Изучение способа замощения плоскости равносторонними пятиугольниками

Становление здания всей современной науки, не только математики, начиналось с изучения геометрических объектов, с систематизации геометрических знаний. Геометрия-это и метод познания, и образ мышления, и язык, широко применяемый в настоящее время не только в науке и технике, но и в повседневной жизни.

« С помощью математики мы только откроем дверь, ведущую в другой мир, и будем любоваться садом, лежащим за ней»- говорил Мориц Корнелиус Эшер, создавая геометрические объекты, которые пользуются спросом и считаются «писком» моды до сих пор! Паркеты с давних времён привлекали к себе внимание людей. Им, в частности, посвящены многие замечательные картины М. Эшера. Математический паркет из многоугольников позволяет создавать как высокохудожественные творческие замыслы, так и воплощать в предложенных схемах дизайнерские решения.

Паркетом называют замощение плоскости многоугольниками, при котором вся плоскость оказывается покрытой ими и любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо вообще не имеют общих точек.

Паркет называют правильным, если он составлен из равных правильных многоугольников. Простейшие паркеты открыты пифагорейцами около 2500 лет тому назад. Это примеры замощения плоскости равносторонними треугольниками, квадратами, шестиугольниками.

Углы правильного n- угольника равны 1800(n-2)/n.

Если в одной вершине паркета сходятся m правильных n-угольников, то должно выполняться равенство m ∙180(n -2)/ n= 3600. Отсюда получаем: m= 2n/ (n-2), где n € N, m € N.

Этапы построения пятиугольника Рейнхардта.

1. АВ - произвольный отрезок.

2. l- серединный перпендикуляр к нему.

3. e и с- биссектрисы углов.

4. окр. ( А;АВ) е=Е

5. окр. (В;АВ) с= С

6. окр. (С; АВ) l=D

7. ABCDE-искомый пятиугольник Рейнхардта.

Интересны некоторые элементы пятиугольника со стороной BC=a.

1. Из ∆OBC по теореме косинусов имеем:

BC2=OB2+OC2-2OB•OC•cos450 a2=•• OC•

4OC2-2aOC-3a2=0

OC= OE=- длины меньших диагоналей.

2. т. К- точка пересечения отрезков OD и EC.

∆OCE- прямоугольный и равнобедренный.

ОК=КС=, КС=КЕ=КО=.

ЕС=- длина большей диагонали.

3. Из ∆КСD по теореме Пифагора имеем:

DK2=CD2-KC2= a2-, DK=.

OD=DК+KO; OD=.

4. BD2=BO2+OD2=BC2+CD2BD=AD=.

5. AC=BE=.

Я изучила основные свойства пятиугольника Рейнхардта.

Свойства:

1. С=Е=900

Доказательство: Из ∆ODB: DB2=OB2+DO2 (по теореме Пифагора)

Из ∆BCD по теореме, обратной теореме Пифагора имеем:

BC2+CD2=BD2∆BDC-прямоугольный.

2. А+B+D=3600

Доказательство: Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 1800(n-2).

A+B+D+E+C=5400 (по 1 свойству) А+B+D=3600

3. Не существует окружности, описанной около пятиугольника Рейнхардта.

Доказательство: Методом от противного предположим, что если такая окружность существует, то окружность, проходящая через точки B,C,D должна иметь центр на диагонали BD, а окружность, проходящая через точки А, Е, D должна иметь центр на диагонали АD, что невозможно.

4. Не существует окружности, вписанной в пятиугольник Рейнхардта.

Доказательство:

Предположим противное, то есть окружность вписана в пятиугольник и касается всех его сторон в точках А1, B1, С1, D1, Е1 (А1 € АВ; В1 € ВС;

С1 € СD, D1 € DЕ; Е1 € ЕА). Пятиугольник Рейнхардта имеет единственную ось симметрии ОD. При симметрии относительно ОD пятиугольник и вписанная окружность отображаются в себя, поэтому DС1= DD1; СС1 = ЕD1; СВ1=ЕЕ1; ВВ1=АЕ1; А1В=А1А.

Используя равенство двух касательных, проведённых из точки к окружности и равенство сторон пятиугольника, получаем равенство всех отрезков, проведённых из точки к окружности и равенство сторон пятиугольника, получаем равенство всех отрезков, проведённых из точек касания в ближайшие вершины пятиугольника. Следовательно, углы пятиугольника равны между собой, что невозможно.

5. Площадь пятиугольника Рейнхардта равна площади квадрата со стороной, равной ОС.

Доказательство:

SABCDЕ=2(SDOB + SBCD). Пусть ОС=а.

ОВ=; S DOB=.

S BCD=.

SABCDE=2(.

6. Вершина квадрата BCDQ лежит на отрезке ОЕ.

Доказательство:

DBQ=DOQ (вписанные, опираются на одну дугу, причём DOQ=450=) т. Q € OE.

7. Расстояние от вершины D до точки пересечения диагоналей АС и ВЕ равно стороне пятиугольника.

Доказательство:

Пусть S= ACBE, тогда AOS CKS (по двум углам)

Следовательно, стороны этих треугольников пропорциональны:

8. Биссектриса EDS пересекает диагональ BE в точке L, которая принадлежит окружности с диаметром BD.

Доказательство:

DLB=900, ∆ EDS-равнобедренный т. L лежит на окружности.

9. Биссектриса С и биссектриса ODE пересекаются в точке Р, лежащей на стороне АЕ пятиугольника.

Доказательство:

Рассмотрим декартову систему координат с началом в т. О и пусть лучи ОВ, ОD являются осями координат соответственно.

является перпендикулярным к биссектрисе СР. Используя уравнение прямой с нормальным вектором a1 (x-x0) + b1(y-y0) =0, получаем уравнение биссектрисы СР

Аналогично,. Уравнение биссектрисы DP:

Уравнение прямой АЕ:

Координаты т. Р. удовлетворяют уравнению прямой, следовательно, биссектрисы указанных углов пересекаются на стороне АЕ пятиугольника.

10. <ЕDС=4<ВАС=2<ЕСВ.

Доказательство: Пусть <ВАС= α, тогда <АSО=90°-α =<СSD.

∆ СSD- равнобедренный, следовательно,

11. Диагональ АС является биссектрисой <ВСЕ трапеции АВСD.

Характерное свойство геометрического паркета, составленного из таких многоугольников: четверки соседних пятиугольников можно двумя способами сгруппировать в вытянутые шестиугольники. Семейства таких шестиугольников заполняют всю плоскость во взаимно ортогональных направлениях.

Таким образом, изучив равносторонние пятиугольники Рейнхардта с двумя прямыми углами, я убедилась, что ими можно замостить всю плоскость.

Кроме того, я обнаружила способы построения некоторых паркетов, получила эстетическое наслаждение от их красоты, увидела широкое применение паркетов в жизни.

Практическая значимость исследования заключается в возможности использования полученного материала во внеклассной работе, как части элективного курса, в работе математического кружка, при изучении темы «Выпуклые n-угольники», а также при разработке проектов в строительных организациях: для укладки тротуарной плитки, для устройства паркетных полов, в отделке фасада зданий способом нанесения рисунка по сырой штукатурке.