Теория вероятностей

Никто не станет отрицать тот факт, что жизнь человека зачастую протекает в условиях неопределенности. Выходя утром из дома, мы не уверены на сто процентов в том, что днем не будет дождя. Очень трудно предвидеть уровень цен, исход спортивных состязаний, не говоря уже о сфере азартных игр (карты, рулетка, лотерея и т. п. ), где результат решающим образом зависит от случая. Неопределенность или случайность сопутствует и более серьезным занятиям: производя физические измерения, мы редко получаем одинаковые результаты, несмотря на неизменность условий измерений; срок службы однотипных приборов неодинаков, более того, его невозможно предсказать заранее; еще в большей степени это относится к сроку жизни отдельного человека. Если проанализировать с этой точки зрения процессы, происходящие в природе или в жизни человека, то мало найдется областей, где все происходит предсказуемо, неслучайно, или, как говорят детерминировано. Неопределенность в той или иной степени присуща любому реальному явлению. В этих условиях человеку, принимающему решение, приходится оценивать эту степень неопределенности: если она незначительна, то он действует, пренебрегая ею; когда же степень неопределенности велика выбор тактики поведения становится далеко непростым делом. Заметим при этом, что человек, оценивая степень неопределенности того или иного события, зачастую делает это интуитивно, на основе предыдущего опыта («с утра небо чистое, следовательно, дождь маловероятен»). К оценке степени неопределенности в более сложных случаях и имеет отношение наука, называемая теорией вероятности.

Кое-что из прошлого теории вероятности

Еще первобытный вождь понимал, что у десятка охотников «вероятность» поразить копьем зубра гораздо больше, чем у одного. Поэтому и охотились тогда коллективно.

Неосновательно было бы думать, что такие древние полководцы, как Александр Македонский или Дмитрий Донской, готовясь к сражению, уповали только на доблесть и искусство воинов.

Несомненно, они на основании наблюдений и опыта военного руководства умели как-то оценить «вероятность» своего возвращения «со щитом» или «на щите», знали, когда принимать бой, когда уклониться от него. Они не были рабами случая, но вместе с тем они были еще очень далеки от теории вероятностей.

Позднее, с опытом, человек все чаще стал планировать случайные события- наблюдения и опыты, классифицировать их исходы как невозможные, возможные и достоверные. Он заметил, что случайностями не так уж редко управляют объективные закономерности. Вот простейший опыт- подбрасывают монету. Выпадение герба или цифры, конечно, чисто случайное явление. Но при многократном подбрасывании обычной монеты можно заметить, что появление герба происходит примерно в половине случаев (кто и когда проделал первый опыт с монетой, неизвестно. Естествоиспытатель Ж. Л. Л. Бюффон в восемнадцатом столетии 4040 раз подбрасывал монету- герб выпал 2048 раз. Математик К. Пирсон в начале нынешнего столетия подбрасывал ее 24000 раз- герб выпал 12012 раз. Лет 20 назад американские экспериментаторы повторили опыт. При 10000 подбрасываниях герб выпал 4975 раз). Значит, результаты бросания монет, хотя каждое из них является случайным событием, при однократном повторении подвластно объективному закону. Для тех, кто обладает склонностью к исследованиям, появляется соблазн накопить побольше таких закономерностей и попытаться построить теорию.

Рассмотрим задачи теории вероятности, возникшие в области азартных игр.

К азартным играм относили бросание шестигранных игральных костей. Слово «азарт» по-арабски означает трудный. Так арабы называли азартной игрой комбинацию очков, которая при бросании нескольких костей могла появиться лишь единственным способом. Например, при бросании двух костей трудным считалось появление в сумме двух или двенадцати очков.

В 1494 году итальянский математик Л. Пачиоли (1445-1514) опубликовал энциклопедический труд по математике, где разбирал следующую ситуацию.

Два игрока договорились играть в кости до момента, когда одному из них не удастся выиграть m партий. Но игра была прервана после того, как первый выиграл a(a

Сам Пачиоли верного решения не нашел. Он предлагал разделить ставку в отношении a:b, не учитывая числа партий, которые нужно еще выиграть, чтобы получить всю ставку.

Спустя без малого пятьдесят лет другой итальянский математик Д. Кардано(1501-1576) подверг рассуждения Пачиоли справедливой критике, но и сам предложил ошибочное решение. Прошло еще 100 с лишним лет, и в 1664 году задача была, наконец, решена в ходе переписки между двумя выдающимися французскими математиками Б. Паскалем(1623-1662) и П. Ферма(1601-1665).

Впервые основы теории вероятностей были изложены последовательно французским математиком П. Лапласом (1749-1827) в книге «Аналитическая теория вероятностей». В предисловии автор писал: «Замечательно, что наука, которая началась с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знанияВедь по большей части важнейшие жизненные вопросы являются на самом деле лишь задачами из теории вероятностей».

Случайный эксперимент, события

События, операции над событиями

Теория вероятностей изучает математические модели случайных экспериментов. Под случайным подразумевает такой эксперимент, исходы которого неоднозначно определяются начальными условиями. Простейшим примером такого эксперимента является подбрасывание монеты. В этом эксперименте возможны лишь два исхода: выпадение «герба» или «решки»,- при этом точно предсказать результат до проведения эксперимента невозможно.

Событиями называют подмножества пространства элементарных исходов Ω. Событие называется достоверным, если в результате эксперимента оно неопределенно происходит; событие называется невозможным, если в результате эксперимента оно не может произойти; событие называется случайным, если в результате эксперимента оно может произойти, а может не произойти.

Пусть А и В какие-нибудь события (подмножества Ω).

Объединением, или суммой этих событий называется объединение множеств А и В. Пересечением или произведением событий называется их теоретико-множественное пересечение. Аналогично разностью событий А и В называется разность А\В соответствующих множеств. Противоположным к событию А называется дополнение Ā=Ω\А множества А.

Появление событий в результате эксперимента означает, что элементарный исход , а это имеет место, если или. Поэтому можно сказать, что объединение (сумма) событий происходит тогда и только тогда, когда происходит, хотя бы одно из этих событий.

Аналогично, пересечение (произведение) событий происходит тогда и только тогда, когда это события происходят совместно.

Разность А\В событий происходит тогда и только тогда, когда происходит А, но не происходит В.

Противоположное событие Ā происходит тогда и только тогда, когда само А не происходит.

Говорят, что событие А влечет событие В, или А содержится в В, если А является подмножеством В:. События называются равными, или эквивалентными, если они совпадают как множества: А=В.

События называются несовместными, если их пересечение есть невозможное событие. События из некоторой совокупности А1,А2,,Аn, называют попарно несовместными, если любые два из них несовместны.

Несколько событий называются благоприятными наступлению события А, если при наступлении этих событий наступает событие А.

Классическое вероятностное пространство

Классическое определение вероятности

Если к наступлению события А благоприятными являются k частных случаев из n возможных событий, образующих полную группу равновозможных и попарно несовместных, то вероятностью события А называется число постоянное

Пример. Найти вероятность того, что наугад выбранное число не большее 20 делится: a) на 5; b) на 3.

Решение:

Равновозможные события образуют группу попарно несовместных событий. Пусть событие А состоит в том что наугад выбранное натуральное число не больше 20 делится на 5, событие В состоит в том что наугад выбранное натуральное число не больше 20 делится на 3.

Согласно классическому определению вероятности: число благоприятных событий наступлению события А равно 4 (это числа: 5,10,15,20). Общее количество чисел из данного промежутка равно 20, k=4,n=20. Тогда число благоприятных событий наступлению события В равно 6 (это числа: 3,6,9,12,15,18). Общее количество чисел из данного промежутка равно 20, k=6,n=20. Тогда

Элементы комбинаторики

Комбинаторика изучает количество комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Наиболее употребительные из них:

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

Pn=n!, где

Заметим, что удобно рассматривать 0! полагая, по определению, 0!=1.

Пример 1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение. Искомое число трехзначных чисел

Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

Пример 2. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

Решение. Искомое число сигналов

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний

Пример 3. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Решение. Искомое число способов

Подчеркнем, что числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством

Пример 4. Сколько различных трехбуквенных слов можно составить из букв слова РОМБ? Причем даже слова, не имеющие смысла.

Решение.

Если решать эту задачу с помощью рассуждений, то можно построить схемы:

Итого 24 способа.

Если применить комбинаторику, то решение будет выглядеть так: первую букву можно выбрать 4 способами; вторую букву можно выбрать 3 способами; третью букву можно выбрать 2 способами.

Пример 5. В течение 30 дней сентября было 12 дождливых дней, 8 ветреных, 4 холодных, 5 дождливых и ветреных,3 дождливых и холодных, 2 ветреных и холодных, 1 дождливый и ветреный и холодный. В течение скольких дней в сентябре стояла хорошая погода?

А={множество дождливых дней}

В={множество ветреных дней}

С={множество холодных дней} n(А)=12 n(В)=8 n(С)=4 n()=5 n()=3 n()=2 n()=1 n= n(А)+ n(В)+ n(С)- n()-n()-n()+n()=12+8+4-5-3-2+1=15=n() n=30-15=15 дней хорошей погоды.

Примеры непосредственного вычисления вероятностей

Пример 1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Решение. Обозначим через А событие – набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 10. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию А лишь один исход (нужная цифра лишь одна). Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

Пример 2. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их на удачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение. Обозначим через В событие – набраны две нужные цифры. Всего можно набрать столько различных цифр, сколько может быть составлено размещений из десяти цифр по две, т. е.

Таким образом, общее число возможных элементарных исходов равно 90. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию В лишь один исход. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

Пример 3. В отдел уголовного розыска поступило сообщение о том, что 5 неизвестных лиц взломали сейф кассы предприятия и похитили крупную сумму денег. Свидетели успели заметить, что грабители сели в автобус, следующий по маршруту в соседний город. Об этом сразу же была поставлена в известность милиция. Как только автобус остановился на вокзале, к его дверям подошел инспектор уголовного розыска и запретил кондуктору открывать дверь автобуса. Тот сообщил инспектору, что в автобусе 40 пассажиров. Обыск может привести к значительной задержке автобуса. Инспектор успокоил кондуктора: «Мне достаточно проверить 6 пассажиров и сможете ехать дальше!». Он предложил шестерым выбранным наугад пассажирам зайти в кабинет начальника вокзала.

Один преступник был обнаружен сразу – в его кармане нашли пачку денег. Он назвал сообщников, и дело было закончено.

Что руководило инспектором: риск или трезвый расчет?

Решение. Пусть событие А-«среди случайно вызванных 6 пассажиров есть хотя бы один преступник». Пусть событие Аi –«среди случайно вызванных 6 пассажиров есть i преступников» (i=1,2,3,4,5). Тогда

А=А1+А2+А3+А4+А5.

Ясно, что

По формуле

Значит,. Вероятность, что среди 6 пассажиров окажется, по крайней мере, один преступник, оказывается больше.

По-видимому, инспектор умел пользоваться в необходимых случаях теорией вероятностей. Такое гипергеометрическое распределение может с успехом использоваться во многих практических ситуациях: при исследовании распространения инфекционных заболеваний, при контроле качества изделий и т. д.

Теорема умножения вероятностей

Рассмотрим два события: А и В, пусть вероятности и известны. Как найти вероятность совмещения этих событий, то есть вероятность того, что появиться событие А и событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема умножения.

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равно произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Пример 1. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков – конусный, а второй – эллиптический.

Решение. Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событиеА),

Вероятность того, что второй валик окажется эллиптический (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик – конусный, т. е. условная вероятность

По теореме умножения, искомая вероятность

Заметим, что, сохранив обозначения, легко найдем:

, что наглядно иллюстрирует справедливость равенства.

Независимые события. Теорема умножения для независимых событий

Пусть вероятность события В не зависит от появления события А. Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:

Подставив в , получим

, т. е. условная вероятность события А в предположении, что наступило событие В , равна его безусловной вероятности. Другими словами, событие А не зависит от события В.

Итак, если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В; это означает что свойство независимости событий взаимно.

Для независимых событий теорема умножения имеет вид , т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Пример 2. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием ( событие А) равна 0,8, а вторым ( событие В) – 0,7.

Решение. События А и В независимые, поэтому по теореме умножения, искомая вероятность

Пример 3. Найти вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет.

Решение. Вероятность появления герба первой монеты (событие А)

Вероятность появления герба второй монеты (событие В). события А и В независимые, поэтому искомая вероятность по теореме умножения равна

Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1,В2,,Вn, которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности РВ1(А),, РВn(А) события А. Как найти вероятность события А? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В1,В2,,Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Эту формулу называют «формулой полной вероятности».

Пример 1. В первой коробке содержаться 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке – 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.

Решение. Обозначим через А событие «из первой коробки извлечена стандартная лампа».

Из второй коробки могла быть извлечена либо стандартная лампа (событие В1) , либо нестандартная ( событие В2).

Вероятность того, что из второй коробки извлечена стандартная лампа,

Вероятность того, что из второй коробки извлечена нестандартная лампа,.

Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена стандартная лампа, равна.

Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена не стандартная лампа, равна.

Искомая вероятность того, что из первой коробки будет извлечена стандартная лампа, по формуле полной вероятности равна

Вероятность гипотез. Формулы Бейеса

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместимых событий В1,В2,,Вn,образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность события А определяется по полной формуле полной вероятности

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменилось (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности

Найдем сначала условную вероятность. По теореме умножения имеем

Заменив здесь по формуле (*), получим

Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т. е. условная вероятность любой гипотезы Вi (i=1,2,,n) может быть вычислена по формуле

Пример. На трех дочерей – Анну, Ольгу и Татьяну – в семье возложена обязанность мыть тарелки. Поскольку Анна старшая, ей приходится выполнять 40% всей работы, остальные 60% Ольга и Татьяна делят поровну. Когда Анна моет посуду, вероятность для нее разбить одну тарелку равна 0,02, для Ольги -0,03 и для Татьяны -0,02. Родители не знают, кто мыл тарелки, но они слышали звон разбитой тарелки. Какова вероятность того, что посуду мыла Анна?

Решение.

Пусть событие А={Анна или Ольга или Татьяна разбили тарелку}

Можно сделать предположения:

B1={мыла посуду Анна }

B2={мыла посуду Ольга }

В3={мыла посуду Татьяна }

По условию задачи имеем :

Практическая часть

Задача 1. В 9 б классе 30 человек, из них 12 мальчиков, остальные девочки, известно, что к доске Ольга Евгеньевна должна вызвать двоих учащихся. Какова вероятность того, что это девочки?

Решение :

Пусть А-событие, заключающееся в том, что из 30 учащихся к доске вызваны две девочки. Р(А)- вероятность этого события. Найдем число всех исходов испытания. Это число равно. Число благоприятствующих исходов – это число способов выбора двух девочек класса из 18, оно равно

Задача 2. Пять учеников из выпускного 9-го класса пришли на экзамен, не подготовившись к нему. Вероятность сдачи экзамена без подготовки равна. Найти вероятность того что: а) два ученика из пяти сдадут экзамен; б) не менее трех учеников сдадут экзамен

Решение

Применим формулу а) Вероятность того, что событие А1- появится в 5 случаях 2 раза (вероятность появления события , и вероятность не появления события равна:

б) А2- событие, заключающееся в том, что не менее трех учеников из пяти сдадут экзамен. Для этого события находим вероятность как сумму отдельных вероятностей:

Задача3. В нашей гимназии в параллели 8 классов обучаются 80 школьников. Ученики 8 а класса составляют 30 % от общего числа школьников в параллели, ученики 8 б класса -40% и 8 в класса 30% соответственно. В 8а классе количество заболевших составило 15 % , в 8б классе – 35%, в 8в классе – 20%. Всех заболевших отпустили по домам. На первом этаже наш завуч – Тамара Михайловна остановила одного из школьников. Какова вероятность того, что он ученик 8 а класса? Какова вероятность того, что он ученик 8б и 8в классов соответственно?

Решение:

Пусть событие В={появление заболевшего ребенка}

Выдвигаем гипотезы:

А1={ученик из 8а класса}

А2={ученик из 8б класса}

А3={ученик из 8в класса}

По условию задачи имеем:

Вероятность того, что он ученик 8 а класса:

Вероятность того, что он ученик 8 б класса:

Вероятность того, что он ученик 8 в класса:

Ответ: 18%, 58%, 24%

Задача4. Из 300 лампочек поступивших на склад к завхозу, Валериею Идрисовичу, предполагается израсходовать на первый этаж 80 лампочек, на второй этаж 100, на третий этаж 120 лампочек. После поступления товара, пришло уведомление о том, что из партии ламп для первого этажа вероятность поступления бракованных ламп составляет 2 %, для ламп второго этажа 4%, для ламп третьего этажа – 1%. Из поступившей партии взяли одну лампу. Какова вероятность того, что наугад взятая лампа, предназначенная для третьего этажа бракованная?

Решение:

Обозначим В= наугад взята бракованная лампа

А1= из партии для первого этажа

А2= из партии для второго этажа

А3= из партии для третьего этажа

События А1, А2, А3 образуют полную группу несовместных событий

Условные вероятности того, что возьмем бракованную лампочку, равны

Задача 5. Настя и Гуля ходят в тир стрелять. Вероятность того, что цель будет поражена, при стрельбе Насти составляет 0,78%, а Гули - 0,85 %. По мишени Настя и Гуля сделали по 2 выстрела. Определить вероятность того, что цель не будет поражена.

Решение:

Вероятность попадания в цель каждой из девочек не зависят от результатов стрельбы каждой из них, поэтому рассматриваемые события А1(попадание при стрельбе Насти) и А2(попадание при стрельбе Гули) независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям А1 и А2(т. е. вероятности промахов), соответственно равны

А- событие, состоящее в том, что цель не поражена.

Тогда искомая вероятность

Задача 6. Ученик 9 б класса Кудинов Антон при подготовке к экзамену по геометрии выучил 47% билетов, а по английскому 71% билетов. Какова вероятность того, что он сдаст оба экзамена с первого раза?

Решение:

Вероятность сдачи экзамена по геометрии составляет 0,47, а вероятность сдачи экзамена по английскому – 0,71.

Тогда искомая вероятность

Методы теории вероятности применяются в различных отраслях естествознания и техники: в теории надежности, в теоретической физике, астрономии, общей теории связи и многих других науках, способствуя их прогрессу, а также служат для обоснования математической и прикладной статистики, которая используется для планирования и организации производства, для обеспечения их наибольшей эффективности в условиях рынка.