«Золотое» сечение и числа Фибоначчи

Вопрос о математических предпосылках прекрасного, о роли математики в искусстве волновал еще древних греков, причем свой интерес они унаследовали от предшествующих цивилизаций. В наше время геометрия- необходимый элемент общего образования и культуры- представляет большой исторический интерес, имеет серьезное практическое применение и обладает внутренней красотой.

Любуясь чудесными видами природы, красотой неповторимых памятников архитектуры, и прежде всего храмов и соборов Астраханского кремля, невольно задумываешься о постижении прекрасного.

Я выбрала данную тему, чтобы используя методы математики, исследовать критерии красоты и считаю ее актуальной, так как в наше беспокойное время общественных преобразований и реформ особенно необходимо познать и обрести гармонию.

«Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них- теорема Пифагора, другое- деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень. » Эти слова принадлежат немецкому математику и астроному Иоганну Кеплеру о « божественной пропорции»- золотом сечении.

Объектом исследования в данной работе выбраны «золотое» сечение и связанные с ним числа Фибоначчи.

Целью работы является исследование свойств золотого сечения и чисел Фибоначчи, установление закономерных связей между ними, а также изучение применения в растительном мире, искусстве и архитектуре.

Исторические сведения

Считают, что деление отрезка в отношении золотой пропорции открыл великий Пифагор в VI веке до нашей эры. Однако во многих египетских и ассирийских храмах и дворцах, построенных гораздо ранее, золотое сечение уже использовалось. Это заставляет предположить, что золотая пропорция была известна людям с незапамятных времен.

Известно, что теория отношений и пропорций была создана древними греками. Еще Фалес Милетский (VI век до н. э. ), находясь в Египте, вычислял высоты пирамид, измеряя их тень и сравнивая с тенью стержня, взятого за единицу длины, т. е. пользовался пропорцией. Евклид, опираясь на труды предшественников и главным образом на работы Евдокса(ок. 408-355 гг. до н. э. ) , в « Началах» изложил теорию отношений и пропорций, а также решение задачи о «золотом сечении» при построении правильных пяти- и десятиугольников и при построении правильных двенадцати- и двадцатигранников.

Греки и римляне не только широко использовали его в архитектуре и скульптуре, но и пытались как-то объяснить, почему золотое сечение производит наилучшее эстетическое впечатление.

В XV-XVI вв. снова появился большой интерес к «золотому сечению» в связи с тем, что оно довольно часто использовалось в искусстве и архитектуре. Л. Пачоли (1445-ок. 1514) посвятил этой пропорциональности книгу «Божественная пропорция». «Золотое деление» называют также гармоническим или делением в крайнем и среднем отношении.

Основные определения и свойства «золотого» сечения и чисел Фибоначчи

«Золотым» сечением называется такое деление отрезка, при котором большая часть так относится к целому, как меньшая часть к большей.

Пусть САВ и производит, как говорят, «золотое сечение» отрезка.

АС: АВ= СВ: АС (1)

Если длину отрезка АВ обозначить через а, а длину АС- через х, то а-х –длина отрезка СВ, и пропорция (1) примет вид:

, или. (2)

Получим квадратное уравнение:

Длина отрезка выражается положительным числом, поэтому из двух корней следует выбрать положительный

Число обозначается буквой в честь древнегреческого скульптора

Фидия (V век до н. э. ), в творениях которого это число встречается многократно и называется коэффициентом «золотого сечения». Число - иррациональное, оно записывается так:

=0,61803398 В практике пользуются приближением этого числа до тысячных 0,618, или до сотых 0,62, или до десятых 0,6.

Таким образом, части «золотого сечения» составляют приблизительно 62% и

38% всего отрезка.

Заметим, что

Для меньшей части отрезка имеем

Разделив теперь величину в золотой пропорции, получим:

Видно, что большая часть второй золотой пропорции совпадает с меньшей частью первой.

Итак, при последовательном делении целого в золотой пропорции имеет место геометрическая прогрессия ( ряд золотого сечения) со знаменателем , каждый член которой равен сумме двух последующих членов прогрессии:

Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой правильный пятиугольник- выпуклый и звездчатый. Совершенная форма этой геометрической фигуры радует глаз и разум. Звездчатый пятиугольник , называемый пентаграммой, буквально соткан из пропорций, и прежде всего золотой пропорции. Пусть окружность разделена на 5 равных частей. Соединяя последовательно точки деления, получим правильный пятиугольник, диагонали которого образуют пятиконечную звезду. Внутри этой звезды вновь образуется правильный пятиугольник, диагонали которого дают новую звезду, и т. д. Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС, В котором ( как вписанные в окружность углы, опирающиеся на дуги в 72°(360°:5) и 144°соответственно). Но , поэтому СD является биссектрисой в треугольнике АВС и отсекает от него подобный. Из подобия этих треугольников имеем

Учитывая, что , приходим к пропорции

, ( 4) т. е. «целое» (АВ) так относится к большей части (АD), как большая часть к меньшей (DВ). Иначе говоря, точка D делит отрезок АВ в «золотом сечении».

Принимая сторону исходного правильного пятиугольника за единицу AF=AD=1, полагая DB=x и, следовательно, АВ=1+х, из (4) приходим к уравнению (5) при а=1:

, (5) которое имеет единственный положительный корень

Поскольку , то находим x=DB=AE=EF=, AD=DC=CB=AF==1, ED=EG=.

Повторяя рассуждения для треугольника DGH, в котором DG=φ, видно, что стороны внутренней звезды будут равны , а стороны ее внутреннего правильного пятиугольника-. И т. д.

Таким образом, последовательность правильных пятиугольников и вписанных в них звезд образует ряд золотого сечения (3) при a=1:

1, , причем стороны правильных пятиугольников образуют ряд четных степеней:

, а стороны звезд – ряд нечетных степеней:

Наконец, если продолжить стороны правильного пятиугольника до пересечения, то получим звезду, сторона которой х находится со стороной исходного пятиугольника AF=1 в золотом отношении, т. е.

Итак, ряд золотого сечения можно неограниченно продолжить и в сторону увеличения, и в общем виде ряд золотого сечения будет иметь вид:

Ряд (6) является геометрической прогрессией со знаменателем.

Однако из бесконечного множества геометрических прогрессий ряд (6) отличается уникальным свойством, называемым аддитивным свойством:

Сумма двух соседних членов ряда равна следующему члену ряда:

В самом деле, поскольку

Благодаря аддитивному свойству ряд золотого сечения играет важную роль в архитектуре.

Заметим, что вместо ряда (6) удобнее рассматривать две его «половинки»: возрастающую геометрическую прогрессию со знаменателем

(8) и убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем :

Аддитивное свойство ряда (9) прекрасно иллюстрируется последовательностью вписанных друг в друга правильных пятиугольников и пятиконечных звезд: AD=AE+ED () DG=DK+KG () и т. д.

Правильный пятиугольник и пятиконечная звезда, образованная его диагоналями, обладают массой интересных свойств:

1. Пересекающиеся диагонали правильного пятиугольника делят друг друга в золотой пропорции

2. Сторона правильного пятиугольника, сторона вписанной в него пятиконечной звезды и сторона образованного звездой внутреннего пятиугольника также относятся в золотой пропорции

3. Стороны правильных пятиугольников и вписанных в них звезд образуют ряд золотого сечения (9)

4. Отрезки пятиконечной звезды

Связаны между собой всеми видами «древних» средних, а именно:

-арифметическое среднее;

-геометрическое среднее;

-гармоническое среднее.

5. Из всех равнобедренных треугольников только треугольник, у которого углы при основании (72°) вдвое больше угла при вершине (36°), обладает особым свойством: биссектриса угла при основании делит противоположную сторону в золотом сечении. Такой треугольник (например треугольник АВС) получил название «возвышенного».

Подведем некоторый итог: пятиконечная звезда (пентаграмма) наряду с золотой пропорцией содержит все «древние» средние. Такое необычайное пропорциональное строение пентаграммы, красота его внутреннего математического строения и являются основной красоты ее внешней формы.

Можно только догадываться, в какой восторг приводило пифагорейцев столь редкое обилие математических свойств в одной геометрической фигуре. Поэтому неудивительно, что именно пентаграмма была выбрана пифагорейцами в качестве символа жизни и здоровья.

Разделим теперь окружность на 10 равных частей. Соединяя подряд точки деления окружности, получим правильный десятиугольник, а соединяя точки деления через две,- звездчатый десятиугольник. Внутри звездчатого десятиугольника вновь образуется правильный десятиугольник, в который можно вписать новый звездчатый десятиугольник, и т. д.

Проведя радиусы в вершине десятиугольников, легко увидеть (именно увидеть глазами) целое созвездие пятиконечных звезд. А зная свойства последних, мы предчувствуем обилие золотых пропорций. Действительно, прежде всего заметим, что треугольник АОВ является возвышенным, поэтому , т. е. сторона правильного десятиугольника относится к радиусу описанной окружности R в золотой пропорции.

Далее, считая радиус окружности R=1 и учитывая свойства пятиконечной звезды, легко обнаружить весь ряд золотого сечения (9) в последовательности вписанных друг в друга звездчатых десятиугольников.

В частности на рис. б).

Еще одним результатом явилось то, что мы чисто геометрическим путем доказали равенство: , которое легко доказать и алгебраически, вспоминая формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

В нашем случае

Заметим, что обнаруженное нами созвездие вложенных друг в друга пятиконечных звезд позволило сразу увидеть ряд золотого сечения при десятикратном делении окружности и избавило от громоздких алгебраических выкладок.

Рассмотрим теперь ряд (8) золотого сечения:

и пользуясь аддитивным свойством ряда, будем выражать степени

Легко видеть, что коэффициенты при , также как и первые слагаемые, образуют последовательность натуральных чисел:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34, 55, 89, 144, 233, 377,(10) каждый член которой, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих членов, т. е. (11)

Последовательность (10) имеет древнюю историю. Она впервые была описана в 1202 г. в «Книге об абаке» итальянским купцом и математиком Леонардо из Пизы, известным более по прозвищу –Фибоначчи-сын доброй природы. С тех пор последовательность (10) называется рядом Фибоначчи, а ее члены –числами Фибоначчи.

Значительную часть вышеназванного трактата составляли задачи, одной из которых была задача о разведении кроликов и гласила: «Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца своего рождения. Так как первая пара в первом месяце дает потомство, удвой, и в этом месяце окажется 2 пары; из них одна пара, а именно первая, рождает и в следующем месяце, так что во втором месяце оказывается 3 пары; из них в следующем месяце 2 пары будут давать потомство, так что в третьем месяце родятся еще 2 пары кроликов, и число пар кроликов в этом месяце достигнет 5; » и т. д. В заключение Фибоначчи пишет: « мы складываем первое число со вторым, т. е. 1и 2; и второе с третьим; и третье с четвертым; и четвертое с пятым; и так одно за другим, пока не сложим десятое с одиннадцатым, т. е. 144 с 233; и мы получим общее число упомянутых пар кроликов, т. е. 377; и так можно делать по порядку до бесконечного числа месяцев».

Свое решение Фибоначчи дал для взрослой пары кроликов. Если же решать задачу для новорожденной пары, то мы получим полный ряд Фибоначчи (10) и к концу года будем иметь 233 пары кроликов.

Связь между «золотым» сечением и числами Фибоначчи

Но какое отношение задача о размножении кроликов имеет к золотому сечению? А вот какое. Если возьмем отношение последующего члена ряда (10) к предыдущему , то обнаружим, что это отношение с ростом k стремится к коэффициенту золотого сечения.

В самом деле,

Глядя на рисунок видно,

Процесс асимптоматического приближения отношения напоминает затухающие колебания маятника.

Рассмотрим цепную дробь

Обозначая эту дробь через x ›0, нетрудно увидеть то же самое x в знаменателе первой дроби. Поэтому , откуда получим уравнение для х: , которое имеет единственный положительный корень

Итак коэффициент золотого сечения можно представить в виде цепной дроби (12)

Выпишем подходящие дроби полученной цепной дроби:

и т. д.

Как видим, подходящие дроби, которые являются рациональными приближениями иррационального числа , равны отношениям соседних чисел Фибоначчи. Поэтому

Итак, отношение двух соседних чисел Фибоначчи есть рациональное приближение коэффициента золотого сечения,т. е.

Рекуррентное соотношение , которому подчиняются члены этой последовательности, является линейным. В общем виде такое соотношение может быть записано следующим образом:

Здесь постоянные коэффициенты, -общий член рекуррентной последовательности. Число k называют порядком соотношения (I)

Оно показывает, сколько предыдущих членов надо знать для вычисления. Например, соотношение Фибоначчи имеет второй порядок, рекуррентные формулы для арифметической и геометрической прогрессий- первый порядок.

Соотношение (I) позволяет выразить произвольный член последовательности без обращения к предыдущим. Для этого составим уравнение

(II) называемое характеристическим для (I), и находят его корни. Если корни уравнения (II) различны, то искомая формула для имеет вид:

Здесь числа определяются заданием первых k членов последовательности. Верность полученного результата проверяется непосредственно подстановкой. Может случиться, что среди корней характеристического уравнения есть равные между собой, например

Тогда в выражении (III) надо заменить сумму на

Применим описанный выше метод к выводу формулы для чисел Фибоначчи.

Запишем соответствующее характеристическое уравнение.

Его корнями являются числа и. Поэтому члены последовательности, удовлетворяющей данному рекуррентному соотношению, имеют вид:

Чтобы найти , воспользуемся тем, что первые два члена этой последовательности нам известны:. В результате приходим к системе

Из нее находим , и поэтому

Эта формула называется формулой Бине по имени получившего ее французского математика Жака Бине в 1843 г. , через 641 год после открытия ряда Фибоначчи и является формулой для вычисления n-го члена ряда Фибоначчи как функции его номера.

Свойства чисел Фибоначчи можно получить либо из рекуррентного соотношения , либо с помощью формулы Бине.

Например, чтобы доказать, что каждое третье из чисел Фибоначчи четное, удобнее пользоваться рекуррентной формулой. В самом деле, так как , то ясно, что сумма этих чисел четна. Поэтому нечетно как сумма четного и нечетного чисел, а нечетно как сумма нечетного и четного чисел. Но тогда снова четно как сумма двух нечетных чисел. Продолжая эти рассуждения дальше, видим, что четность чисел Фибоначчи идет в таком порядке: н, н, ч, н, н, ч,. Аналогично можно доказать, что каждое четвертое число Фибоначчи делится на 3, а каждое шестое- на 4 и т. д. Вообще числа, делящиеся на d, встречаются периодически. Далее из равенства следует, что НОД()= НОД(). Пятясь таким образом назад, придем к НОД()=НОД(1,1)=1, а поэтому каждые два соседних числа Фибоначчи взаимно- просты.

В то же время доказать, что сумма квадратов двух соседних чисел Фибоначчи снова является числом Фибоначчи, проще с помощью формулы Бине. В самом деле, из этой формулы следует, что

Поэтому

Наконец укажем еще одно представление коэффициента золотого сечения :

Не правда ли, все формулы (12, 13, 14) отличаются особой красотой, простотой и изяществом!

Итак, ряд золотого сечения( 8, 9) и тесно связанный с ним ряд Фибоначчи (10) обладают массой исключительных математических свойств, которые каким-то поразительным образом сошлись в этих феноменах.

Проявление пропорций «золотого» сечения и чисел Фибоначчи в природе, искусстве и архитектуре.

Одним из первых проявлений золотого сечения в природе подметил немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер(1570-1630гг. )

В 1850г. немецкий ученый А. Цейзинг открыл так называемый закон углов, согласно которому средняя величина углового отклонения ветки растения равна примерно 138°. Представим себе , что две соседние ветки растения исходят из одной точки( на самом деле это не так: в реальности ветки располагаются выше или ниже друг друга). Обозначим одну из них через ОА, другую через ОВ. Угол между лучами-ветками обозначим через α, а угол, дополняющий его до 360°, -через β.

Составим золотую пропорцию деления полного угла, считая, что угол β- большая часть этой величины.

Получаем квадратное уравнение:

Положительный корень.

Таким образом, величина среднего углового отклонения ветки соответствует меньшей из двух частей, на которые делится полный угол при золотом сечении.

Если внимательно рассмотреть веточку с листьями, то можно заметить, что основания черешков располагаются по винтовой линии, каждый следующий лист прикреплен выше и в сторону от предыдущего. Если соединить последовательно основания листьев ниткой, то она обовьется вокруг стебля по правильной винтовой линии. Проследив за расположением листьев на этой спирали, мы непременно увидим листья, которые расположены один над другим. Часть спирали, заключенная между двумя такими листьями, называется в ботанике «циклом». Для краткости и удобства обозначают листорасположение в виде дроби, в числителе которой число оборотов одного цикла спирали, а в знаменателе- число листьев в этом цикле, так, дробь показывает, что один цикл спирали трижды огибает стебель, и что в одном цикле 8 листьев. Эта же самая дробь выражает и угол расхождения двух соседних листьев. В рассматриваемом случае это окружности, т. е. 135°. Отсюда следует, что дроби выражают в сущности, одно и то же листорасположение, так как угол, равный окружности, дополняет до 360° угол, соответствующий окружности.

Различные числа получают потому, что в одном случае спираль закручивалась, например, справа налево, в другом –слева направо.

Каждый вид растений имеет свое листорасположение, вернее, угол расхождения листьев, который характерен не только для листьев, но и для расположения веток, почек, цветов, чашек внутри почек. Но этот угол не произвольный, а подчиняется определенному закону.

Во всем растительном мире наблюдается небольшое число типов листорасположения, выражающихся немногими дробями. Вот табличка наиболее распространенных типов листорасположения:

Первая дробь характеризует листорасположение злаков, липы, бука, березы.

Вторая- осоки, тюльпана, орешника, винограда, ольхи; третья- дуба, вишни, смородины, сливы; четвертая- капусты, малины, груши, тополя, редьки, льна, барбариса; пятая- ели, миндальника, облепихи и жасмина; шестая- для хвойных шишек. Почему именно так- неизвестно. Но уже давно подмечено, биологические дроби не произвольны, а представляют собой члены двух последовательностей, составленных из чисел Фибоначчи.

Например, семечки в корзинке подсолнуха расположены по спиралям, закрученным в двух направлениях. Аналогично расположены цветки в соцветии ромашки, чешуйки на многих шишках и т. д. При этом количество спиралей разных видов выражается, как правило, соседними числами Фибоначчи. Например, у ромашки количество спиралей, идущих в разных направлениях, может равняться 13 и 21, а у крупных подсолнухов- 55и 89. Число левых и правых спиралей равно двум соседним числам Фибоначчи, например 89 и 144, а их отношение с точностью 0, 00001 равно коэффициенту золотого сечения?

Число рядов листьев или цветков, ориентированных противоположно, отличается у разных растений, но чаще всего принимают следующие значения ( в числителе записано число длинных рядов, в знаменателе- коротких).

Начиная со второго члена этого ряда, в нем повторяется число , с каждым новым шагом выражаемое все более точно: , а это число и есть коэффициент золотого сечения.

Итак, «золотое» сечение является одним из основополагающих принципов природы. Биологические молекулы, цветы, листья и их расположение у растений, органы животных и человека, их тела и конечности- все демонстрирует четкие пространственные закономерности, которые непосредственно связаны с числами Фибоначчи, золотым сечением.

«Золотая» пропорция- понятие математическое. Но она является критерием гармонии и красоты, а это уже категория искусства. Идеально сложенное человеческое тело полностью удовлетворяет принципу «золотого» сечения и поэтому с древних времен скульпторы и художники наряду с другими пропорциями используют в своих произведениях пропорции «золотого» сечения.

Глядя на Венеру Боттичелли, мы видим, что места сочленения отдельных элементов скелета- колени, поясница, шея- являются точками золотого сечения. Исследования показали, что линия глаз, на которой человек привык концентрировать свое внимание, слушая собеседника, делит длину лица в отношении золотого сечения. Поэтому при взгляде на любой предмет мы невольно направляем глаза в точку золотого деления, которая кажется нам привычной, естественной, а потому красивой.

Наука и искусство переплетались в полотнах мастеров Возрождения.

Живопись переходила в начертательную геометрию, а геометрия- в искусство. Одним из примеров служит картина Рафаэля « Обручение Марии»

Линия горизонта, проходящая через середину дверного проема ротонды, делит вертикаль картины точно в отношении золотого сечения. Таким образом, картина Рафаэля- не только результат порыва художника, но и плод его скурпулезных геометрических построений.

Закон золотого сечения является основным формообразующим законом поэзии, действующим во все времена и на всех уровнях построения поэтической формы. Различные функции золотого сечения в художественных формах- будь то поэтическое или музыкальное произведение-были впервые отмечены Э. К. Розеновым в докладе «Закон золотого сечения в поэзии и музыке» Золотая пропорция, возникнув единожды в художественном целом ,порождает семейство себе подобных в частях целого, т. е. порождает теоретически бесконечный ряд золотого сечения. Таким образом, ряд золотого сечения обусловливает структурное самоподобие целого и его частей, т. е. является морфологическим фракталом. Прекрасный пример поэтического фрактала, построенного на самоподобии пропорций золотого сечения, дает стихотворение Пушкина « Из Пиндемонти. »

Это стихотворение, содержавшее сокровенные мысли Пушкина и только по цензурным соображениям отсылавшее в заглавии к малоизвестному итальянскому поэту Пиндемонти, написано в 1836 г. , менее чем за год до гибели поэта, когда Пушкин находился на вершине поэтического мастерства. Структура стихотворения построена на числах Фибоначчи 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, отчего закон золотого сечения выполнен в нем с предельной точностью.

Прежде всего в структуре стихотворения бросается в глаза излом 13 строки- слово Никому оторвано Пушкиным от родного стиха и помещено отдельно. Тем самым четко выделяется граница между двумя основными смысловыми частями стихотворения: их ценности- низость земного раболепия(13 строк) и мои ценности- высота духовной свободы. (8 строк) Части находятся в золотой пропорции. Первая часть, в свою очередь, делится золотой пропорцией по принципу антитезы: описание мнимых ценностей (8 строк) и отвержение их автором(5 строк)- « Все это видите , ль слова, слова, слова». И так далее. Смыслы стихотворения дробятся на все меньшие и меньшие самоподобные части, вплоть до трех, двух и даже одной строки.

Итак, это стихотворение- прекрасный пример морфологического и семантического фрактала, построенного на ряде золотого сечения.

С одной стороны, тот же ряд золотого сечения обеспечивает структурное самоподобие целого и его частей, т. е. выступает как морфологический фрактал. С другой стороны, тот же ряд золотого сечения определяет и смены смыслов художественного текста, что позволяет назвать его семантическим фракталом.

Давно замечено, что каждая эпоха толкует поэта на свой лад, каждый человек несет в себе своего Пушкина, но и в течении жизни этот «свой» Пушкин у каждого человека является разным. А. В. Волошиным совместно с аспирантом М. Абрамовым были изучены все 792 стихотворения русского гения. (20322 строки). Выяснилось, что 11503 строки или 57% приходятся на стихотворения с золотым сечением и 3396 строк или 17%- на стихотворения с зеркальной симметрией. Все эти данные свидетельствуют о равновесии гармонических и дисгармонических начал в поэзии Пушкина, а также лучшим доказательством того, что подлинное искусство живет на границе Космоса и Хаоса.

Архитектура- удивительная область человеческой деятельности. В ней тесно переплетены наука, техника и искусство. Только соразмерное, гармоничное единство этих начал делает возводимое человеком сооружение памятником архитектуры, неподвластное времени, подобно памятникам литературы, ваяния, музыки.

Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э. ) – храм Афин.

Размеры Парфенона хорошо изучены. Известно, что фасад Парфенона вписан в прямоугольник со сторонами 1:2, а план образует прямоугольник со сторонами 1 и √5.

Известно, что диагональ прямоугольника имеет размер √5, следовательно, прямоугольник фасада и является исходным в построении геометрии Парфенона.

Многие исследователи, стремившиеся раскрыть секрет гармонии Парфенона, искали и находили в соотношениях его частей «золотую» пропорцию.

В работе В. Смоляка, посвященной пропорции Парфенона, установлен закономерный рад золотых пропорций. Приняв за единицу ширину торцевого фасада храма, В. Смоляк получил прогрессию, состоящую из 8 членов ряда:

1; ф; ф2; ф3; ф4; ф5; ф6; ф7; где ф = 0,618.

Тщательные измерения Парфенона показывали, что в нем нет прямых линий, а поверхности не плоские, а слегка изогнутые. Зодчие Греции знали, что строго горизонтальная линия и плоская поверхность наблюдателю издалека представляются как прогнувшиеся по середине.

Известный русский архитектор М. Казаков в своем творчестве широко использовал «золотое» сечение. Его талант был многогранным, но в большей степени он раскрылся в многочисленных осуществленных проектах жилых домов и усадеб. Например «золотое» сечение можно обнаружить в архитектуре здания сената в Кремле, в Голицынской больнице. Еще один шедевр Москвы – дом Пашкова является одним их наиболее совершенных произведений архитектуры В. Баженова.

Рассмотрим пропорциональный строй одной из жемчужин древнерусской архитектуры- храм Василия Блаженного в Москве. За «целое» a=1 принята высота храма. Пропорции храма определяются восемью членами ряда золотого сечения:. Многие из членов ряда неоднократно повторяются в пропорциях этого затейливого архитектурного сооружения, но всегда благодаря аддитивному свойству золотого сечения мы уверены в том, что части сойдутся в целое, т. е.

В книгах о «золотом» сечении можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими «золотое» сечение, то с других точек зрения они будут выглядеть иначе. «Золотое» сечение дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.

Следуя законам подобия я исследовала фотографии некоторых астраханских церквей на наличие в них пропорций «золотого» сечения.

Были исследованы фотографии Успенского собора Астраханского Кремля, Храм святого равноапостольного князя Владимира, Духосошественский храм, церковь в честь св. муч. Иоанна Воина.

Учитывая вышесказанное, на снимках не удалось найти полный ряд «золотого» сечения, однако, несмотря но положение наблюдателя, я обнаружила наличие исследуемых пропорций в пропорциях куполов всех названных объектов. И так как «золотая» пропорция обладает свойством образовывать целое «семейство» себе подобных «золотых» пропорций, то, я считаю, опираясь на свойства исследуемых понятий, можно утверждать, что в пропорциях названных церквей присутствует ряд «золотого» сечения.

Современные научные открытия показали, что «золотое» сечение составляет основу многих природных явлений, что связано с глубокими естественно- научными закономерностями.

Изучив исследуемые понятия я пришла к выводу, что «золотое сечение» является одним из основополагающих принципов природы. Биологические молекулы, цветы, листья и их расположение у растений, органы животных и человека, их тела и конечности- все демонстрирует четкие пространственные закономерности, которые непосредственно связаны с числами Фибоначчи,

« золотым сечением», так как отношение двух соседних чисел Фибоначчи есть рациональное приближение коэффициента « золотого сечения».

«Золотая» пропорция- понятие математическое. Но она является критерием гармонии и красоты, а это уже категория искусства. Только соразмерное, гармоничное единство этих начал делает возводимое человеком сооружение памятником архитектуры, неподвластное времени, подобно памятникам литературы, ваяния, музыки.

Я считаю, что цель работы достигнута. В результате исследования были доказаны свойства изучаемых понятий, установлена связь между ними, рассмотрены примеры проявления в живой природе и применение в искусстве и архитектуре. Анализ пропорций памятников культуры позволяет сделать важный вывод исследования: «золотое» сечение и связанные с ним числа Фибоначчи являются критериями гармонии и красоты, т. е. красота внутреннего математического строения и является основной красотой внешней формы.

Выполняя эту работу, я узнала много нового и интересного о закономерностях окружающей действительности и поняла, что математика окружает нас повсюду.

При выполнении данного исследования я приобрела навыки работы с научной книгой, овладела знаниями, выходящими за рамки школьной программы, ознакомилась с некоторыми методами и приемами научного исследования, почувствовала интерес к поисково- исследовательской деятельности.

-Материалы исследования могут быть использованы во внеклассной работе, а также являться основой при разработке новых проектов.