Изучение особенностей записи степени числа “2” в двоичной системе счисления

В своей статье я пронаблюдал некоторые особенности перевода некоторой группы чисел (которой является последовательность чисел, являющихся степенью числа “2”) из десятичной в двоичную систему счисления. Были обнаружены и проанализированы некоторые нюансы, возникающие при этой операции. Также была предложена и доказана отдельная теорема, на основе которой были сделаны соответствующие выводы.

В своей работе я руководствовался необходимостью упростить перевод больших чисел, входящих в вышесказанную группу, из десятичной системы счисления в двоичную.

Я считаю, что моя работа будет особенно интересна учащимся старших классов, поскольку материал самого доклада позволяет быстро и эффективно совершать различные операции и вычисления, что позволяет сэкономить время при выполнении контрольных работ.

Частный вид теоремы и доказательство

Как известно, число “два” в двоичной системе счисления записывается таким образом:

Теорема: в двоичной системе счисления число, представляющее собой n-ую степень числа “два” записывается как сумма двух чисел, одно из которых единица, а другое – число, записываемое одними единицами, общее количество которых равно n:

Доказательство: так как при вычислении суммы чисел в правой части данного уравнения происходит преполнение разряда, то все единицы обращаются в нули и первой цифрой получившегося числа становится число один, после которого идёт ряд из n нулей:

Производим перевод получившегося числа в десятичную систему счисления: для этого первую цифру с конца умножаем на 20, вторую цифру с конца - на 21 и т. д. , а затем складываем все произведения и получаем результат:

Мы видим, что в ноль обращаются все произведения, кроме последнего, которое и равно 2n. Теорема доказана.

Общий вид теоремы, созданный на основе частного и доказательство

Теперь возникает вопрос: можно ли таким образом переводить в двоичную систему счисления числа, которые выглядят так:

и справедлива ли для них вышеописанная теорема?

Попробуем это сделать:

Теорема: любое число, представляющее собой число “два” в степени n и возведенную в степень m, в двоичной системе счисления записывается как сумма двух чисел, одно из которых единица, а другое состоит из одних единиц, количество которых – n*m.

Доказательство:

Запишем то, что требуется доказать:

Вычислим сумму чисел в правой части уравнения: при сложении происходит переполнение разряда и все единицы обращаются в ноль, а получившееся число записывается в таком виде:

Производим перевод по аналогичной схеме: каждую цифру получившегося числа (назовём его p) умножаем на число q, которое равно месту, занимаемому цифрой в числе p с конца, причём нумерацию начинаем с нуля. Всего цифр в числе n*m+1(количество единиц было n*m, при сложении они обратились в нули и вперёд вышла ещё одна цифра - единица).

Получившиеся произведения складываем и получаем результат:

Получаем равенство: (2n)m=2nm

А так как при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, то (2n)m=2nm. Теорема доказана.

Любое число, представляющее собой число “два” в степени n и возведенное в степень m, в двоичной системе счисления записывается как сумма двух чисел, одно из которых единица, а другое состоит из одних единиц, количество которых – n*m.

5. Применение теоремы и её значение

Напоследок хочу сказать несколько слов о полезности моей теоремы. Теперь стало удобнее переводить числа из десятичной в двоичную систему счисления. Пример: как число 864 запишется в двоичной системе счисления?

Или как быстро записать число 10241024 – 1 в двоичной системе счисления?

А ведь это в десятки тысяч раз быстрее, чем высчитывать всё это сначала в десятичной системе счисления, потом производить тысячу делений “уголком”, затем записывать нули и единицы и потом делать проверку! Конечно, можно многое посчитать на калькуляторе, но для огромных чисел у калькулятора просто не хватит места на дисплее для отображения результата операции.

Я думаю, что такой метод будет использоваться старшеклассниками и студентами при решении задач подобного типа.