60

овал 50 30 60

купол храма 50 34 68

окно в стене 50 38 76

Итак, наши лицеисты и работники лицея считают красивыми те фигуры, в которых есть золотая пропорция. Обратите внимание на диаграмму. Чаще всего встречается золотая пропорция в рисунке окна в стене. Очевидно, каждый хотел бы иметь прекрасное перед своими очами каждый день.

Вычислим среднее количество появления золотой пропорции.

Этот результат ближе к результату полученному при рисовании купола храма. Теперь я знаю почему так красивы храмы.

ОПИСАНИЕ ПРОЕКТА ДВУХЭТАЖНОГО КИРПИЧНОГО ДОМА И ПРИУСАДЕБНЫХ СТРОЕНИЙ

ФУНДАМЕНТ

Построим прямоугольник АЕМД – это прямоугольник с отношением сторон. Из точки А, как из центра, проведём окружность радиусом АС равным ( - длина диагонали построенного прямоугольника) до пересечения с продолжением стороны АВ. Получим точку Е.

На стороне АЕ в право и влево построим два квадрата со стороной АГ. Продолжим сторону ВС до пересечения с прямыми КЛ и НГ. В полученном прямоугольнике можно найти все пропорции, в том числе и золотые.

Прямоугольники ДСОГ и ДСИЛ – прямоугольники золотого сечения,

Получили план фундамента жилого двухэтажного коттеджа. К дому примыкает зимний сад с фонтаном.

Газоны – прямоугольники СС1Д1Д и АА1B1B - прямоугольники золотого сечения. LL1N1N иPP1K1K – прямоугольники золотого сечения. LN2R1R и KMM1E – прямоугольники золотого сечения.

=0,618.

B1BG1G – прямоугольник золотого сечения (вход).

Постройки на территории тоже прямоугольники золотого сечения (теплицы – т. к. они равны прямоугольникам ЛИИ1L и ДСОГ, клумбы:

На фасаде здания примем высоту жилого корпуса за =1. Тогда высота зимнего сада равна *0,618 = φ2. Высота входа равна φ 3. Высота теплиц равна φ4 Высота внутренней части клумбы равна φ*( 0,618)=φ6. φ7=φ * (0,618)6 т. д. Получили: что φ7+φ6 = φ5, φ6+φ5=φ4, , ,φ5 +φ4. = φ3 и т. д.

ОПИСАНИЕ МАКЕТА.

В этом году тема моей научно-исследовательской работы – «Золотое сечение в архитектурных модулях». Я сделал обобщение «красивого», т. е. золотого сечения в античной архитектуре Парфенона, золотого сечения в древнерусской храмовой архитектуре церкви Покрова на Нерли и золотого сечения современного, спроектированного мною коттеджа.

Разбив эти сооружения на модули, в каждом из которых, как и в целом архитектурном ансамбле, присутствует золотая пропорция, я спроектировал новый жилой комплекс, полностью подчинённый законам золотой пропорции, т. е. сохранивший в себе законы красоты и гармонии.

Парфенон, разбитый на макетные модули, служит парадным входом на первый этаж и эркером второго этажа жилого комплекса, построенного по принципу русской избы - по кресту.

Этот способ хорош в наши лютые морозы – для лучшего теплового баланса в компактной архитектуре.

Четыре модуля церкви – это четырёхэтажные строения, как бы с рвущимися ввысь продольными окнами, расположены по четырём сторонам ещё одного, центрального модуля церкви.

Этот центр – и есть главная изюминка композиции – зимний сад. Сверху его освещает и греет наше щедрое сибирское солнце и сеть солнечных батарей на крыше, с боков (а все четыре стены – это внутренние стены храмового модуля) греет жилой комплекс.

Внутренние углы храмового модуля также украшены зимними садами и прогулочными лоджиями. Я сделал простейшую композицию «сибирской квадратной избы».

Но все эти модули можно сочетать и продольно, и ступенчато, и ассиметрично, в зависимости от ландшафта, плана застройки и художественного вкуса архитектора (рис. 19-Б,В,Г,Д,Е,Ж,И,К и пр. ).

Предлагаемый мною метод модульного проектирования будет способствовать превращению улиц родного города в красивые архитектурные ансамбли взамен унылой безликой современной архитектуры типовых коттеджей и домов – коробок.