Осевая симметрия и построение графиков функций, содержащих модуль

Исследовать возможности использования осевой симметрии для построения графиков функций, содержащих модуль (функции вида y = f(x), вида y = f(lxl)).

(На примерах графиков функций y = x2, y = x3, y = , y = , у = kx + b, а также графиков функций, полученных из данных смещением вдоль координатных осей).

Определение 1. Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой m , если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему.

Каждая точка прямой m симметрична самой себе.

А А1 m

Определение 2. Фигура называется симметричной относительно прямой p, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой p, также принадлежит этой фигуре. Прямая p называется осью симметрии фигуры. Например, ромб, не являющийся квадратом, имеет две оси симметрии. p

В f А С oooooooo

Определение 3. Фигуры F и F1 называются симметричными относительно прямой p, если каждая точка Х фигуры F симметрична точке X1 фигуры F1 относительно прямой p..

Осевая симметрия на координатной плоскости

Координаты точек, симметричных относительно координатных осей

а) Пусть точка А (x; у)- произвольная точка координатной плоскости. Построим точку А1, симметричную точке А относительно оси ординат.

А1 (х, у)А (х, у )

Из построения, следует, что точки А и А1 имеют противоположные абсциссы и равные ординаты.

Таким образом, точки, симметричные относительно оси ОУ, имеют противоположные абсциссы и равные ординаты.

б) Пусть В (х; у)- произвольная точка координатной плоскости. Построим точку В1, симметричную точке В относительно оси абсцисс.

Из построения следует, что точки В и В1 имеют равные абсциссы и противоположные ординаты.

Таким образом, точки, симметричные относительно оси ОХ, имеют одинаковые абсциссы и противоположные ординаты.

Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции, то есть по координатам точек графика функции можно судить о расположении графика функции в координатной плоскости. Например, каждая точка графика функции y = x² симметрична точке этого же графика относительно оси ординат, поэтому ось ординат является осью симметрии графика функции y = x².

Использование осевой симметрии при построении графиков функций, содержащих модуль

Использование осевой симметрии при построении графиков функций вида y = f(x).

Для исследования возможностей использования осевой симметрии при построении графиков функций вида y = f(x) решим следующие задачи:

Задача №1. Построить график функции y = 2x - 6.

Решение. Построение графика функции y=2x-6 начнем с построения графика функции y =2x- 6.

Графиком функции у = 2х – 6 является прямая линия.

Рассмотрим указаны координаты некоторых точек графика функции y = 2x – 6.

х -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 у -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Составим указаны координаты точек графика функции y=2x-6 с такими же абсциссами.

х -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 у 12 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10

- Точки с неотрицательными ординатами графика функции y=2x-6 являются и точками графика функции y=2x-6 , то есть часть графика функции y=2x-6, которая находится выше оси ОХ, является и частью графика функции y=2x-6 (точки с положительными ординатами расположены в первой и второй координатных четвертях, то есть выше оси абсцисс).

- Точки с отрицательными ординатами графика функции y=2x-6 симметричны точкам графика функции y=2x-6 относительно оси ОХ, следовательно, часть графика функции y=2x-6, расположенная ниже оси ОХ, симметрична части графика функции y=2x-6 относительно оси ОХ.

Вывод: график функции y=2x-6 можно получить из графика функции y=2x-6 по следующему алгоритму:

1. Построим график функции y=2x-6.

2. Часть графика, которая находится выше оси ОХ, оставим без изменений, а часть графика, расположенную ниже оси ОХ, отразим симметрично относительно оси ОХ.

Аналогичные рассуждения можно провести для любой из выше перечисленных функций.

Итак, пусть М(х ;у) – произвольная точка графика функции у = f(x). Если ордината точки М неотрицательна, то точка М является также и точкой графика у = f(x). Поэтому часть графика функции у = f(x), которая находится выше оси абсцисс, является частью графика функции у = f(x). Любая точка М графика функции у = f(x) с отрицательной ординатой симметрична точке графика у = f(x) относительно оси абсцисс. Следовательно, часть графика функции у = f(x), находящаяся в нижней полуплоскости, симметрична части графика функции у = f(x) относительно оси ОХ.

Таким образом, алгоритм построения графика функции вида у = f(x) состоит в следующем:

1. Построим график функции у = f(x).

2. Часть графика, которая находится выше оси ОХ, оставим без изменений, а часть графика, расположенную ниже оси ОХ, отразим симметрично относительно оси ОХ.

Приведем пример построения графика функции по полученному алгоритму.

Преобразуем выражение.

Построим график функции.

Построение:

• Построим график функции.

• Построим график функции , который получается смещением графика функции на одну единицу влево вдоль оси ОХ.

• Построим график функции. Его получим смещением графика функции на одну единицу вверх вдоль оси ОУ.

• Построим график функции.

Часть графика функции , которая находится выше оси ОХ, оставим без изменения, часть графика функции , расположенную в нижней полуплоскости, отразим симметрично относительно оси ОХ.

Замечание. Область значений каждой из функций, заданных формулами и - множество неотрицательных чисел, ,, следовательно, графики функций и совпадут, также совпадут и графики функций и.

2. Использование симметрии при построении графиков функций вида у = f(x).

Для исследования возможностей использования осевой симметрии при построении графиков функций вида у = f(x) решим следующую задачу.

Задача №2. Построить график функции у = 2lхl - 6

Воспользуемся графиком функции

Рассмотрим указаны координаты некоторых точек графика функции y = 2x – 6.

X -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 y -20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Составим указаны координаты точек графика функции y=2x - 6 с такими же абсциссами.

Х - 7 - 6 - 5 - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 У 8 6 4 2 0 -2 - 4 -6 - 4 -2 0 2 4 6 8

Что точки графика функции с неотрицательными абсциссами являются и точками графика функции y=2x - 6, действительно, модуль неотрицательного числа есть само это число. Следовательно, часть графика функции , расположенная правее оси ОУ, совпадает с частью графика функции y=2x - 6. (Точки с неотрицательными абсциссами расположены в первой и четвертой координатных четвертях, то есть правее оси ОУ).

Анализируя данные, замечаем, что точки с противоположными абсциссами имеют равные ординаты ( модули противоположных чисел равны, поэтому и значения функции для них также будут равными), следовательно, в координатной плоскости расположены симметрично относительно оси ординат.

Вновь сравнивая данные, замечаем, что координаты точек графика функции с отрицательными абсциссами заменены в координатами точек, расположенными в координатной плоскости симметрично точкам графика функции при х > 0 относительно оси ОУ.

Таким образом, график функции можно получить из графика функции по следующему алгоритму:

1. Построим график функции.

2. Оставляем часть графика, расположенную правее оси ОУ, и отражаем ее симметрично относительно оси ОУ.

Задача №3

Построить график функции.

Рассмотрим график функции. Область определения функции - множество неотрицательных чисел.

Х 0 1 2 3 4 9 16 25 36 У 0 1 2 3 4 5 6 Указаны координаты некоторых точек графика функции

Составим в которой указаны координаты некоторых точек графика функции у =. Область определения функции у = - множество действительных чисел. Модули противоположных чисел равны, поэтому значения функции у = для противоположных значений аргумента также равны.

Х -36 -25 -16 -9 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 9 16 25 36 У 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6

Видно, что при х графики функций и у = совпадают. При х<0 точки графика функции у = симметричны точкам графика функции относительно оси ординат. Поэтому, график функции у = можно получить из графика функции по следующему алгоритму:

1. Построим график функции.

2. Отразим построенный график симметрично относительно оси ОУ.

Аналогичные рассуждения можно провести для любой из изученных в школьном курсе алгебры 7-8 функций.

Таким образом, алгоритм построения графика функции y = f(x) состоит в следующем:

1. Построим график функции у = f(x).

2. Оставим часть графика, расположенную правее оси ординат, то есть у = f(x), где х , и отразим ее симметрично относительно оси ОУ.

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ

1. Построим график функции.

Построение.

а) Построим график функции γ =.

б) Построим график функции γ = : оставим часть графика, расположенную правее оси ОУ и отразим ее симметрично относительно оси ОУ.

в) Построим график функции γ = +3 с помощью смещения графика функции γ = на 3 единицы вверх вдоль оси ОУ.

г)Построим график функции γ =. Часть графика функции γ = +3, которая находится выше оси ОХ, оставим без изменений, а часть графика, расположенную в нижней полуплоскости, отразим симметрично относительно оси ОХ.

2. Построим график функции

Построение: а) Построим график функции.

б) График функции получаем из графика функции у = х – 2 по следующему правилу: часть графика, которая находится выше оси ОХ, оставим без изменений, а часть графика, расположенную ниже оси ОХ, отразим симметрично относительно оси ОХ.

1 в) График функции получим смещением графика функции на 2 единицы вниз вдоль оси ординат.

г) График функции из графика функции по правилу: часть графика функции - 2, расположенную выше оси ОХ, оставим без изменений, а часть графика, расположенную ниже оси ОХ, отразим симметрично относительно оси ОХ.

3. Построим график функции γ =

Построение : а) Построим график функции у =..

б) Построим график функции у = сдвигом графика функции у = на 1 единицу вниз вдоль оси ОУ..

в) Построим график функции : часть графика функции, которая находится выше оси ОХ, оставим без изменений, а часть графика функции, расположенную ниже оси ОХ, отразим симметрично относительно оси ОХ..

4. Построим график функции γ=.

Построение: а)Построим график функции γ =.

б) Построим график функции :график функции γ =, отражаем симметрично относительно оси ОУ.

в) График функции получим из графика функции сдвигом на одну единицу вниз вдоль оси ОУ.

г) Построим график функции. Часть графика функции , которая находится выше оси ОХ, оставим без изменений, а часть графика функции, расположенную ниже оси ОХ, отразим симметрично относительно оси ОХ.

5. Построим график функции.

Построение: а)Построим график функции.

б) Построим график функции смещением оси ОХ на 4 единице вверх.

г) Построим график функции : часть графика функции, которая находится выше оси ОХ, оставим без изменений, а часть графика функции, расположенную ниже оси ОХ, отразим симметрично относительно оси ОХ.

6. Построим график функции

Построение.

а)Построим график функции.

б) Построим график функции сдвигом графика функциина 2 единицы вправо вдоль оси абсцисс.

в) Построим график функции у =(lхl – 2)2: оставим часть графика, расположенную правее оси ОУ, и отразим ее симметрично относительно оси ординат.

Примеры построения графиков функций, содержащих модуль, в системе Microsoft Power Point

Примеры построения графиков функций γ = ,, , ,, у =(lхl – 2)2, выполнены в электронном варианте в системе Microsoft Power Point.

На слайдах демонстрируется поэтапный процесс построения перечисленных выше функций:

• построение графика исходной функции;

• сдвиг вдоль координатных осей;

• симметричное отражение относительно координатных осей.

Применение анимации при симметричном отражении графиков относительно координатных осей.

1. График исходной функции разбивается на части:

• часть графика, которая симметрично отражается относительно координатных осей,

• часть графика, которая в процессе построения отбрасывается,

• часть графика, которая в процессе построения остается неизменной

2. Все части графика объединяются : окно «Показ слайдов» «Настройка анимации» «Вход» «Появление», регулируются вкладки «Начало» и «Скорость».

3. С помощью возможностей программы Power Point строится симметричное отражение нужной части.

4. Для отбрасываемой части графика применяется эффект «растворения»: окно «Показ слайдов» «Настройка анимации» «Выход» «Растворение», регулируется вкладка «Скорость».

Применение эффекта анимации дает яркое наглядное представление о процессе построения графиков функций, содержащих модуль.

В (х;у)

В1 (х;-у)

4 y = x²

3 y = 2x – 6.

3 6 у=2x-6

3 y = 2x – 6.

γ = +3

γ = +3