Учеба  ->  Учебные материалы  | Автор: | Добавлено: 2020-05-14

Значение кривых в математике. Часть 1

Содержание моей статьи заключается в том, что в ней подробно рассмотрены и исследованы основные графики, которые изучаются в школе, а это – гипербола, парабола, эллипс и частный вид его – окружность. Эти графики рассматриваются здесь, потому что их проходят в школе и моя работа будет хорошим дополнительным материалом при построении кривых и при решении некоторых задач по этой теме. Также было подробно рассмотрено общее уравнение второй степени, которое не проходят в школе, но встречается в задачах высшего уровня, например, олимпиадных. С помощью этого уравнения неявно заданные уравнения легко переводятся в канонические или в более привычные нашему глазу.

В работе также рассматриваются более сложные кривые, которые подразделяются на алгебраические и трансцендентные. Эти кривые в школьном курсе не рассматриваются, но, например, спираль Архимеда применялась раньше в школе, так как при помощи неё можно разделить угол на три равные части (задача о трисекции угла).

Цель моей работы – подробно раскрыть значение кривых в математике. Многие кривые были созданы для решения трёх знаменитых задач древности – трисекция угла, удвоение куба, квадратура круга, так как эти задачи нельзя решить при помощи циркуля и линейки, что доказано в моей работе. Некоторые кривые широко употребляются на практике, в основном в технике. Например, такие кривые как спираль Корню, кардиоида, спираль Архимеда, логарифмическая спираль и другие. То есть можно сказать, что применение нестандартных кривых специфично и специально.

Теория о кривых

Кривая называется алгебраической кривой порядка n, если имеются декартова система координат и многочлен F(х, у) переменных х, у степени n такой, что F(х, у) = 0 является уравнением данной кривой в этой системе координат. Далее мы будем указывать порядок кривой.

Существует всем известная декартова система координат, но есть и другие, например, полярная. Об этой системе поговорим ниже.

Возьмем на ориентированной плоскости точку О и некоторую ось, проходящую через эту точку. Ось может быть задана, например, единичным вектором i. Точку О, вектор i и положительное направление обхода плоскости будем называть полярной системой координат. Точка О называется полюсом, Oi – полярной осью. Покажем, что если дана полярная система координат, то каждая точка плоскости может быть задана при помощи двух чисел. Пусть М – произвольная точка плоскости, отличная от полюса О. Положение этой точки может быть однозначно определено заданием длины отрезка ОМ и углом. Угол определяет положение луча ОМ на плоскости, а расстояние r = ОМ – положение точки М на этом луче. При этом, так как задание полярной системы координат определяет ориентацию на плоскости, то угол будет положительным, если поворот луча Oi полярной оси вокруг точки О до совпадения с лучом ОМ совершается в положительном направлении; в противном случае он считается отрицательным. Например, при r = 3, а точка N, соответствующая этим числам, лежит на луче h, составляющим с осью i угол , и отстоит от О на расстоянии r = 3. Сама точка О характеризуется условием r = 0. Для этой точки угол φ неопределён. Числа r и φ называются полярными координатами точки. При этом r называется полярным радиусом или первой полярной координатой, а φ – полярным углом или второй полярной координатой. Если г и φ – полярные координаты точки М в системе Oi, то это обстоятельство обычно записывают так М(r, φ).

Связь между полярными и прямоугольными декартовыми координатами точек.

Пусть Oi – данная полярная система координат, Oij – прямоугольная декартова система, причем ((i, j) = 900. Здесь предполагается, что положительное направление плоскости совпадает с положительным направлением данной системы. Установим связь между прямоугольными декартовыми и полярными координатами одной и той же точки. Пусть r, φ и х, у соответственно полярные и прямоугольные декартовы координаты точки М. Вектор OM имеет координаты ОМсоsφ, ОМsinφ, где. Учитывая, что OM = r и φ – полярный угол точки М, и принимая во внимание, что х, у суть координаты вектора ОМ, получаем: х = r cos φ, у = r sin φ.

Отсюда можно выразить r и φ через х и у: г = , φ = arctg

Многие кривые были созданы для решения трёх задач древности. Поговорим про них.

Удвоение куба называют также делосской задачей, что связано с названием острова Делоса, на котором, по преданию, разразилась эпидемия, и оракул посоветовал увеличить объём кубического жертвенника в два раза, не нарушая его формы, чтобы избавиться от эпидемий.

Неразрешимость задачи об удвоении куба вытекает из общей теоремы.

Теорема. Пусть кубическое уравнение х3 + ах2 + bx + с = 0 с pациональными коэффициентами а, b и с не имеет рациональных корней, и пусть х0 – его корень. Тогда х0 нельзя выразить через целые числа с помощью конечного числа основных действий.

Действитсльно, уравнение х3 – 2 = 0 не имеет рациональныx корней, а значит, его корень х0 = нельзя выразить через 1 с помощью конечного числа основных действий. Поэтому, исходя из единичного отрезка, нельзя построить циркулем и линейкой ребро куба с объёмом 2.

Трисекция угла - задача о делении произвольного угла на три конгруэнтные части (угла) циркулем и линейкой. Это одна из трех знаменитых задач на построение в древней Греции: квадратура круга, удвоение куба и трисекция угла.

Перейдём к задаче о трисекции угла. Это, собственно говоря, не одна задача, в целая серия: каждому углу соответствует своя задача. Некоторые из них разрешимы – например, угол в 900 можно разделить циркулем и линейкой на три равные части. Мы покажем, что в общем виде задача о трисекции угла неразрешима. Для этого достаточно указать хоть один угол φ, который нельзя разделить на три равные части. Мы возьмём φ = 300.

Этот угол можно построить циркулем и линейкой, исходя из конфигурации {А, В}, состоящей из двух точек А и В (АВ = 1). Если бы его можно было разделить циркулем и линейкой на три равные части по 10',томы смогли бы, исходя из конфигурации (А, В), построить и угол в 100, а значит, и отрезок длиной s = sin 100, где (С = 100, CD = 1, DE(СЕ, и значит, DE = sin 100).

Докажем, что этого сделать нельзя, то есть число s = sin 100 нельзя получить с помощью конечного числа основных действий из числа 1.

Используя формулу sin Зα = 3 sinα – 4 sin3 а, получаем уравнение 0,5 = sin300 = 3s – 4s3, или s3 – 0,75s + 0,125 = 0.

По теореме нам достаточно доказать, что не имеет рациональных корней.

По теореме число s нельзя выразить через 1 с помощью конечного числа основных действий, и значит, задача о трисекции угла в 300 неразрешима.

Квадратура круга – это задача, где надо построить квадрат равный по площади с кругом.

Теория о кривых второго порядка

Кривой второго порядка называется множество всех точек плоскости, координаты которых в некоторой общей декартовой системе удовлетворяют уравнению

Аx2 + Сy2 + 2Вxy + 2Dx + 2Еy + F = 0, где A, B, C, D, E, F – действительные числа, причём хотя бы один из коэффициентов А, В или С не равен нулю.

Эллипс, окружность, парабола и гипербола являются кривыми второго порядка. Однако существуют и другие кривые второго порядка. Этим уравнением задаётся пара пересекающихся прямых. Отсюда следует, что понятие кривой второго порядка является достаточно общим и не всегда совпадает с обычным представлением о кривой. В этом можно убедиться также из следующих примеров: а) x2 + y2 = 0; б) x2 + 2y2 + 1 = 0.

Легко видеть, что кривая, определяемая уравнением а), имеет только одну действительную точку (0; 0), а кривая, определяемая уравнением б), вовсе не имеет действительных точек.

Теперь составим из коэффициентов уравнения два определителя:

Определитель Δ называется дискриминантом уравнения, а δ - дискриминантом старших его членов. В зависимости от значений Δ и δ уравнение определяет следующий образ:

Δ ≠ 0 Δ = 0

δ > 0 Эллипс (действительный или мнимый) Точка

δ < 0 Гипербола Пара пересекающихся прямых

δ= 0 Парабола Пара параллельных прямых (действительных или мнимых)

Ниже приведена таблица с названием кривой второго порядка и её каноническим уравнением:

Название кривой Каноническое уравнение

Гипербола

Парабола

Мнимый эллипс

Пара пересекающихся действительных прямых

Пара невещественных пересекающихся прямых

Пара параллельных действительных прямых

Пара параллельных невещественных прямых

Пара слившихся прямых x2 = 0

Очень часто кривые второго порядка представляют в виде. Возникает вопрос, как привести это уравнение к привычному уравнению или каноническому? Для начала рассмотрим уравнение с В = 0.

Можно считать, что коэффициент А > 0. В противном случае знаки всех членов уравнения можно изменить на противоположные.

Упростим это уравнение методом выделения полного квадрата. Получаем:

Рассмотрим возможные случаи:

Ⅰ. А > 0, С > 0.

1. Если F1 > 0, то уравнение определяет эллипс. Центр эллипса находится в точке , , полуоси эллипса В частном случае, если А = С, получаем окружность.

2. Если F1 = 0, то уравнение примет вид А(x – x0)2 + С(y – y0)2 = 0, что возможно только при x = x0 и y = y0. В этом случае имеем точку.

3. Если F1 < 0, то слева стоит сумма квадратов, а справа отрицательное число. В этом случае уравнение не определяет никакой кривой.

Ⅱ. А > 0, С < 0.

1. Если F1 < 0, то уравнение определяет гиперболу с центром в точке

2. Если F1 < 0, то уравнение можно записать в виде

Это уравнение также определяет гиперболу с центром в той же точке, однако её вершины расположены на оси Оу.

3. Если F1 = 0, то А(х – х0)2 + С(у – у0)2 = 0, или А(х – х0)2 = -С(у – у0)2. Здесь –С > 0, так как С < 0. Извлекая из обеих частей этого уравнения квадратный корень получаем два линейных уравнения. В этом случае уравнение определяет пару прямых проходящих через точку (х0; у0).

Ⅲ. А > 0, С = 0.

1. Уравнение Ах2 + 2Dх + 2Еу + F = 0 можно решить относительно у (если Е ≠ 0). Тогда

Это уравнение определяет параболу с осью симметрии, параллельной оси Оу.

2. Если Е = 0, то Ах2 + 2Dх2 + F = 0.

Решая это уравнение, получаем х = х1 и х = х2. В этом случае уравнение определяет либо пару прямых, параллельных оси Оу (если х1 и х2 действительные и разные), либо одну прямую (если х1 = х2), либо не определяет никакой линии (если корни мнимые).

Ⅲа. С > 0, А = 0.

Для уравнения Су2 + 2Dх + 2Еу + F = 0 аналогично предыдущему находим:

1. Если D ≠ 0, то уравнение определяет параболу с осью симметрии, параллельной оси Ох.

2. Если D = 0, то уравнение определяет либо пару прямых параллельной оси Ох, либо одну прямую, либо не определяет никакой линии.

Рассмотренные случаи можно разбить на три основные группы.

Первая группа: АС > 0. Так как можно считать А > 0, то из условия АС > 0 следует, что и С > 0. В этом случае уравнение определяет либо эллипс (в частном случае окружность), либо точку, либо вообще не определяет никакой линии.

Вторая группа: АС < 0. Так как А > 0, то С < 0 и уравнение определяет либо гиперболу с действительной осью, параллельной оси Ох, либо гиперболу с действительной осью, параллельной оси Оу, либо пару пересекающихся прямых.

Третья группа: АС = 0. В эту группу входят случаи Ⅲ и Ⅲа, рассмотренные выше. Уравнение определяет либо параболу с осью, параллельной одной из осей координат, либо пару прямых, параллельных одной из осей координат, либо не определяет никакой линии.

Это мы исследовали уравнение, где коэффициент В = 0. Теперь рассмотрим уравнение полностью.

Это уравнение определяет те же кривые второго порядка, что и рассмотренные выше. Для установления этого факта будет показано, что в некоторой системе координат общее уравнение переходит в уравнение, не содержащее члена с произведением ху. Эта система координат получается поворотом исходной системы вокруг начала координат.

Выведем формулы преобразования координат при повороте системы координатных осей. Пусть дана система хОу. Повернём оси системы на угол α. Полученную новую систему координат обозначим. Пусть х и у – координаты точки А в исходной системе координат. Найдём координаты А в новой системе координат. Опустим из точки А перпендикуляр АD на ось и через точку D проведём прямые параллельные осям исходной системы координат.

видно, что х = ОЕ – СЕ = ОЕ – ВD, у = ВС + АВ = DЕ + АВ.

Из треугольников ОЕD и АВD находим, что

Отсюда Преобразуем уравнение, переходя к новой системе координат.

Подставляя в уравнение вместо х и у выражения через , получаем

Если раскрыть скобки и привести подобные члены, то уравнение примет такой же вид, как и исходное:

Свободный член при переходе к новой системе координат не изменяется. Подсчитаем коэффициенты при в полученном уравнении. После раскрытия скобок три члена будут содержать Вынося за скобку, получим коэффициент Аналогично коэффициент при и при :.

До сих пор угол α был произвольным. Подберём его так, чтобы уравнение кривой в новых координатах имело уже изученный вид, т. е. чтобы в нём отсутствовал член с произведением. Для этого нужно выбрать α так, чтобы 2В1 = 0. Используя выражение для 2В1 получаем:

Откуда. Итак, если угол α найти из этой формулы и повернуть систему координат на этот угол, то в новой системе уравнение не будет содержать члена с произведением. Из ранее доказанного следует, что это будет кривая либо эллиптического типа, либо гиперболического, либо параболического. Итак, уравнение кривой второго порядка при наличии в нём члена с произведением ху определяет те же кривые, что и уравнение без этого члена. При наличии в уравнении члена с ху оси этих кривых повёрнуты относительно осей координат на некоторый угол α, который может быть вычислен по формуле

Возникает вопрос о том, как по исходному уравнению определить тип кривой второго порядка. Для решения этого вопроса вычислим вспомогательную величину А1С1 - = АС – В2. Вычислим А1С1 - :

Выпишем коэффициенты при А2, В2, С2, АВ, АС, ВС в выражении А1С1 - - :

Итак, А1С1 - = АС – В2. Полученное равенство показывает, что выражение АС – В2 не изменяется при любом повороте системы координат, в связи с чем его называют инвариантом.

Если поворот осей координат осуществлён на такой угол α, что В1 = 0, то в новых координатах получится уравнение:

Для определения типа кривой, определяемой этим уравнением, достаточно установить знак произведения А1С1, но в силу доказанного А1С1 = АС - - В2. Следовательно,

Ⅰ. Если АС – В2 > 0, то кривая эллиптического типа.

Ⅱ. Если АС – В2 < 0, то кривая гиперболического типа.

Ⅲ. Если АС – В2 = 0, то кривая параболического тема.

Итак, тип кривой определяется по знаку АС – В2.

Теперь мы можем установить алгоритм определения и исследования кривой второй степени:

1. Определяем тип кривой, устанавливая знак выражения АС – В2.

2. Вычисляем угол поворота координатных осей по формуле. Если угол α удаётся сразу найти, то затем вычисляем cosα и sinα. Если угол не определяется, то находим по формуле. Тогда

3. Осуществляем поворот на угол α, подставляя выражения в уравнение кривой. При этом член с произведением исчезает.

4. Метод выделения полного квадрата избавляемся от членов, содержащих первые степени , и находим координаты центра эллипса и гиперболы, или вершины параболы.

5. Приводим уравнение кривой к каноническому виду.

6. По полученным данным строим кривую.

Асимптотой кривой второго порядка называется всякая прямая, которая либо вовсе не пересекается с кривой (не имеет с ней ни вещественных, ни невещественных точек), либо всеми точками принадлежит кривой.

Теорема. Если рявляется вектором асимптотического направления относительно кривой, то для того, чтобы точка М (х, у) лежала на некоторой асимптоте, имеющей направление р, необходимо и достаточно, чтобы координаты точки М удовлетворяли уравнению р1 (а11х + а12у + а13) + p2 (а21х + а22у + а23) = О.

Доказательство. Пусть точка М (х, у) лежит на асимптоте l, имеющей направление р. Запишем параметрическое задание прямой l, приняв тачку М за начальную;

Х = р1t+х, Y=p2t+y.

Уравнение для прямой l запишется так:

Pt2+ 2Qt+ R = О,

Обратно, пусть координаты точки М (х, у) удовлетворяют уравнению. Проведём через точку М прямую 1, параллельную вектору р, и докажем, что эта прямая является асимптотой. Если есть параметрическое задание прямой 1, а – условие, из которого определяются параметры точек пересечений этой прямой с кривой, то в силу Q = 0 и в силу того, что римеет асимптотическое направление, P = 0. Таким образом, l является асимптотой. Теорема доказана.

Исследуем уравнение для различных типов кривых.

1. 1 > 0. В этом случае кривая не имеет асимптотических направлений и, следовательно, асимптот.

2. 1 < 0. Кривая имеет два асимптотических направления. Пусть р - одно из них. Согласно теореме координаты всех точек плоскости, лежащих на асимптотах направления р, удовлетворяют условию. Запишем это уравнение в виде:

(а11р1 + а12р2)х + (а21р1 + а22р2)у + а31р1 + а32р2 = 0.

В этом уравнении коэффициенты при х и у одновременно не равны нулю. В самом деле, если предположить, что а11р1 + а12р2 = 0 и а21р1 + а22р2 = 0, то отсюда следует, что , что противоречиво, Таким образом, уравнением задается одна прямая, поэтому кривая имеет одну и только одну асимптоту направления р, которая задается уравнением. Очевидно, другому вектору q асимптотического направления соответствует еще одна асимптота. В этом случае кривая имеет две и только две асимптоты.

3. I2 = О. В этом случае, как следует из исследования асимптотических направлений, р1 и р2 пропорциональны числам а22, - а12.

Не нарушая общности, можно положить: р1 = а22, р2 = – а12. Подставив эти значения в, получаем: l2x+0y + (а31а22 – а32a12)= 0 или 0х+ 0у+ L = 0, где L = а31а22 – а32а12. Если L ≠ 0, то кривая не имеет асимптот, параллельных вектору р; если же L = 0, то все прямые, параллельные вектору р, являются асимптотами. Других асимптот кривая не имеет. Отсюда видно, что условия L ≠ 0 или L = 0 имеют геометрический смысл, поэтому они не зависят от выбора системы координат.

Вычислим L для всех кривых параболического типа, заданных каноническими уравнениями.

Для параболы у2 – 2px = 0 имеем L = – р1 = –р ≠ 0.

Для пары параллельных прямых (действительных или комплексных) или для слившихся прямых х2 ± а2 = О, поэтому L = 0 – 0 = 0.

Мы пришли к выводу, что парабола не имеет асимптот, а для пары параллельных или слившихся прямых любая прямая, параллельная им, является асимптотой.

Пусть p– вектор неасимптотического направления относительно кривой второго порядка а11а2 + 2а12ху + а22у2 + 2а13х + 2а23у + а33 = 0.

Из теоремы следует, что все прямые, параллельные р, пересекают кривую в двух точках – действительных и различных, совпадающих или комплексно-сопряжённых. В последнем случае середина отрезка, соединяющего комплексно-сопряжённые точки, будут действительной точкой. Таким образом, середина любой хорды неасимптотического направления есть действительная точка.

Рассмотрим множество середин всех хорд, параллельных вектору р. Обозначим через М (х, у) координаты произвольной точки искомого множества. Напишем параметрическое задание прямой, проходящей через М (х, у) и параллельной вектору p, приняв точку М за начальную точку:

Х = р1t + х, Ү = р2t + у.

Пусть Х1, Ү1 и Х2, Ү2 – координаты точек пересечеиия данной прямой с кривой, а t1 и t2 – параметры этих точек. Тогда

Х, = p1t1 +х,

Y1 =р2t1 + у,

Х2 = p1t2 + х,

Y2= p2t2 + у.

Так как М (х, у) — середина отрезка (Х1Ү1), (Х2Ү2), то Х1 + Х2 = 2х, Ү1 + Y2 = 2у, поэтому р1(t1 + t2) = 0 и р2(t1+ t2) = 0. Но р1 и р2 одновременно не равны нулю, поэтому t1 + t2 = 0

С другой стороны, t1 и t2 являются корнями уравнения, где Р = а11р12 + 2а12р1р2 + а22р22 ≠ 0.

Сумма корней квадратного уравнения равна нулю в том и только в том случае, когда коэффициент при неизвестном в первой степени равен нулю. В данном случае имеем:

Q = p1 (а11х + а12у + а13) + p2 (а21х + а22у + а23) = 0.

Мы показали, что если (х, у) – координаты середины произвольной хорды, параллельной вектору , то они удовлетворяют уравнению.

Обратно, пусть координаты точки М(х, у) удовлетворяют уравнению. Покажем, что М принадлежит рассматриваемому множеству точек. Проведем через М прямую, параллельную вектору р. Принимая М за начальную точку, напишем параметрическое задание прямой в виде. Если (Х1, У1), (Х2, У2), t и t2 соответственно координаты и параметры точек пересечений прямой с кривой, то в силу получаем:

Rt2 + R = 0, , поэтому

Х1 + Х2 = р1t1 + х + р1t2 + х = 2х,

Ү1+ У2 = р2t1 + у + р2t2 + у = 2у.

Отсюда следует, что М есть середина хорды, проходящей через эту точку и параллельной вектору р. Таким образом, соотношение есть уравнение искомого множества точек.

Для того чтобы убедиться в том, что уравнение является уравнением прямой, необходимо показать, что в этом уравнении коэффициенты при х и у одновременно не равны нулю. В самом деле, если предположить, что а11р1 + а21р2 = 0 и а12р1 + а22р2 = 0, то, умножив первое соотношение на p1 a второе на р2 и сложив, получаем a11р12 + 2a12р1р2 + а22р22 = 0, т. е. вектор р будет иметь асимптотическое направление, что противоречит условию выбора вектора р. Мы доказали теорему.

Теорема. Множество середин всех хорд кривой, параллельных вектору рнеасимптотического направления, есть прямая, заданная уравнением. Эта прямая называется диаметром кривой, соответствующим (или сопряженным) вектору р.

Таким образом, каждому вектору р неасимптотического направления соответствует свой диаметр. Этот диаметр будем обозначать через dр.

Уравнение диаметра по виду тождественно с уравнением асимптот. Однако следует помнить, что в уравнении вектор рне имеет асимптотического направления в то время как в уравнении рявляется вектором асимптотического направления.

У кривых второго и высшего порядков существуют центры и центр. Далее попробуем определить центр кривой второго порядка.

Точка С плоскости называется центром кривой второго порядка, если кривая симметрична относительно С. Это означает, что для всякой точки М, принадлежащей кривой, точка М', симметричная М относительно С, также принадлежит кривой. Другими словами, центром кривой называется центр ее симметрии.

Выясним, каждая ли кривая второго порядка имеет центр, сколько может существовать центров и как определить их координаты? На все эти вопросы по существу отвечает следующая основная теорема.

Теорема. Для того чтобы точка С (х0, у0) была центром кривой второго порядка, необходимо и достаточно, чтобы координаты точки С (х0, у0) удовлетворяли условиям: а11х0 + а12у0 + а13 = 0, а21х0 + а22у0 + а23 = 0.

Доказательство. Пусть С(х0, у0) – центр кривой. Возьмем два неколлинеарных вектора р, q, не имеющих асимптотических направлений относительно данной кривой. Если через С (х0, у0,) провести две прямые, параллельные векторам р и q, то каждая из этих прямых пересекается с кривой соответственно в двух точках М1, М2 и N1, N2. Очевидно, точка С как центр кривой является серединой отрезков М,М2 и N1N2. Отсюда следует, что С принадлежит диаметрам, соответствующим векторам р и q, и тогда координаты точки С удовлетворяют их уравнениям.

р1 (a11x0 + а12у0 + a13) + p2 (а21х0 + а22у0 + a23) = 0, q1 (а11х0 + a12у0 + а13) + q2 (а21х0 + а22у0 + а23) = 0.

Так как векторы р и q не коллинеарны, то, поэтому выражения в скобках равны нулю, т. е. выполняются условия.

Обратно, пусть координаты точки С (х0, у0) удовлетворяют соотношениям. Возьмем произвольную (вещественную или невещественную!) точку М1 (х1, у1) кривой и докажем, что точка М2 (х2, у2),симметричная точке М1 относительно С, также лежит на кривой. В самом деле, х1 + х2 = 2х0, у1 + у2 = 2у0, отсюда х2 = 2х0 – х1, у2 = 2у0 – у1. Подставив эти значения в уравнение, получим: а11 (2х0 – х1) (2х0 – х1) + 2а12(2x0 – х1) (2у0 – у1) + а22 (2у0– у1) (2у0 – у1) + 2a13 (2х0 – x1) + 2a23 (2у0 – у1) + а33 = 4х0 (a11x0 + а12у0 + а13) + 4у0 (а21x0+ а22у0 + а23) – 4х1 (a11x0 + a12у0+ а13) – 4у1 (а21х0 + а22у0 + а23) + a11x1х1 + +2а12х1у1+а22у1у1+2а13х1+2a23у1+ а33.

Зта сумма равна нулю, так как точка М1 (х1, у1) принадлежит кривой и координаты точки С (х0,у0) удовлетворяют уравнениям. Теорема доказана.

Доказанная теорема позволяет исследовать вопрос о существовании центров данной кривой. Задача сводится к исследованию системы уравнений. Рассмотрим матрицы и обозначим соответственно через r и R их ранги. Очевидно, r ≤ R.

Возможны следующие случаи.

1) г = R = 2. В этом случае система имеет единственное решение и соответственно этому кривая имеет один и только один центр.

Кривые, обладающие этим свойством, называются центральными.

2) г = R = 1. В этом случае система имеет бесчисленное множество решений; одно из уравнений системы является следствием другого. Кривая имеет прямую центров. Уравнение этой прямой определяется одним из соотношений.

3) r = 1, R = 2. Система не имеет ни одного решения и в соответствии с этим кривая не имеет ни одного центра.

Кривые, не имеющие центров или имеюшие больше чем один центр, называются нецентральными. Таким образом, кривые эллиптического и гиперболического типов являются центральными, а кривые параболического mиna — нецентральными.

Из приведенных рассуждений следует, что ранги r и R матриц имеют геометрический смысл, поэтому они не зависят от выбора системы координат. Для выяснения вопроса о наличии числа центров у кривых второго порядка достаточно взять их канонические уравнения, выписать матрицы и вычислить их ранги. Для эллипса, мнимого эллипса, гиперболы и пары пересекающихся вещественных и невещественных прямых r = R = 2. Для параболы r = 1, R = 2, а для пары параллельных и слившихся прямых г = R = 1. Мы пришли к теореме.

Теорема. Эллипс, мнимый эллипс, гипербола, пара пересекающихся вещественных и невещественных прямых являются центральными кривыми и каждая из них имеет единственный центр. Парабола не имеет ни одного центра; пара параллельных или слившихся прямых имеет прямую центров.

Из уравнения диаметра следует, что независимо от направления вектора р {р1, р2} каждый центр кривой принадлежит всем диаметрам. Поэтому если кривая центральная, то все диаметры кривой проходят через центр С; если кривая имеет линию центров, то все диаметры совпадают с этой линией. Рассмотрим более подробно этот вопрос для различных типов кривых.

а) Кривые эллиптического типа (I2>0). Покажем, что если С – центр кривой второго порядка эллиптического типа, тo совокупность всех диаметров кривой образует пучок прямых с центром в точке С. В самом деле, совокупность всех диаметров кривой определяется уравнением для всевозможных р1 и р2 не равных одновременно нулю Так как прямые а11х+ а12у + а13= 0 и а21х + а22 у + а23 = 0 пересекаются ( > 0), то уравнение определяет пучок пересекающихся прямых. Утверждение доказано.

б) Кривые гиперболического типа (I2 < 0). Точно так же, как и в предыдущем случае, можно показать, что если С – центр кривой второго порядка гиперболического типа, то совокупность всех диаметров кривой вместе с двумя асимптотами образует пучок прямых с центром в точке С.

в) Кривые параболического типа (I2 = 0). Так как пара параллельных, как вещественных, так и невещественных, прямых и пара слившихся прямых имеют линию центров, то каждая из этих кривых имеет один-единственный диаметр — линию центров.

Рассмотрим вопрос о расположении диаметров параболы. Запишем уравнение в предположении, что парабола дана уравнением у2 = 2рх. В этом случае принимает вид: – р1р + р2у = 0. Здесь р1 и р2 могут принимать всевозможные значения, за исключением р2 = 0. В случае р2 = 0 вектор р {р1, р2} имеет асимптотическое направление и не определяет никакого диаметра. Разделив предыдущее уравнение на р2 и положив –, получаем y + α = 0.

Это соотношение задает пучок параллельных прямых, определяемый координатным вектором i. Этот вектор, как известно, имеет асимптотическое направление.

Мы пришли к выводу, что совокупность всех диаметров параболы образует пучок параллельных прямых асимптотического направления.

Сопряжённые диаметры кривых второго порядка.

Докажем следующую теорему.

Теорема. Если диаметр dр не имеет асимптотического направления и является множеством середин хорд, параллельных диаметру dр, то dq является множеством середин хорд, параллельных диаметру dр.

Доказательство. Диаметр dр сопряжен вектору р, поэтому из условия теоремы следует, что р(dq. Согласно формуле диаметр dq имеет уравнение: q1(a11х + а12у + а13) + q2(а21х + + а22у+ а23) = 0, поэтому имеем: q1(а11р1 + a12p2) + q2(a21p1 + a22p2) = 0 или р1(a11q1 + а12q2 + р2(а21q1 + а22q2) = 0. (14)

Учитывая, что диаметр имеет уравнение, отсюда мы заключаем, что q(dр. Теорема доказана.

Два диаметра кривой второго порядка, каждый из которых является множеством середин хорд, параллельных другому, называются сопряженными. Соотношение является условием сопряженности диаметров dр и dq, сопряженных соответственно векторам р{р1, р2} и q. Это соотношение может быть записано так: а11р1q1 + а12р1q2 + а21р2q1 + a22р2q2 = 0. (14')

Векторы, координаты которых удовлетворяют этому условию, называются сопряженными относительно данной кривой второго порядка. Если исходная система координат прямоугольная декартова, то соотношение (14') эквивалентно условию; рА(q) = 0, (14΄΄) где А – линейное преобразование кривой второго порядка. Мы получили условие сопряженности, выраженное через А.

На рисунке 18 изображены пары сопряженных диаметров для некоторых кривых второго порядка: эллипса, пары пересекающихся прямых и окружности. Для окружности А является преобразованием подобия или тождественным преобразованием, поэтому соотношение (14") в этом случае принимает вид: рq = 0, т. е. любая пара сопряженных диаметров окружности взаимно перпендикулярна. Этот вывод следует также и из элементарно геометрических соображений.

Так как все диаметры параболы, а также все диаметры пары параллельных прямых, параллельны между собой и имеют асимптотическое направление, то эти кривые не имеют сопряженных диаметров.

Диаметр кривой второго порядка называется главным, если он перпендикулярен сопряженным хордам.

Очевидно, всякий главный диаметр является осью симметрии кривой.

Для определения главных диаметров можно воспользоваться следующей теоремой.

Теорема. Для того чтобы диаметр был главным, необходимо и достаточно, чтобы соответствующий вектор был вектором главного, но не асимптотического направления.

Доказательство. Пусть dр – главный диаметр, имеющий в прямоугольной декартовой системе координат уравнение, которое можно записать в форме:

(а11р1 + а12р2) х + (а21р1 + а22р2) у + (а13р1+а23р2)=0.

По определению этот диаметр перпендикулярен вектору р {р1р2}, т. е. р является нормальным вектором этой прямой. Векторы р {р1, р2} и вектор {(а11р1 + а12р2),(а21р1+ а22р2)} коллинеарны. Это означает, что р имеет главное направление. Наличие диаметра dр показывает, что р не имеет асимптотического направления.

Обратно, пусть р – вектор главного, но не асимптотического направления. Рассмотрим диаметр dр, который в прямоугольной декартовой системе координат имеет уравнение. Из этого следует, что векторы коллинеарны. Вектор р является нормальным вектором прямой. Мы пришли к выводу, что р ортогонален dр, и, следовательно, dр – главный диаметр. Теорема доказана.

Для окружности всякий диаметр является главным. Эллипс (мнимый или действительный), гипербола, пара пересекающихся действительных или комплексных прямых имеют два и только два взаимно перпендикулярных главных диаметра. Парабола имеет единственный главный диаметр. Для пары параллельных и слившихся прямых единственный диаметр является главным.

Оси симметрии кривых второго порядка.

Осями симметрии называются такие прямые, относительно которых кривая симметрична. Это означает, что если точка М принадлежит кривой, то М', симметричная М относительно оси, также принадлежит кривой.

Очевидно, всякий главный диаметр кривой является осью симметрии. В самом деле, если главный диаметр d соответствует вектору р, то р не имеет асимптотического направления, поэтому все прямые, параллельные р, т. е. перпендикулярные d, пересекают кривую в двух точках, причем середины отрезков, образованных из точек пересечений, лежат на d. Это означает, что d является осью симметрии. Отсюда и из изложенной выше теории следует, что всякая кривая второго порядка имеет хотя бы одну ось симметрии.

Существуют ли у кривой второго порядка оси симметрии, отличные от главных диаметров? Можно показать, что такие оси существуют: а) для пары параллельных (действительных и комплексных) и слившихся прямых всякая прямая, перпендикулярная данным прямым, является осью симметрии. Эти прямые не являются главными диаметрами; б) для кривой распадающейся на две пересекающиеся взаимно перпендикулярные прямые, сами прямые являются осями симметрии. Таким образом, пара пересекающихся под прямым углом прямых d1 и d2 имеет четыре оси симметрии, из которых только две – d3 и d4 – являются главными диаметрами. В остальных случаях оси симметрии совпадают с главными диаметрами. Мы не останавливаемся на доказательстве этого предложения.

Касательные кривой второго порядка.

Как известно, касательной к кривой в данной точке Мо называется предельное положение секущей МоМ, проходящей через точку Мо при стремлении точки М к точке Мо. Однако в общей теории кривых второго порядка принято другое, более формальное определение касательной: прямая х = р1t + ξ1, у = р2t + ξ2 называется касательной к кривой, заданной уравнением, если она пересекает кривую в двух слившихся точках. По этому определению прямая будет касательной, если выполняется одно из следующих условий: а) прямая не принадлежит кривой и пересекает ее в двух слившихся точках, б) прямая целиком принадлежит кривой.

Докажем следующую основную теорему о касательной к кривой второго порядка.

Теорема. Пусть точка М0(ξ1, ξ2) принадлежит кривой, заданной в общей декартовой системе координат. Если М0 не является центром кривой, то в этой точке существует одна и только одна касательная, определяелая уравнением:

(а11ξ1 + а12ξ2 + a13 )х + (а21ξ1 + а22ξ2 + a33)у + (а31ξ1+ a32ξ2 + а33) = 0

Есяи М0 – центр кривой, тo любая прямая, проходящая через эту точку, является касательной к кривой в этой точке.

Доказательство. Пусть – некоторая прямая, проходящая через точку М0(ξ1, ξ2) кривой. По определению она будет касательной тогда и только тогда, когда Q2 – PR = 0. Так как точка М0 принадлежит кривой, то в данном случае имеем R = 0. Поэтому предыдущее условие принимает вид Q = 0, или: р1(а11ξ1 + a12ξ2 + a13) + р2(а21ξ1 + a22ξ2 + a23) = 0.

Таким образом, для того чтобы прямая была касательной к кривой, необходнмо и достаточно, чтобы координаты направляющего вектора этой прямой удовлетворяли соотношению. Возможны два случая: а) Точка М0 не является центром кривой. В этом случае хотя бы один из коэффициентов при р1 и р2 не равен нулю. Записав соотношение в виде:

Мы приходим к выводу, что направление вектора определяется однозначно. Существует одна и только одна касательная к кривой в данной точке М0. Для определения уравнения касательной воспользуемся формулой:

(а11ξ1 + а12ξ2 + а13)(х – ξ1) + (а21ξ1 + а22ξ2 + а23)(у – ξ2) = 0.

Учитывая, что точка (ξ1, ξ2) лежит на кривой, после элементарных преобразований получаем соотношение.

б) Точка М0 является центром кривой. В этом случае соотношение обращается в тождество, поэтому любая прямая, проходящая через тачку М0, является касательной к кривой. Теорема доказана.

Так как ни одна из точек эллипса, гиперболы или параболы не является центром соответствующей кривой, то из доказанной теоремы следует, что через любую точку эллипса, гиперболы или параболы проходит одна и только одна касательная. Для определения уравнений этих касательных необходимо воспользоваться соотношением. Запишем уравнения касательных в предположении, что кривые заданы каноническими уравнениями.

а) Касательная к эллипсу в точке (х0, у0). В данном случае а11 = , а22 = , а33 = -1; а остальные коэффициенты в уравнении равны нулю. Так как, ξ1 = х0, ξ2 = у0, то из получаем:

б) Касательная к гиперболе в точке (х0, у0). По аналогии с предыдущим получаем:

в) Касательная к параболе у2 – 2рх = 0 в точке (х0, у0). В данном случае а22 = 1, а13 = а31 = – р, а остальные коэффициенты в уравнении равны нулю. Так как х0 = ξ1, у0 = ξ2, то из получаем; уу0 = р(х + х0)

Теперь подробнее ознакомимся с основными кривыми второго порядка.

Окружность

Окружность есть множество всех точек плоскости, равноудалённых от некоторой точки этой плоскости, называемой центром.

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат точка С(x0; y0) является центром окружности радиуса r. Для этого чтобы М(x; y) принадлежала окружности, необходимо и достаточно, чтобы МС = r или, в координатах, Так как в левой части берётся только арифметическое значение корня, то предыдущее соотношение эквивалентно следующему:

(x – x0)2 + (y – y0)2 = r2, или в развёрнутом виде: x2 + y2 – 2x0x – 2y0y + x02 + y02 – r2 = 0.

В частности, если центр окружности совпадает с началом координат, то x0 = y0 = 0 и уравнение примет вид: x2 + y2 = r2.

Мы приходим к выводу, что в прямоугольной декартовой системе координат окружность с центром в точке С(x0; y0) радиуса r имеет уравнение. Если центр окружности совпадает с началом координат, то её уравнение примет вид.

Этот вывод показывает, что уравнение любой окружности в прямоугольной системе координат имеет вид: x2 + y2 + Ах + Ву + С = 0.

Возникает вопрос, при любых ли значениях коэффициентов А, В, С этим уравнением определяется окружность? В следующей теореме мы находим ответ на поставленный вопрос.

Множество действительных точек, координаты которых удовлетворяют уравнению, есть: а) окружность с центром в точке () и радиусом , если А2 + В2 – 4С > 0; б) точка с координатами (), если А2 + В2 – 4С = 0; в) пустое множество, если А2 + В2 – 4С < 0.

Теперь попробуем доказать эту теорему.

Уравнение можно представить так:

Возможны следующие случаи: а) А2 + В2 – 4С > 0. В этом случае соотношение, которое эквивалентно соотношению, может быть записано так:

Очевидно, этим уравнением определяется окружность, параметры которой описаны в теореме.

б) А2 + В2 – 4С = 0. Соотношение принимает вид:

Здесь явно видно, что множество точек состоит из одной точки. Для общности можно сказать, что в данном случае рассматриваемое множество есть окружность нулевого радиуса.

в) А2 + В2 – 4С < 0. В этом случае не существует на плоскости ни одной действительной точки, координаты которой удовлетворяют уравнению или. Искомое множество не имеет ни одной точки.

Теорема доказана.

Заметим, что в последнем случае существуют комплексные числа, удовлетворяющие уравнению или, поэтому говорят, что множество состоит из комплексных точек и является «мнимой окружностью».

Эллипс

Эллипсом называется фигура, полученная деформацией окружности относительно её диаметра.

Пусть а – радиус окружности; тогда её диаметр сd, лежащий на оси, перейдёт сам в себя (СD = 2а), перпендикулярный к нему диаметр еh – в отрезок ЕН (ЕН = 2kа). Обозначим длину отрезка ОЕ ( =ОН) через b. Тогда kа = b.

Отрезки СD и ЕН называются осями эллипса; числа а и b будем называть полуосями эллипса. Если k > 1 (растяжение), то b > а. Если же k < 1 (сжатие), то b < а. При k = 1 (тождественное преобразование) окружность перейдёт в окружность. Чтобы не нарушать общности определения эллипса, условимся считать окружность частным случаем эллипса. Больший из отрезков СD, ЕН называется большой осью эллипса, меньший – малой осью. Итак, если k > 1, то а – малая полуось и b – большая, а если k < 1, то наоборот. В обоих случаях.

Точка о – центр окружности – перейдёт при деформации в себя (о→О). О называется центром эллипса, точки С, D, Е, Н – его вершины.

Квадрат pqrs, описанный вокруг окружности, одна сторона которого параллельна, а другая перпендикулярна к оси деформации, преобразуется в прямоугольник РQRS со сторонами 2а и 2b, описанный вокруг эллипса; он называется характеристическим для нашего эллипса, так как полностью его определяет. Стороны характеристического прямоугольника касаются в его вершинах.

Эллипс с полуосями а и b получен из окружности радиуса а деформацией с коэффициентом. Установим на плоскости, где находятся обе эти линии, оси координат; ось ОХ направим по оси деформации, а ось ОY – через центр окружности (он же центр эллипса) перпендикулярно оси ОХ. Пусть m – любая точка окружности, а М – та точка эллипса, в которую переходит m.

Координаты точки m обозначим через (хокр, уокр), а точки М – через (хэ, уэ). Очевидно, по определению деформации хэ = хокр, уэ = kуокр,

Если подставить в уравнение окружности х2 + у2 = а2 координаты любой её точки (хокр, уокр), то будет верно равенство , а значит, подставив формулу, будет верно равенство для любой точки М.

Заметим, что kа = b, можно привести уравнение к виду.

Это и есть уравнение эллипса в наиболее удобной (канонической) форме.

У эллипса есть интересная теорема: середины всех параллельных хорд эллипса образуют прямолинейный отрезок, проходящий через центр эллипса. Эта хорда эллипса называется диаметром эллипса. У эллипса диаметры не равны. Наибольший из них большая ось, наименьший – меньшая. Если провести в эллипсе вторую серию хорд, параллельных полученному диаметру, то их середины лежат на диаметре, принадлежащем к первой серии хорд. Два полученных диаметра называют взаимно сопряжёнными. Для каждого диаметра эллипса существует ему сопряжённый.

Наиболее важное свойство эллипса – фокальное свойство. Расстояние каждого фокуса от концов малой оси равно половине длины большой оси. Сумма расстояний от любой точки эллипса до двух его фокусов – величина постоянная.

Директрисами эллипса называются прямые, параллельные малой оси и отстоящие от неё на расстоянии. Есть определения эллипса, основывающееся на директориальном свойстве: эллипс есть множество всех точек, отношение расстояний от каждой из которых до фокуса к расстояниям до одноимённой директрисы постоянно и равно его эксцентриситету.

Теперь перечислим кратко все основные свойства эллипса.

Эллипс – это геометрической место точек, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек F и F1 (фокусов) есть постоянная величина 2а, большая FF1. Параметры а и b называются полуосями эллипса. Пусть а > b, тогда фокусы F и F1 находятся на оси Ох на расстоянии от центра. Отношение < 1 называется эксцентриситетом эллипса. Расстояние М(х; у) эллипса от его фокусов (фокальные радиус векторы) определяются формулами.

Гипербола

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух данных точек той же плоскости F1 и F2 есть величина постоянная, меньшая чем расстояние между F1 и F2.

Точки F1 и F2 называются фокусами гиперболы, а длина отрезка F1F2 – фокальным расстоянием. Обозначим через 2а абсолютную величину разности расстояний любой точки гиперболы до фокусов, а через 2с – расстояние между фокусами. По определению с > а. Мы предполагаем, что а > 0, поэтому с > 0 и F1 не совпадает с F2.

Теперь выведем формулу гиперболы.

F1F2 = 2с, фокусы имеют координаты F1(с; 0), F2(-с; 0). Для произвольной точки М(х; у) гиперболы имеем:

Воспользовавшись определением гиперболы, составим равенство:

Обратно, если координаты некоторой точки плоскости удовлетворяют уравнению, то точки принадлежит гиперболе. Таким образом, соотношение является уравнением гиперболы в выбранной системе.

Для того чтобы упростить это уравнение, запишем его в виде:

Возведём обе части этого равенства в квадрат:

Это соотношение возведём в квадрат:

Если ввести обозначение b2 = с2 – а2, то после элементарных преобразований предыдущее уравнение приведем к виду:

Соотношение и есть каноническое уравнение гиперболы.

Прямые, проходящие через начало координат и имеющие угловые коэффициенты и , называются асимптотами гиперболы. Асимптоты определяют границу области, в которой расположена гипербола. Докажем следующую теорему, которая поясняет термин «асимптота».

Точки гиперболы по мере удаления от оси Оу неограниченно (асимптотически) приближаются к соответствующим асимптотам, т. е. расстояние между точкой гиперболы и соответствующей асимптотой при увеличении х уменьшается, стремясь к нулю, но не достигая нуля.

Доказательство. Т. к. гипербола симметрично относительно осей координат, то достаточно доказать теорему для точек, лежащих в первой четверти. Пусть х = р – произвольная прямая l, перпендикулярная оси Ох. Обозначим через М точку пересечения этой прямой с гиперболой, а через N – с асимптотой. Для нахождения координат точки М следует совместно решить систему. Имеем:. Таким образом, точка М имеет координаты. Если р > а, то эти координаты действительны.

Координаты точки N:. Точка N лежит выше точки М, поэтому.

Пусть LМ – расстояние от точки М до соответствующей асимптоты. Так как LМ < NМ, то LМ <. При удалении точки М от оси ординат р растёт, поэтому выражение, находящееся в правой части неравенства, уменьшается. При р, стремящемся к бесконечности, длина отрезка LМ стремится к нулю. Теорема доказана.

Гипербола, заданная каноническим уравнением, называется равносторонней, если а = b. Равносторонняя гипербола характерна тем, что её асимптотами являются биссектрисы координатных углов, поэтому они взаимно перпендикулярны. В самом деле, угловые коэффициенты асимптот согласно определению равны:. Имеет место следующая теорема: Если за оси прямоугольной декартовой системы координат взять асимптоты равносторонней гиперболы Г, заданной каноническим уравнением , то в этой система координат гипербола Г является графиком функции обратной пропорциональности.

Доказательство. Пусть Oij – прямоугольная декартова система координат, где векторы i и j принадлежат асимптотам гиперболы, а - исходная каноническая система, в которой гипербола имеет уравнение, указанное в теореме. Мы предполагаем, что обе системы имеют одну и ту же ориентацию и, кроме того,. Поэтому формулы преобразования координат точек при переходе от системы к системе Oij имеют вид: ,. Отсюда получаем:. Подставив эти значения в соотношение, получаем уравнение гиперболы Г в системе Oij: ху = а. Так как для любой точки кривой Г переменная х ≠ 0, то это уравнение эквивалентно уравнению. Теорема доказана.

Число называется эксцентриситетом гиперболы. Здесь с - половина фокального расстояния, а – действительная полуось. Так как с > а, то эксцентриситет любой гиперболы больше единицы.

Две гиперболы, имеющие равные эксцентриситеты, подобны.

Выясним, какова зависимость формы гиперболы от эксцентриситета. Для этой цели выразим отношение через эксцентриситет:

Рассмотрим систему гипербол, имеющих одну и ту же действительную ось, но разные эксцентриситеты. Из соотношения следует, что, чем больше эксцентриситет, тем больше угловой коэффициент асимптот.

Директрисами гиперболы называются прямые, параллельные канонической оси Оу и отстоящие от этой оси на расстоянии. Здесь а длина действительной полуоси. Директриса, расположенная по ту же сторону от оси Оу, что и фокус F1, называется первой, а другая директриса – второй.

Для дальнейшего изложения необходимо ввести понятие фокальных радиусов точек гиперболы, аналогичное соответствующему понятию для эллипса. Пусть М – точка гиперболы. Отрезки F1М и F2М называются соответственно первым и вторым фокальными радиусами гиперболы. Длины этих отрезков равны: при х > 0 , при х < 0.

Гипербола есть множество G всех точек, отношение расстояний от каждой из которых до фокуса F к соответствующим расстояниям до одноименной директрисы d постоянно и равно эксцентриситету.

Доказательство. Пусть – данная гипербола, а F и d – соответственно первый фокус и первая директриса. Возьмём произвольную точку М(х; у) гиперболы и вычислим расстояния FМ и МН, где Н – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на директрису d. Если х > 0, то FМ = εх – а. С другой стороны, расстояние от точки М (х; у) до директрисы равно:

В данном случае, х ≥ а, ε > 1, поэтому. Таким образом,

Если х < 0, то FМ = а – εх, МН =. В этом случае х < а,. Мы показали, что для каждой точки М гиперболы верно данное отношение.

На фокальном свойстве основано вычерчивание гиперболы при помощи двух нитей. Положим лист бумаги на чертёжную доску и наколем на лист бумаги две канцелярские кнопки F1 и F2. Возьмём две нити, разность длин которых (2а) меньше расстояния между кнопками (2с), конец каждой нити привязываем к ножкам кнопок, а оставшиеся концы свяжем узлом (точка С). Держа теперь узел в руке, защепим обе нити остриём карандаша и будем двигать карандаш на бумаге, так, чтобы обе нити были всё время в натянутом положении.

Парабола

Параболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой d, не проходящей через точку F. Точка F называется фокусом, а прямая d - директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметром параболы и обозначается через p.

Для вывода уравнения параболы выберем систему координат следующим образом: проведём через фокус F прямую l, перпендикулярную директрисе d, и обозначим через А точку пересечения этой прямой с директрисой

Примем за начало координат О – середину отрезка АF, а за ось Ох - прямую l, причём направление оси выберем так, чтобы точка F лежала на положительном луче этой оси. За ось Оу возьмём прямую, проходящую через О и параллельную директрисе d. Направление этой оси можно взять произвольно. В этой системе координат точка F имеет координаты , а прямая d – уравнение х + 0,5р = 0. Пусть М (х, у) – произвольная точка плоскости. Если N – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую d, то МN есть расстояние от М до прямой d, поэтому С другой стороны,. Для того чтобы точка М принадлежала параболе, необходимо и достаточно, чтобы МF = МN или, после упрощения, получаем уравнение параболы:

При рассмотрении директориальных свойства эллипса и гиперболы мы по существу выяснили геометрический смысл эксцентриситетов этих кривых. Из определения параболы видно, что её точки обладают аналогичным свойством, т. е. отношение расстояний от каждой точки параболы до фокуса к соответствующим расстояниям до директрисы постоянно и равно единице.

Продолжение следует

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)