Графический метод решения уравнений вида. (задача о количестве корней данного уравнения)

Рассмотрим функцию.

Это функция является обратной тригонометрической функции , заданной на отрезке. Чтобы построить график данной функции, нужно выполнить симметрию графика в I и IV четвертях (на ) относительно прямой.

Укажем некоторые свойства данной функции:

Функция является нечетной, так как , поэтому ее график симметричен относительно начала координат

На своей области определения функция является непрерывной

Функция является возрастающей. (Ниже в своей работе я привожу доказательство данного свойства с использованием производной)

II. Решение задачи о количестве корней уравнения начнем с рассмотрения частных случаев, которые различаются видом линейной функции, стоящей в правой части уравнения.

Количество корней уравнения соответствует количеству точек пересечения графиков функций и. ( Решением уравнения будут являться Чтобы найти абсциссы этих точек.

График и свойства функции рассмотрены выше, поэтому далее пояснения будут касаться только графика линейной функции.

• Уравнение вида.

Графиком функции является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку с координатами.

1. Если , то точек пересечения нет, так как область значений.

2. Если , то одно решение, так как функция непрерывна и монотонна на отрезке

• Уравнение вида.

Графиком функции является прямая, проходящая через точку (0;0) и имеющая угловой коэффициент.

1. При прямая приобретает вид

Графики данных функций имеют три общие точки:

В том , что числа -1, 0, 1 являются корнями данного уравнения можно убедиться непосредственной проверкой. Докажем, что других корней уравнение не имеет.

Исследуем функцию с помощью первой и второй производных.

f`(x) = , f”(x) =.

На имеем f(x) >0 и f”(x) >0, значит f(x) возрастает выпуклостью вниз , т. е. все точки графика лежат ниже секущей , и поэтому пересечений графиков рассматриваемых функций не будет

Аналогично на имеем f(x) >0 и f”(x) < 0 , а значит, возрастает выпуклостью вниз, и здесь тоже пересечений не будет.

Сделаем вывод:

Уравнение имеет три корня: , ,.

2. При прямая приобретает вид , причем эта прямая будет являться касательной к графику в точке (0; 0). Для доказательства этого факта найдём уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой.

Пусть – абсцисса точки касания.

– уравнение касательной в общем виде

Если х0 = 0, то касательная к графику функции будет иметь вид у = х.

Теперь рассмотрим вопрос о количестве точек пересечения прямой у = х и графика функции. Решение х = 0 будет единственным. Докажем это.

Рассмотрим функцию. Эта функция выражает зависимость расстояния между графиками «по вертикали». Так как f`(x) = принимает значение 0 только при х = 0 и эта же точка является нулем функции , то расстояние между функциями в точке х = 0 будет нулевым, т. е. графики пересекаются. А при имеем f`(x)>0, то есть f(x) возрастает, а следовательно расстояние между графиком и прямой у = х увеличивается, а значит, других точек пресечения нет. Аналогично можно доказать, что при точек пересечения тоже нет. (Такой вывод модно было бы сделать на основе нечетности обеих функций)

Сделаем вывод:

Уравнение имеет единственный корень:

3. При графики будут иметь 3 точки пересечения.

Так как касательная – предельное положение секущей, при k > 1, прямая и арксинус будут иметь точку пересечения на интервале , а так как обе функции ( и у=кх) являются нечетными, следовательно при уравнение будет иметь решением на ( -1 ; 0).

Сделаем вывод:

Уравнение , где имеет три корня, одним из которых является 0, а два других – противоположными числами.

4. При уравнение будет иметь единственное решение х = 0, так как на промежутке функция выпукла вниз и при х = 1 имеем kx

>, а =.

Аналогично для промежутка

Сделаем вывод:

Уравнение , где имеет единственное решение х = 0.

5. При k< 1 исходное уравнение будет имеет 1 решение, так как

=. При => при k < 1 получим > 0, следовательно, расстояние между графиками функций будет увеличиваться, а значит, точек пересечения не будет.

Сделаем вывод:

Уравнение , где имеет единственное решение х = 0.

• Уравнение вида.

1. Для начала найдём такое х0>0, что если провести через x0 касательную к графику , то она пройдёт через точку. Для этого подставим координаты данной точки в уравнение касательной, выведенное выше. Получим,

Для нахождения приближенного значения я оставил программу, которая с заданным мною шагом вычисляет разность между левой и правой частью данного уравнения. Вблизи наименьшего значения этой разности я еще уменьшил шаг вычислений. (программа приведена в приложении).

В результате было получено значение х0 0,688887

Тогда тангенс угла наклона прямой равен а свободный член.

Сделаем вывод:

При прямая и арксинус будут иметь 2 корня.

При решением уравнения будут 3 корня.

При точек пересечения не будет.

2. Найдём зависимость b(k).

Касательная с угловым коэффициентом ( где см. выше ) будет иметь точку касания, расположенную правее точки х0 , т. е. в некоторой точке x>x0.

Найдём такое b, при котором прямая y=kx+b при заданном k проходит через точку

Таким образом при пересечением прямой и арксинуса будут две точки.

А так как график симметричен относительно точки начала координат, то в пересечении будут две точки и для

Сделаем вывод: при и прямая и арксинус будут две точки при и точек пересечения не будет.

при и в пересечении будет 1 точка.

при и уравнение будет иметь всего 1 решение.

3. Осталось рассмотреть случай, когда касательная имеет угловой коэффициент (где см. выше ).

В этом случае прямая будет иметь точку касания, расположенную левее точки х0 ( в силу нечетности будем рассматривать неотрицательное значение х)

Сделаем вывод: при и прямая и арксинус будут три точки при и точек пересечения не будет.

при и в пересечении будет 1 точка.

при и уравнение будет иметь всего 2 решение.

В общем случае решение уравнения a*arcsin(bx+c)+d=px+q сводится к уже рассмотренным выше случаям так как при сдвиге графика arcsinx вдоль оси OX или OY коэффициент b будет меняться на модуль сдвига графика, при растяжении или сжатии будет модифицироваться коэффициент k.

Решение уравнения a*arccos(bx+c)+d=px+q тоже можно рассмотреть как частный случай рассмотренного выше уравнения, так как arccos(α)= arcsin(α)