Значение кривых в математике. Часть 2

Продолжение

Применение кривых второго порядка

Часто системы уравнений решают графическим способом. Далее будет написано, как этим способом можно найти такое точное значение, какое вам нужно.

Пусть дана система двух уравнений с двумя неизвестными:

где и - многочлены от x и y. Каждое уравнение системы есть уравнение некоторой кривой. Построим на одном чертеже обе кривые по их уравнениям.

Координаты точек пересечения этих кривых удовлетворяют обоим уравнениям.

Полученные графическим методом решения системы будут приближёнными. Для получения из них более точных решений можно воспользоваться способом Ньютона. Для разъяснения способа Ньютона будем считать, что выше названные многочлены представляют собой многочлены второй степени. Рассуждения, которые мы проведём, будут справедливы также и в тех случаях, когда многочлены от x и y будут многочленами более высоких степеней. Итак,

Так как есть приближённое решение системы, то после подстановки в систему вместо неизвестных x1 и y1 мы в левых частях не получим нулей. Пусть

Найденные нами значения x1 и y1 отличаются от точных значений неизвестных на величины h и k и, следовательно

Подставим в систему вместо x и y их значения, получим

Мы получим для h и k систему.

Способ Ньютона состоит в том, что вместо решения системы решается другая, более простая система. Дело в том, что поправки h и k при аккуратном построении графиков будут малы по абсолютной величине, и поэтому величины h2, k2, hk будут столь малы по абсолютной величине, что при приближённом решении ими можно пренебречь.

Чем меньше окажутся по своей абсолютной величине числа и , тем меньше абсолютные величины поправок h и k.

Итак из системы отбрасываются члены, содержащие множителями квадраты чисел h и k и их произведение. Тогда для отыскания h и k нужно решить систему уравнений первой степени:

Конечно, найденные из системы значения h и k будут только приближёнными их значениями.

Пусть и будут найденные из системы приближённые значения h и k. Тогда вторыми приближенными значениями для x и y будут соответственно числа и , т. е.

Подставим в систему вместо x и y их значения. Мы опять в левых частях уравнений не получив нулей, а получим некоторые числа и. Эти числа уже будут меньше чисел и по абсолютной величине.

Найденные нами значения x2 и y2 отличаются от точных значений x и y на величины h1 и k1, которые мы будем искать так же, как искали h и k. Мы теперь получим систему

Решив систему, найдём третье приближение для x и y:

Так будем поступать и дальше, пока не получим решение с желаемой точностью.

Решим один пример этим способом.

Первое уравнение системы – окружность. Второе – парабола. Они пересекаются в точках (3; 2) и (-0,5; 3,6).

Подставим в систему вместо неизвестных найденные из графиков значения:

1) х = 3; у = 2 удовлетворяют системе;

2) числа -0,5 и 3,6 системе не удовлетворяют;

(-0,5)2 + (3,6)2 – 13 = 0,21,

(-0,5)2 – 3(-0,5) + 2 – 3,6 = 0,15, т. е. ;.

Применим ко второму решению способ Ньютона. Пусть h и k – первые поправки для х и у. Тогда х = -0,5 + h, у = 3,6 + k.

Подставим в систему вместо х и у их значения. После того, как мы отбросим члены, содержащие h2, k2, h, k, получим систему уравнений:

Решив эту систему, получим для h и k приближённые значения: ;.

Вторыми приближёнными для х и у будут соответственно х2 = -0,46, у2 = 3,58. Подставляем эти значения в систему. Первое уравнение равно 0,028, второе – 0,012. Пусть h1 и k1 – вторые поправки для х и у. Тогда х = -0,46 + h1, у = 3,58 + k1.

Подставим в систему вместо неизвестных их значения. После того, как мы отбросим члены, содержащие h12, k12 и k1, получим систему уравнений первой степени:

Решив эту систему уравнений, получим для h1 и k1 приближённые значения:

Третьими приближёнными значениями дл x и у будут соответственно -0,456 и 3,577.

Так можно продолжать до бесконечности, пока не будет достигнут желаемый результат.

Окружность

Составить уравнение окружности, описанной около треугольника, стороны которого заданы уравнениями 9х – 2у – 41 = 0, 7х + 4у + 7 = 0, х – 3у + 1 = 0.

Найдём координаты вершин треугольника, решив совместно три системы уравнений:

Получим А(3, -7), В(5, 2), С(-1, 0).

Пусть искомое уравнение окружности имеет вид (х-а)2 +(у - b) = r2. Для нахождения а, b и r напишем три равенства, подставив в искомое уравнение вместо текущих координат координаты точек А, В и С:

(3 - а)2 + (-7 - b)2 = r2; (5 - а)2 + (2 - b)2 = r2; (-1 - а)2 + b2=r2.

Исключая r2, приходим к системе уравнений:

(3 - а)2 + (-7 - b)2 = (5 - а)2 + (2- b)2,

(3 - а)2 + (-7 - b)2 = (-1-а)2 + b2, или 4а + 18b = -29 и 8а -14b = 57. Отсюда а = 3,1, b = -2,3. Значение r2 находим из уравнения (-1 - а)2 + b2 = r2, т. е. г2=22,1; уравнение искомой окружности:

(х - 3,1)2 + (у + 2,3)2 = 22,1.

Составить уравнение окружности, проходящей через точки А (5; 0) и В (1; 4), если центр ее лежит на прямой х+у – 3 = 0.

Найдем координаты точки М-середины хорды АВ:. хМ = (5 + 1)/2, уМ = (4 + 0)/2, т. е. середина хорды АВ - точка М(3; 2). Центр окружности должен находиться на перпендикуляре, восставленном из середины хорды, поэтому уравнение этого перпендикуляра можно записать в виде у – 2 = k(х-3), где угловой коэффициент k найдется из условия перпендикулярности с прямой АВ, уравнение которой х + у – 5 = 0.

Следовательно, угловой коэффициент перпендикуляра k = 1, а уравнение этого перпендикуляра у – 2 = 1(х - 3), или х – у - 1 = 0.

Центр окружности С лежит на пересечении данной прямой с перпендикуляром, т. е. координаты центра определяются из решения системы уравнений х + у – 3 = 0 и х – у – 1 = 0. Отсюда х = 2, у = 1, т. е. С(2; 1).

Радиус окружности равен длине отрезка СА. Итак, уравнение окружности:

(х - 2)2 + (у - 1)2= 10.

Найти геометрическое место середин хорд окружности х2 + 4(у + 1), проведенных через начало координат.

Уравнение хорд имеет вид y = kx. Выразим координаты точки пересечения хорд с окружностью через k, для чего решим систему у = kx и х2+у2 - 4у - 4 = 0. Получим квадратное уравнение х2 (k2+ 1) - 4kx – 4 = 0.

3десь x1 + x2 =4k/(1 + k2). Но полусумма этих абсцисс дает абсциссу середины хорды, т. е. х = 2k/(1 + k2), а ордината середины хорды у = 2k2/(1+k2). Последние два равенства являются параметрическими уравнениями искомого геометрического места точек.

Исключив k, найдём уравнение искомого геометрического места: х2 + у2 - 2у = 0.

Эллипс

Выясним, какую фигуру представляет собой график уравнения х2 + 4у2 =16. Это уравнение можно переписать в виде х2 + (у/0,5)2 = 16.

График этого уравнения можно получить из графика окружности х2 +у2 =16 с помощью сжатия к оси х в 2 раза. В результате преобразования окружность х2+ у2=16 преобразуется в кривую, которую называют эллипсом.

Вообще окружность, рассмотренная выше – это частный случай эллипса, и, следовательно, все задачи на окружность характерны и для эллипса.

Гипербола

Даны три точки А(-1, 0) и В(2, 0). Точка М движется так, что в треугольнике АМВ угол В остаётся вдвое больше угла. Найти уравнение кривой, которую опишет точка М.

Взяв точку М с координатами х и у, выразим tgВ и tgА через координаты точек А, В и М: tgВ = у/(2 – х), tg А = у/(х + 1).

По условию задачи составляем уравнение tg В = tg 2А (поскольку В = 2А), или tg В =. Подставив в это равенство найденные выражения tg В и tg А через координаты точки М, приходим к уравнению:

; после сокращения на у (у ≠ 0) и упрощения получаем х2 – у2/3 = 1. Искомая кривая-гипербола.

Эксцентриситет гиперболы равен. Составить простейшее уравнение гиперболы, проходящей через точку М ().

По определению эксцентриситета можем написать равенство с/а = , или с2 = 2а2. Но с2 = а2 + b2, следовательно,. а2 + b2 = 2а2, или а2 = b2, т. е. гипербола равнобочная.

Другое равенство имеем из условия нахождения точки М на гиперболе, т. е. = 1. Таким образом, уравнение искомой гиперболы имеет вид х2-у2= 1.

Парабола

Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Оу и отсекающей на биссектрисе Ⅰи Ⅲ координатных углов хорду длиной.

Искомое уравнение параболы х2 = 2ру, уравнение биссектрисы у = х. Следовательно, точками пересечения параболы с биссектрисой будут О(0, 0) и М(2р, 2р).

Длина хорды определяется как расстояние между двумя точками: , откуда 2р = 8. Следовательно, уравнение искомой параболы имеет вид х2 = 8у.

Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох, с вершиной в начале координат, если длина некоторой хорды этой параболы, перпендикулярной к оси Ох, равна 16, а расстояние этой хорды от вершины равно 6.

Поскольку известны длина хорды и расстояние её от вершины, то, следовательно, известны координаты конца этой хорды – точки М, лежащей на параболе. Уравнение параболы имеет вид у2 = 2рх; полагая в нём х = 6, у = 8, находим 82 = 2р6, откуда 2р = 32/3.

Таким образом, уравнение искомой параболы у2 = 32/3х.

Алгебраические кривые. Теория и применение

Кривые третьего порядка

Локон Аньези

Уравнение кривой: (х2 + 4а2)у – 8а3 = 0, где а > 0. Асимптота: у = 0. Радиус кривизны в вершине А(0; а): RА =. Точки перегиба:. Угловые коэффициенты касательных в точках перегиба: ,. Площадь между кривой и асимптотой:.

Сформулируем задачу на эту кривую.

Произвольный луч ОА пересекает окружность х2 + у2 = 2ау и прямую у = 2а в точках А и В, из которых проведены прямые, параллельные соответственно оси Ох и оси Оу до пересечения в точке М. Определить геометрическое место точек М.

Обозначив через t угол луча ОА с Ох, найдём ,. Исключив t, получим. Это уравнение локона.

Строфоида

Слово «строфоида» происходит от греческого слова - «поворот». Есть и более изящное толкование: «строфос» по-гречески означает «пояс с петлей для меча». Впервые строфоиду исследовал в 1645г. Эванджелиста Торричелли (1608 – 1647). Позднее эту замечательную кривую изучали И. Барроу (учитель И. Ньютона) и другие математики.

Каноническое уравнение кривой в прямоугольных декартовых координатах: , а в полярных: , где а = расстояние от О (полюса) до РQ – асимптоты строфоиды, т. е. ОR = ОS = а. Строфоиду можно получить следующим образом. Пусть дана прямая ОY и фиксированная вне неё точка S, через которую проходят все возможные лучи SК, пересекающие прямую ОY. Если отложить на луче по обе стороны от точки К отрезки КМ = КМ´ = ОК, то множество точек М и М´ при вращении луча SК вокруг точки S и есть строфоида.

Есть и другие способы построение строфоиды. Строим параболу и множество окружностей – центр каждой из них принадлежит параболе; все они проходят через точку пересечения директрисы параболы с её осью. Кривая, касающаяся всех этих окружностей, и есть строфоида.

Следующий способ построения – кинематический; он использует подвижный треугольник РQR, у которого (R = 60º. На плоскости задаётся прямая и точка А. Расстояние АВ точки А от прямой равно QR. Когда точка R скользит по прямой так, что точка А остаётся принадлежащей большему катету, вершина прямого угла Q описывает «нижнюю» дугу строфоиды. Взяв больший по размерам прямоугольный треугольник, получаем соответственно более протяжённую дугу строфоиды.

Декартов лист

Уравнение кривой: х3 + у3 – 3аху = 0. Параметрическое уравнение кривой: х = 3аt/(1 + t3), у = 3аt2/(1 + t3). Если обозначить через М(t) точку кривой, соответствующую значению параметра t, а через φ(t) угол между МО и положительным направлением оси х, то будет справедливо равенство tgφ(t) = t. Начало координат О – узловая точка кривой. При -1< t < +∞ кривая проходит из второго квадранта через точку (0, 0) (t = 0) и А в точку (0, 0) (t ( +∞); при -∞ < t < -1 кривая, начинаясь в точке (0, 0), располагается в четвёртом квадранте. Оси координат – касательные к кривой в точке (0, 0). Радиус кривизны в точке (0, 0) обеих ветвей кривых: R0 = 3а/2. Уравнение асимптоты: х + у + а = 0. Вершина: А(3а/2, 3а/2). Площадь петли: S1 = 3а2/2 равна площади между кривой и асимптотой.

Трисектриса Маклорена

Плоская кривая третьего порядка. Уравнение в декартовой системе координат: х(х2 + у2) = а(у2 – 3х2). Кривая симметрична относительно Ох. Вначале координат – узловая точка с касательными. Вершина А(-3а; 0). Асимптота х = а. Впервые кривая изучена К. Маклореном (1742) в связи с задачей о трисекции угла.

Циссоида

Уравнение в декартовой системе координат:.

Согласно легенде, на острове Делос жители страдали от мора, посланного им богами; по предсказанию оракула, богов можно было умиротворить, удвоив объем жертвенника, имевшего форму куба. Суть задачи сводилась к определению ребра куба, объем которого был бы в два раза больше объема данного куба.

В поисках решения задачи об удвоении куба, древние греки обратились к циссоиде. Ее можно построить следующим образом. Возьмем окружность (называемую производящей) с диаметром ОА = 1 и касательную АВ к ней. Через точку О проведем луч ОВ и на нем отложим отрезок ОМ = ВС. Построенная таким образом точка М принадлежит циссоиде. Если взять на касательной вместо точки В любую другую, то мы получим еще одну точку циссоиды и т. д.

Греки рассматривали лишь ту часть циссоиды, которая находится внутри производящего круга. Вместе с дугой окружности производящего круга эта часть образует фигуру, напоминающую лист плюща, отсюда происходит название циссоиды греческого «циссос» - плющ).

Циссоида симметрична относительно оси абсцисс имеет бесконечные ветви; касательная к производящей окружности служит для нее асимптотой.

Открытие циссоиды для целей решения делосской задачи приписывается Диоклесу (III в. ). Ясно, что графическое решение задачи должно свестись к построению. Заметим, что прямая у = kх отсекает от касательной к образующей окружности отрезок AD = k и пересекает циссоиду в точке М(х; у), где.

Это уравнение можно рассматривать как уравнение прямой, проходящей через (1, 0) и отсекающей на оси ординат отрезок ОС = k3. Отложил оси ординат отрезок ОС = 2, соединим точку С с точкой А(1, 0), а точку пересечения прямой СА с циссоидой соединим с точкой О и продолжим полученный отрезок до пересечения с касательной.

Полученный отрезок AD будет равен. Таким же образом свою задачу решил и Диоклес.

Офиурида

Это слово произошло от греческого - змея и - хвост. Плоская алгебраическая кривая третьего порядка. Уравнение в декартовых координатах: х(х2 + у2) = у(ау – bх)

Офиурида имеет в начале координат узловую точку с касательными у = 0 и у = bх/а. Асимптота х = а.

Полукубическая парабола

Плоская кривая, уравнение которой в прямоугольной декартовой системе имеет вид: у3 = ах3. Уравнение в параметрической форме: х = t2, у = аt3. Парабола Нейля имеет точку возврата первого рода в начале координат. Ось Ох является касательной в начале координат. Парабола Нейля не является параболой.

Кривые четвёртого порядка

Эпициклоиды. Кардиоида

Рассмотрим ситуацию, при которой окружность катится без скольжения по другой окружности с внешней стороны. Любая точка на окружности, вне неё или внутри окружности описывает траекторию, называемую эпициклоидой. Общее параметрическое уравнение:

где R – радиус опорной окружности; m = r/R – отношение радиуса r подвижной окружности к радиусу R опорной; h – расстояние точки, описывающей кривую, от центра подвижной окружности (h может быть как меньше, так и больше r); параметр t моделирует время.

Теперь рассмотрим частный случай эпициклоиды – кардиоиду, когда точка лежит на окружности и радиус опорной окружности равен радиусу катящейся окружности.

Полярное уравнение: Уравнение в декартовых координатах: В параметрической форме:. Вершина с координатами (2а; 0). Площадь: (шестикратная площадь круга). Длина кривой: 8а. Кардиоида также частный случай улитки Паскаля. Название кривой произошло от двух греческих слов kardia – «сердце» и eidos – «вид».

точка А – полюс кардиоиды. Далее покажем некоторые способы построения и свойства кривой.

Касательная к кардиоиде в произвольной её точке М проходит через точку Р подвижной окружности, диаметрально противоположную точке её касания Q с неподвижной.

Ввиду того, что (QМ и (QА конгруэнтны, точка М симметрична полюсу А относительно общей касательной (Q подвижной и неподвижной окружностей. Следовательно, окружность(Q, (QА() пройдёт через точку М. Поскольку угол РМQ – прямой, касательная к кардиоиде РМ будет также касательной к окружности (Q, (QА(). Поэтому кардиоида может быть получена как огибающая семейства окружностей (Q, (QА() при всевозможных положениях точки Q на неподвижной окружности.

Длина отрезка А( = 0,5АМ. Поэтому точка ( описывает кардиоиду, гомотетичную той, которую мы только что рассмотрели, с центром гомотетии в точке А и коэффициентом гомотетии, равным 0,5. Чтобы начертить «малую» кардиоиду, можно воспользоваться угольником, один катет которого во всех его положениях проходит через точку А, а второй касается неподвижной окружности. Тогда вершина прямого угла ( опишет эту кардиоиду.

Пусть АМ ( (0, а) = Т. В четырёхугольнике ОО1МТ две стороны параллельны, две другие стороны конгруэнтны. Значит, ОО1МТ - равнобедренная трапеция или параллелограмм. Из МО1Q = АОQ следует, что ОО1МТ – параллелограмм. Поэтому кардиоиду можно строить, откладывая на прямой АТ от точки Т отрезок ТМ длины ОО1 = 2а. Откладывая его в обе стороны от Т, мы получим всю кардиоиду.

Кардиоида используется как линия для вычерчивания профилей, если требуется, чтобы скользящий по профилю стержень совершал гармонические колебания. При этом скорость поступательного движения стержня будет изменяться без скачков.

В «природе» эту кривую можно увидеть. В чашку налит чёрный кофе. На ободок чашки светят точечным источником света и на поверхности кофе можно увидеть контур кардиоиды.

Рассмотрим задачу по кардиоиде.

Задача: составить уравнение кардиоиды в полярных координатах.

Решение.

С1 – первоначальное положение центра катящейся окружности;

А – первоначальное положение точки, описывающей искомую линию (точка А диаметрально противоположна точке В, где в начальный момент соприкасаются окружности);

С2 – центр неподвижной окружности;

С3 – центр катящейся окружности в новом положении;

М – новое положение точки А, описывающей искомую линию.

(После перемещения окружности С1 в положение С3 точка Р займёт положение Q. Точка В займёт положение D, причём, поскольку качение происходит без скольжения,. )

На чертеже показано положение полюса О и полярной оси Ох. Требуется составить уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки М() искомой линии.

Нетрудно видеть, что (МС3Q = (ОС2Q, в силу чего четырёхугольник ОС2С3М является равнобедренной трапецией с меньшим основанием С2С3 = а; С2С2( и С3С3( - перпендикуляры, опущенные из точек С2 и С3 на прямую ОМ.

Лемниската Бернулли. Овалы Кассини

Овалы Кассини. Уравнение кривой: (х2 + у2)2 – 2с2(х2 – у2) – (а4 – с4), в полярных:. Геометрическое определение: точка М плоскости лежит на кривой, если произведение её расстояний до фиксированных точек-фокусов, при этом фокусы имеют координаты (с, 0) и (-с, 0). Форма кривой зависит от отношения а/с.

При с = а данная кривая превращается в лемнискату.

Лемниската – кривая, у которой произведение расстояний каждой ее точки до двух заданных точек-фокусов постоянно и равно квадрату половины расстояния между ними. Эта линия изображена на рисунках, по форме напоминает восьмерку. Ее автор - швейцарский математик Якоб Бернулли (1654-1705) дал этой кривой поэтическое название «лемниската».

В античном Риме так называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх.

Предложим два способа построения лемнискаты. Один из них - с помощью двух угольников и нарисованной на листе бумаги окружности. Вершина острого угла одного угольников находится в центре окружности вершина прямого угла другого - на окружности. Другой способ построения лемнискаты Бернулли - с помощью шарнирного устройства, две точки которого закреплены на плоскости.

Уравнение в полярных координатах: p2 = 2а2 cos 2φ. №Уравнение в декартовых: (х2 + у2)2 – 2а2(х2 – у2) = 0. Начало координат – узловая точка с касательными х = ±у, она же точка перегиба. Радиус кривизны: r = 2а2/(3ρ). Площадь каждой петли = а2.

Конхоида Никомеда

Для построения конхоиды выберем на плоскости прямую и точку О, отстоящую от нее на расстояние а. Проведем через точку 0 луч, пересекающий прямую в некоторой точке N: точки М1 и М2, отстоящие от точки N на заранее выбранное расстояние 1, и будут точками конхоиды при произвольных направлениях луча ОN. Отсюда вытекает уравнение конхоиды: в полярных координатах: ρ= ± 1 + а/соsφ. Ее уравнение в декартовых координатах имеет вид: (х - а)2(х2 + у2) -12х2 = 0. Форма конхоиды существенно зависит от числа 1, если это число больше расстояния от точки О до выбранной прямой, то на конхоиде образуется петля.

Параметрическое уравнение линии: х = а + 1соst, у = аtgt + 1sint. Асимптота: х – а = 0. Вершины: А(а + 1, 0) и В(а – 1, 0).

Кривая названа по имени древнегреческого геометра Никомеда, который использовал её для решения геометрических задач о трисекции угла и удвоение куба.

Улитка Паскаля Овалы Декарта

Овалы Декарта это - множества точек на плоскости, расстояния r1, r2 каждой из которых от двух фиксированных точек F1, F2 той же плоскости удовлетворяют одному из уравнений mr1 - nr2 = a, mг1 - nr2 = a

(m, n, а - фиксированные положительные константы). Обычно пару овалов Декарта, удовлетворяющих уравнениям, (разумеется, при одних и тех же параметрах m, n, а), рассматривают совместно (на рисунке 1 М1 - точка графика уравнения, М2 - графика уравнения). При n = 0 уравнения, задают окружность.

Точки F1, F2 называют фокусами. Как показал Шаль (1793-1880), помимо фокусов F1, F2 овалы Декарта имеют еще и третий фокус F3, равноправный относительно основного свойства овалов с каждым из фокусов F1, F2, т. е. для некоторых констант m', n', а' и m", n".

Декарт построил свои овалы в связи с исследованиями по оптике. При усовершенствовании оптических инструментов, употребляемых в навигации, возникла задача об определении такой кривой, которая преломляла бы лучи, выходящие из заданной точки F1, так, чтобы преломленные лучи проходили через другую заданную точку F2. Овалы Декарта как раз и обладают нужным свойством.

Уравнение кривой: (х2 + у2 – ах)2 – 12(х2 + у2) = 0. В параметрической форме: х = а соs2t + 1соs t, у = а соst sint + 1sint. Уравнение в полярных координатах: ρ = а соsφ + 1. Геометрическое определение: конхоида окружности с радиусом а/2 и центром (а/2, 0) относительно О. Вершины А(а ± 1, 0). Форма кривой зависит от коэффициента 1.

Каппа

Кривая, которая здесь изображена, называется «каппа» из-за сходства с одноимённой буквой греческого алфавита. Эту кривую впервые построил в 1662г. бельгийский математик Рене Франсуа де Слюз (1622-1685), когда вёл переписку с Христианом Гюйгенсом.

Способ построения дуги каппы принадлежит И. Ньютону. Пусть на прямой l отмечена точка О. Возьмём угольник АМВ (М – вершина прямого угла). Правая верхняя ветвь каппы описывается вершиной М, когда угольник перемещается так, что вершина В скользит по правому лучу прямой l, М находится над прямой и катет АМ проходит через О. Три остальные ветви каппы строятся аналогично.

Удлиняя катет АМ угольника АМВ, мы можем получить сколь угодно далёкие точки каппы.

Данная кривая обладает центом симметрии О и двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии. Есть у каппы и две горизонтальные асимптоты. Прямая, проведённая в плоскости каппы, пересекает её, самое большее, в четырёх точках. Полярное уравнение каппы:.

Идея первооткрывателя каппы состоит в следующем. Рассмотрим конгруэнтные окружности, центры которых лежат на прямой l, не содержащие точку О внутри. К каждой такой окружности проводим пару касательных. Множество этих точек касания и представляет собой каппу. Этот способ, по существу, эквивалентен способу И. Ньютона (роль радиусов конгруэнтных окружностей исполняет у Ньютона катет угольника МВ).

Покажем способ построения каппы, принадлежащий И. Барроу. Проведём из точки О «вертикальный» луч; через точку А на нём проведём прямую m, перпендикулярную ОА. Рассмотрим произвольный луч ОА1, пересекающийся с m. Отложим на ОА1 отрезок. Множество таких точек образует две верхние ветви каппы.

Ещё один способ построения каппы, принадлежащий И. Бернулли. Проведём окружность с центром. Отложим на этой окружности две конгруэнтные дуги ОР < и РQ. Соединим точки О и Q хордой. В пересечении этой хорды или её продолжения с прямой, проходящей через точку Р параллельно l, получаем точку М. Множество таких точек для всевозможных положений точки Р также представляет собой две ветви каппы.

Продолжение следует