Методы решения алгебраических уравнений выше второй степени

Математическое образование, получаемое в школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает человека так или иначе связано с математикой. В наши дни больше внимания стало уделяться прикладному характеру предмета. Решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо уметь решать. В работе рассмотрены примеры решения уравнений высоких степеней менее известными способами. Работа будет полезна и интересна учащимся старших классов при подготовке к экзаменам.

Для решения большинства уравнений, предлагаемых на экзаменах, достаточно владеть основными методами их решения. Однако, некоторые уравнения можно решить различными способами, выбрав наиболее рациональный или более «интересный», продемонстрировав при этом эрудицию и знание предмета.

Гипотеза. Овладение различными, в том числе и нестандартными, способами решения уравнений выше второй степени позволит учащимся старших классах наиболее качественно подготовиться к экзаменам или просто расширить их математический кругозор.

Алгебраические уравнения выше второй степени

Методы решения уравнений

Показать на примерах менее распространенные способы решения уравнений высоких степеней.

Задачи:

• Рассмотреть необычные способы решения уравнений методом введения новой переменной: метод симметризации, метод введения двух переменных, метод введения параметра, метод корней квадратного уравнения

• Рассмотреть в новом качестве метод выделения полного квадрата

• Показать на примерах применение метода геометрической прогрессии

• Объяснить на примере суть метода умножения уравнения на функцию

• Показать пример использования суперпозиции функции при решении уравнений

Метод симметризации

Уравнения, значения которых имеют центр симметрии.

Используется подстановка , которая симметризует отдельные пары слагаемых. В результате такой подстановки выделяются слагаемые, отличающиеся только знаком.

Пример1. x(x+2)(x+4)(x+6)+16=0

Решение. Заметим, что нули слагаемых: 0; -2; -4 и -6 симметричны относительно числа - 3. Пусть x = t-3. Тогда (t-3)(t-1)(t+1)(t+3)+16 = 0

(t²-9)(t²- 1)+16 = 0 t⁴- 10t²+25 = 0 t₁ =, t₂ = - x₁ = -3, x₂ = -3

Ответ: -3±

Пример 2.

Решение. Пусть x= t-1. Тогда

Ответ: -3; 1

Пример 3. (x²-7)⁴+(x²-9)⁴=16

Решение. Здесь удобнее сделать подстановку x² = t+8.

(t+1)⁴+(t-1)⁴=16

Воспользовавшись формулой (a ± b)⁴=a⁴±4a³b+6a²b²±4ab³+b⁴, получим t⁴+6t²-7 = 0, t = ±1.

Перейдя к переменной х, получим или , т. е. х = или х =.

Пример 4.

Решение. Введем замену. Пусть y=x+4, тогда

или корней нет

Вернемся к замене: x+4 = 1 или x+4 = -1

Метод введения двух переменных

Уравнение приводят к такому виду, что очевидно введение двух переменных. После чего получают однородное уравнение или систему уравнений. Пример 1.

Решение. Пусть p = (х²- х +1)², q = x². Тогда p²- 10pq + 9q² = 0

Получим однородное уравнение второго порядка относительно p и q. Заметим, что q≠0 (0 – не является корнем основного уравнения). Следовательно, можно поделить на q².

Введем новую переменную , получим квадратное уравнение относительно переменной t.

t²- 10t + 9 = 0, находим t₁=1, t₂=9.

Теперь осталось решить уравнения:

Метод введения параметра

Иногда при разложении многочлена на множители помогает метод введения параметра.

Пример 1.

Решение. Рассмотрим многочлен с параметром а: , который при в многочлен, стоящий в левой части заданного уравнения, т. е. уравнение примет вид

Составим квадратное уравнение относительно а:

Корни которого - и.

Разложим левую часть уравнения на множители

Метод корней квадратного уравнения.

Вводится новая переменная, уравнение становится квадратным относительно новой переменной.

Пример 1. х⁴ + 3х² + 20х – 96 = 0

Решение. Преобразуем это уравнение в квадратное относительно новой переменной t. Пусть t =10. Тогда 20 = 10t , 96 = t² - 4 и данное уравнение становиться квадратным относительно t: t² - 2х t- (х⁴ + 3х² + 4) = 0

Найдем дискриминант этого уравнения:

D = (-2x)² + 4(x⁴ + 3x² + 4) = x⁴ +16x² +16 = (2x² + 4)²

Следовательно, корни уравнения:

t₁ = x² + x + 2, t₂ = -x ²+ x -2

Осталось решить два уравнения:

1) x² + x – 8 = 0 ; 2) x² - x + 11 = 0

Пример 2. х⁴-2

Решение. Пусть t =. Тогда 2 = t². Следовательно, данное уравнение можно представить следующим образом:

Следовательно,

Перейдем к переменной x»:

Ответ: ;

Пример 3.

Заменим коэффициент -7:

Рассмотрим последнее уравнение как квадратное относительно , где

- постоянный корень

Ответ: ;

Метод геометрической прогрессии

Если левая часть уравнения P(x)=0 представляет собой сумму первых членов геометрической прогрессии, то ее можно преобразовать, воспользовавшись формулой:

Пример 1. 8x³+4x²+2x+1=0

Решение. Левая часть данного уравнения - сумма четырёх первых членов геометрической прогрессии, где,. Следовательно, сумма её членов равна (заметим, что х = 0,5 не является корнем уравнения) и данное уравнение равносильно

Ответ: -0,5

Пример 2.

Решение. - члены геометрической прогрессии (). Сумма пяти первых ее членов равна. Таким образом, исходное уравнение примет вид

(x =1, x = -1 – не являются корнями уравнения).

Ответ: корней нет

Метод выделения полного квадрата

Выделить полные квадраты и, оценив, полученные выражения перейти к решению системы.

Пример 1. x⁶+x⁴-2x³-2x²+2=0

Решение. Выделим полные квадраты:

(x³-1)² + (x²-1)² = 0

Очевидно, что данное уравнение равносильно системе:

Ответ: 1

Пример 2. 4(x²-x+1)(x²-2x+2) = 3

Решение. Заметим, что:

Так как при условии, что f(x), g(x)c>0 и a = bc выполняется то исходное уравнение равносильно системе

Ответ: система не имеет решений.

Умножение уравнения на функцию

Обе части алгебраического уравнения умножаются на многочлен от неизвестной. При этом надо помнить, что возможно появление лишних корней многочлена на который умножили уравнение. Поэтому надо либо умножать на многочлен, не имеющий корней и получить равносильное уравнение , либо умножать на многочлен, имеющий корни. Тогда каждый из таких корней надо обязательно подставить в исходное уравнение и установить, является ли это число его корнем.

Пример 1.

Решение: Умножив обе части уравнения на многочлен , не имеющий корней, получим уравнение :

, равносильное исходному.

Последнее уравнение можно записать в виде:

Ясно , что это уравнение не имеет действительных корней, поэтому заданное уравнение их также не имеет.

Ответ: нет решений.

Пример 2.

Решение: Умножив обе части уравнения на многочлен, получим уравнение:

Это уравнение есть симметричное уравнение четвертой степени. Поскольку х = 0 не является его корнем уравнения то, разделив обе части на и перегруппировав его члены, получим равносильное уравнение:

Обозначив , перепишем уравнение в виде

Корни : и. Поэтому последнее уравнение равносильно совокупности уравнений:

Решив каждое из этих уравнений, найдем четыре корня уравнения, а тем самым и исходного уравнения:.

Так как корень является посторонним для заданного уравнения , то получаем ответ

Ответ:.

Использование суперпозиции функции

Иногда можно найти корень уравнения, если заметить, что функция, находящаяся в одной из частей уравнения, является суперпозицией некоторых более простых функций.

Пример 1.

Решение. Обозначим , заданное уравнение можно переписать в виде.

Теперь очевидно, что если - корень уравнения , то и корень уравнения.

Корни уравнения есть и

Отсюда следует, что уравнение исходное имеет корни. Переписав его в виде и разделив многочлен на многочлен , получим:

Отсюда следует, что корнями заданного уравнения наряду с и , являются также корни уравнения: , т. е. числа и

Математика, как и любая другая наука не стоит на месте. Вместе с развитием общества меняются взгляды и потребности людей, возникают новые мысли и идеи. Однако некоторые вещи остаются неизменными: необходимость уметь составлять и решать уравнения.

В работе представлены примеры решения уравнений более высоких степеней различными способами. Автор пытался разъяснить суть менее известных методов.

В ходе работы подтвердилась гипотеза: овладение различными, в том числе и нестандартными, способами решения уравнений выше второй степени позволит учащимся старших классах наиболее качественно подготовиться к экзаменам или просто расширить их математический кругозор.