Первые шаги в решении задач с параметрами

В классическом определении параметр – это некоторое фиксированное, но неизвестное число.

Впервые с параметрами в школьном курсе учащиеся встречаются при изучении линейных уравнений и неравенств.

Если в уравнении кроме неизвестных входят числа, обозначенные буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим.

Решить уравнение с параметром – это значит установить соответствие, с помощью которого для каждого значения параметра указывается множество корней соответствующего уравнения.

Следует отметить, что в настоящее время при изучении математики в общеобразовательных школах решению уравнений с параметрами не уделяется должного внимания. Поэтому при встрече с такого рода задачами на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения и на олимпиадах учащимся приходится действовать на свой страх и риск, полагаясь лишь на собственное логическое мышление. Увы, правильное логическое мышление от природы не даётся, - его у себя надо развивать даже людям, способным к математике.

В связи с этим, целью настоящей научной работы является исследование особенностей решения линейных уравнений с параметрами и разработка методических рекомендаций учащимся по выбору алгоритма нахождения их корней.

Виды линейных уравнений с параметрами

Линейные уравнения с параметрами и одной переменной

Уравнение вида a. x=b, где x- переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

В практике решения задач с параметрами, применительно к линейным уравнениям с одной переменной, уравнения с параметрами преимущественно встречаются двух видов:

- с одной переменной и одним параметром;

- с одной переменной и двумя параметрами.

К первому виду относятся уравнения, где значение одного из параметров (a или b) изначально задано условием или в уравнение входит только один параметр.

Примером могут служить уравнения вида: a. x=0; a. x=1;

5. x=b; a. x=а;

(a-1). x=а

Ко второму виду относятся уравнения, в которых значения параметров (a или b) изначально не определены, а обозначены буквами.

Примером могут служить уравнения вида: a. x=3b;

(a-1). x=b; a. x=b-5;

(a-2). x=6-b.

Линейные уравнения с параметрами и двумя переменными

Уравнение вида a. x+b. y=c, где x и y - переменные, a, b и c – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными.

В практике решения задач с параметрами, применительно к линейным уравнениям с двумя переменным, и уравнения с параметрами преимущественно встречаются двух видов:

- с двумя переменными и одним параметром;

- с двумя переменными и двумя параметрами.

К первому виду относятся уравнения, где значение двух из трех параметров (a, b или c) изначально заданы условием или в уравнение входит только один параметр.

Примером могут служить уравнения вида: a. x+y=0; a. x=3y; a. x-5y=8; a. x=аy;

(a-1). x=y

Ко второму виду относятся уравнения, где значение одного из трех параметров (a, b или c) изначально задано условием, а значения остальных двух параметров не определены, а обозначены буквами.

Примером могут служить уравнения вида: a. x+b. y=0; a. x=b. y;

(a-1). x=(b+5)y.

Следует отметить, что на данном этапе особенности решения линейных уравнений с параметрами и двумя переменными не являлись предметом исследований, поэтому их классификация приведена лишь в ознакомительном плане.

Особенности задач с параметрами

Все задачи с параметрами можно условно разбить на два класса.

К первому классу относятся задачи, в которых требуется решить уравнение при всех значениях параметра.

Ко второму классу – задачи, в которых нужно из всех значений параметра выделить те, при которых уравнение будет обладать некоторыми задаваемыми свойствами, например, будет выполняться при любом значении переменной, или вообще не будет иметь решений, или будет иметь только одно положительное или отрицательное решение и т. д.

Задачи с параметрами первого класса

В задачах первого класса нужно провести полное исследование решения, которое заключается, как правило, в обязательном рассмотрении следующих случаев решения уравнения:

- случай, при котором уравнение не имеет смысла;

- случай, при котором уравнение не имеет решения;

- случай, при котором уравнение имеет единственное решение или конечное число конкретных решений;

- случай, при котором уравнение имеет бесчисленное множество решений.

Ответ в задачах первого класса обычно формулируется следующим образом:

Ответ: уравнение при таких – то значениях параметров имеет корни, при таких – то значениях параметров – бесчисленное множество решений, решением уравнения является любое действительное число, при таких – то значениях параметров уравнение корней не имеет, при таких – то значениях параметров не имеет смысла.

Особенностью решения линейных параметрических уравнений данного класса является рассмотрение двух случаев: а) коэффициент при переменной равен нулю; в) коэффициент при переменной не равен нулю.

В качестве примера рассмотрим решение уравнения с одной переменной и одним параметром:

(a-1). x=а;

Решение уравнения сводится к рассмотрению двух случаев.

1) Если коэффициент при х равен нулю, т. е. а-1=0, а=1, то получим уравнение 0. х=1, которое не имеет решений.

2) Если а≠1, то х =.

Ответ: при а=1 - нет корней; при а≠1, х =.

В данном уравнении значение параметра – а, равное единице, обращает коэффициент (а-1) при переменной х в нуль.

В задачах с параметрами принято значение параметра, обращающего коэффициент при неизвестном (переменной) в нуль называть контрольным.

Так, например в уравнении:

(a+6). x=6; значение параметра – а. равное -6, является контрольным, так как обращает коэффициент (а+6) при неизвестном – х в нуль.

Пример 1.

Решение уравнения сводится к рассмотрению двух случаев.

Если m=0, уравнение имеет вид 0·x=1, которое не имеет корней.

Если m≠0, то можно разделить обе части уравнения на m, и уравнение имеет единственное решение x =.

Ответ: при m=0 уравнение не имеет решений, при m≠0 уравнение имеет единственное решение x =

Пример 2.

(n−1)x = n

Решение уравнения сводится к двум случаям.

Если коэффициент при x равен нулю, т. е. n−1=0, n=1, то получим уравнение 0·x=1, которое не имеет решений.

Если n≠1, то уравнение имеет единственное решение x =

Ответ: при n=1 не имеет решений, при n≠1 уравнение имеет единственное решение x =

Пример 3.

(b+3)=b+3

Решение уравнения сводится к рассмотрению двух случаев.

Определим контрольное значение параметра b, для чего приравняем коэффициент при неизвестном к нулю, т. е. b+3=0, b=−3 - контрольное значение. Исследуем и решим уравнение относительно найденного контрольного значения параметра.

Если b=−3, то получим уравнение 0·x=0, которое имеет бесчисленное множество решений.

Если b≠−3,то x = уравнение имеет единственное решение x=1.

Ответ: при b=−3 уравнение имеет бесчисленное множество решений, x-любое действительное число , при b≠3 x=1.

Задачи с параметрами второго класса

В задачах второго класса не следует проводить полного исследования решения задачи, а достаточно привести решение, которое приведет к ответу на поставленный вопрос задачи.

Вопрос в задачах второго класса формулируется, как правило, следующим образом:

Вопрос: При каком значении параметра уравнение:

-не имеет смысла;

- не имеет решения;

- имеет единственное решение или конечное число конкретных решений;

- имеет бесчисленное множество решений и т. п. ?

В качестве примера рассмотрим решение уравнения:

с вопросом задачи: При каком значении параметра - а уравнение не имеет корней?

Решение: При значении параметра – а, равном единице, знаменатель дроби уравнения обращается в нуль, поэтому уравнение не имеет смысла.

Ответ: при а=1 уравнение теряет смысл и не имеет корней.

В задачах с параметрами принято значение параметра, при котором уравнение имеет смысл называть допустимым.

В рассмотренном примере допустимыми значениями параметра – а являются все действительные числа кроме единицы.

Пример 1.

При каком значении параметра а корнем уравнения ax−100x=a−100 является любое число?

Решение

Преобразуем данное уравнение к виду (a−100)x=a−100, используя распределительное свойство умножения

Определим контрольное значение параметра: a−100=0, a=100

При a=100 уравнение имеет вид 0·x=0, решением которого является любое действительное число.

Ответ: при a=100 x-любое число.

Пример 2.

При каком значении параметра s уравнение (3−2s)x=0 имеет единственное решение?

Решение

Определим контрольное значение параметра: 3−2s=0, s=1,5

При s≠1,5 уравнение имеет один корень x =0

Ответ: при s≠1,5, уравнение имеет единственное решение.

Пример 3.

При каком значении параметра k, уравнение 2·x = не имеет корней?

Решение.

При k=−3 знаменатель дроби уравнения обращается в нуль, поэтому уравнение не имеет смысла.

Ответ: при k=−3 уравнение теряет смысл.

3. Методические рекомендации учащимся по выбору алгоритма решения линейных уравнений с параметрами

Рассмотрим решение вышеприведенных линейных уравнений с параметрами в общем виде.

Исследуем, сколько корней может иметь линейное уравнение с одним неизвестным ax = b.

1. Если a ≠0, b – любое число то уравнение имеет один корень x =

Определим знак корня

- корень положительный( x>0 ), если а и b – одинакового знака, т. е. a>0, b>0 или a<0, b<0.

- корень отрицательный,( x<0 ) если а и b – разных знаков, т. е. a>0, b<0 и a<0, b>0.

- корень нулевой (x=0), если a≠0, b=0.

2. Если а = 0, то

- при b ≠ 0 уравнение не имеет корней;

- при b = 0 уравнение имеет бесчисленное множество решений, корнем уравнения является любое действительное число (−∞

На практике удобно для решения линейных уравнений с одним неизвестным и одним параметром использовать таблицу 1.

Приведенная таблица является опорной при решении параметрических задач данного типа.

Опорная таблица для решения линейных уравнений с параметром и одним неизвестным.

Уравнение Решение Примеры

Уравнение Ответ

Уравнение не имеет решений, т. е. Ø Нет решений

Уравнение имеет бесчисленное множество решений, т. е. - любое действительное

<< число

Уравнение имеет единственный корень , т. е.

а - коэффициент при неизвестном Неизв. х свободный член/коэффициент при неизвестном с - свободный член

В более сложных или общих случаях, в том числе при решении линейных уравнений с одной неизвестной и двумя параметрами удобнее пользоваться алгоритмом, блок-схема.

Используя приведенный на блок-схеме алгоритм, учащиеся смогут всегда самостоятельно найти правильное решение, как для задач первого класса, так и второго.

Наряду с рассмотренными блок-схемой и таблицей часто для решения параметрических задач удобно использовать графический способ. В качестве примера рассмотрим решение следующей задачи:

Сколько решений имеет уравнение │2x-1│= a для различных значений параметра a?

Решение

Рассмотрим графическое решение данного уравнения

Введём функции y =│2x-1│ и y = a

1) y =│2x-1│

Нуль подмодульного выражения

2x -1=0

2x=1 x=0,5

y =│2x-1│= 2x-1, x>0,5= x 0,5 2

1-2x, x<0,5= x 0 -2

При а ≠ 0 имеем две ситуации:

• а > 0 – уравнение│2x-1│= а имеет два решения x=1, x=2 (общие точки пересечения графиков)

• a < 0 – уравнение │2x-1│= а не имеет решений.

При а = 0 исходное уравнение имеет единственный корень 0,5

Рассмотренное решение представлено.

1. Исследованы особенности решения линейных уравнений с параметрами и разработаны методические рекомендации учащимся по выбору алгоритма нахождения их корней.

2. На основе анализа литературных показано, что применительно к практике решения задач с параметрами наиболее часто встречаются линейные уравнения:

- с одной переменной и одним параметром;

- с одной переменной и двумя параметрами;

- с двумя переменными и одним параметром;

- с двумя переменными и двумя параметрами.

3. С использованием литературных данных исследованы особенности решения задач с параметрами первого и второго класса и даны понятия контрольного и допустимого значения параметров для линейных параметрических уравнений.

4. На основе проведенных исследований разработана опорная таблица для решения линейных уравнений с параметром и одним неизвестным и обобщенный алгоритм решении линейных уравнений с одной неизвестной и двумя параметрами. Кроме того рассмотрен вариант решения параметрического линейного уравнения графическим способом.