Фундаментальные законы

Рене Декарт

Падение капли дождя и листа с дерева, волны на море и течение рек, полёт птиц, ветер, работа всех видов транспорта и подъемных кранов, вращение Земли вокруг своей оси и обращение вокруг Солнца, плавание на воде и в воде и отдача при выстреле, прыжок парашютиста и полет автоматической межпланетной станции — все это механические явления и процессы. Механика является той областью физики, с которой мы чаще, чем с другими встречаемся в жизни. Вот почему закон движения Ньютона представляет большую научную ценность. Со времени установления Ньютоном основного закона движения (закона пропорциональности силы и ускорения) прошло три столетия. За это время закон множество раз проверялся в различных условиях и всякий раз полученные результаты подтверждали его истинность.

Многое может заинтересовать в механике. Как движется в вакууме материальная точка – тело, размерами которого при данном движении можно пренебречь, досконально известно со времён Исаака Ньютона. Например, тело, брошенное под углом к горизонту, движется по параболе. Гораздо сложнее описать его движение в воздухе, воде или другой среде. Даже великий Ньютон был не в состоянии точно ответить на вопрос, какова будет траектория тела с учётом сопротивления воздуха. Поэтому мне самому захотелось выявить закономерность движения тела в среде с сопротивлением. Ньютон сделал много полезного для того, чтобы выяснить, как надо решать подобные задачи. Он, наряду с Архимедом и Леонардо да Винчи, Паскалем и Бернулли, стал одним из первых исследователей механики жидкостей и газов - гидроаэромеханики. В то время новая наука требовала нового языка и нового метода. Ньютон создал его. Каждый учёный, по его мнению, должен строить свои умозаключения по совершённо определённым правилам. Обсуждая их, великий мыслитель подчеркнул, что «свойства тел познаются не иначе, как с помощью экспериментов».

Но не всегда можно провести натурный эксперимент. Кроме того, возможности решать возникающие в физике математические задачи традиционными методами, аналитически (находить точные решения) ограничены. Да и в школе мы решаем задачи с действием постоянной силы, например, силы тяжести, а в жизни приходится решать задачи с действием переменных сил, переменного ускорения, для решения которых в условиях класса невозможно поставить эксперимент. Поэтому в физике важным методом исследования является моделирование и численный эксперимент. Тем более, что современные компьютерные технологии предоставляют большое количество средств и возможностей для проведения таких экспериментов. И что интересно, именно для решения задач баллистики (т. е. расчета траекторий полёта снарядов и составления артиллерийских таблиц) предназначалась первая в мире действующая электронная вычислительная машина «ЭНИАК», которую в 1945 году сконструировали в Пенсильванском университете американские инженеры Д. П. Эккерт Д. У. Моучли. А в нашей стране на БЭСМ-2 (Быстродействующей электронной счётной машине), созданной под руководством Сергея Алексеевича Лебедева и серийно выпускаемой с 1956 года. выполнялись расчёты при запуске искусственных спутников Земли и первых космических кораблей с человеком на борту. В настоящее время после многочисленных и систематических запусков искусственных спутников, космических кораблей упомянутые исследования не утрачивают своей актуальности. По мнению видного ученого академика Л. И. Седова: «Все достижения в современной технике, авиации, ракетной технике, в морском деле и вообще в промышленности основаны на использовании и приложении результатов и методов ньютоновской механики». Именно механика и законы Ньютона в её основе составляют базу научно-технического прогресса. Очень часто при расчётах, исследованиях, экспериментах приходится заменять реальные физические процессы их компьютерными моделями. Компьютерное моделирование позволяет улучшить понимание общих закономерностей изучаемых процессов, недоступных в реальных экспериментах. Компьютерные эксперименты являются экологически чистыми и требуют меньших материальных затрат. Именно поэтому своё исследование я провёл методом компьютерного моделирования и численного эксперимента.

Теоретические основы мехаики

Фундаментальные законы механики

Механика – наука об общих законах движения тел. Механическое движение – это перемещение тел в пространстве относительно друг друга с течением времени.

Древнегреческий ученый Аристотель в своих научных трактатах изложил взгляды на сущность механического движения. И сформулировал положения, смысл которых таков:

Без силы нет движения.

Чем больше действующая на тело сила, тем больше скорость его движения.

Первым, кто усомнился в истинности утверждений Аристотеля был Галилео Галилей. Галилей первым ввел применение опыта для подтверждения или опровержения гипотез в физике. Галилей на основе многочисленных опытов и выводов из них впервые в 1632 году открыл инертность как свойство физических тел, т. е. способность их сохранять состояние покоя или движения без действия на них внешних сил. До Галилея никто также не усомнился в правильности второго тезиса Аристотеля. А он рассуждал так: более тяжелое тело падает быстрее легкого, а что будет, если их соединить? Тогда легкое будет тормозить тяжелое, а тяжелое ускорять легкое, и вместе они должны падать с промежуточной скоростью. Однако два тела вместе составят третье, которое будет тяжелее каждого из них. Значит, оно должно падать со скоростью большей, чем скорость и первого и второго тела. Получены выводы, взаимно исключающие друг друга. Галилей вынужден был поставить эксперимент. Для проверки своего предположения он, по преданию, наблюдал падение со знаменитой Пизанской башни разных тел (пушечное ядро, мушкетная пуля и т. д. ) Все эти тела достигали земли практически одновременно. Таким образом Галилей впервые доказал, что земной шар сообщает всем телам вблизи поверхности Земли одно и то же ускорение. Впоследствии были созданы вакуумные насосы, которые позволили осуществить действительно свободное падение тел. Простой опыт с трубкой Ньютона демонстрирует: и дробинка, и пробка, и птичье перышко при отсутствии сил сопротивления воздуха падают в трубке одновременно.

Итак, если сопротивление воздуха отсутствует, то:

тела, одновременно начавшие падать с одной и той же высоты, одновременно и приземляются;

скорость тел по мере их падения непрерывно возрастает, так что в каждый момент времени их скорости равны;

увеличение скорости каждого тела за единицу времени происходит на одно и то же значение, т. е. тела падают с одинаковыми ускорениями.

Таким образом, если Аристотель не учитывал действие на движущееся тело сил сопротивления, то Галилей изучал движение тел при условии, что силы сопротивления по сравнению с движущими пренебрежимо малы – свободное падение.

На основе многочисленных опытов Галилея установлены следующие законы свободного падения тел:

Свободное падение тел есть движение тел из состояния покоя под действием силы тяжести.

Свободное падение тел есть равноускоренное движение. Ускорение свободного падения равно 9,8 м/с2.

Путь, проходимый свободно падающим телом в первую секунду падения, численно равен половине ускорения.

Скорость свободно падающего тела пропорциональна времени падения.

Пути, проходимые свободно падающим телом, пропорциональны квадратам времени падения.

Пути, проходимые свободно падающим телом в последовательные равные промежутки времени, пропорциональны ряду последовательных нечетных чисел.

Позже было установлено значение нормального ускорения свободного падения 9,80665 м/с и то, что ускорение зависит от географической широты места на Земле и от неравномерного распределения массы в объеме земного шара.

Первым, кто поставил и решил задачу о движении тела под действием всех сил (движущих и сил сопротивления среды), был Исаак Ньютон.

Ньютон, систематизировав научные знания своих предшественников и современников, в том числе Галилея, Декарта и других, ввел понятие массы тела, создал новый математический аппарат (дифференциальное и интегральное исчисления), провел многочисленные опыты и вычисления и сформулировал знаменитые законы движения, опубликованные им в 1687 г. в работе «Математические начала натуральной философии».

В ней есть рисунок под номером 213, замечательный тем, что при всей своей простоте он позволяет понят глубокую связь между «небесной» и «земной» механикой. В подписи к этому рисунку говорится: «Брошенный камень отклонится под действием силы тяжести от прямолинейного пути и, описав кривую траекторию, упадет наконец на землю. Если его бросить с большой скоростью, то он упадет дальше». Продолжая эти рассуждения, Ньютон приходит к выводу, что если бы не сопротивление воздуха, то по достижении достаточной скорости траектория сделается такой, что камень может вообще никогда не достигнуть поверхности Земли, а станет двигаться вокруг нее, «подобно тому, как планеты описывают в небном пространстве свои орбиты». Нельзя не вспомнить этой цитаты особенно сейчас, после многочисленных запусков искусственных спутников и космических кораблей.

Сравним положения теории Аристотеля и выводы Ньютона.

Аристотель Ньютон

Скорость пропорциональна Ускорение пропорционально приложенной силы приложенной силе

Связь же между силой и скоростью очень сложная. В самом деле, при действии сил сопротивления, но без учета их изменения, имеем:

чем больше движущая сила, тем больше скорость движения тела;

при неизменной движущей силе скорость тела возрастает с течением времени;

при возрастании движущей силы скорость растет не беспредельно, наступает установившееся движение, т. е. движение с постоянной скоростью;

при постоянной движущей силе скорость также растет до некоторого момента времени, а в дальнейшем остается неизменной, хотя сила по-прежнему действует.

Вот почему закон движения Ньютона представляет большую научную ценность:

ускорение одного и того же тела прямо пропорционально равнодействующей всех сил, к нему приложенных;

ускорения разных тел под действием одной и той же равнодействующей обратно пропорциональны массам этих тел.

Математически обе закономерности записываются так: , где - ускорение, - сила, m - масса

Эмпирические закономерности

На нашей планете всякое перемещение происходит или в воздухе, или в воде. Любой опыт показывает, что на движущееся тело всегда действует сила, противоположная направлению его движения относительно окружающей среды. Эта сила называется лобовым сопротивлением. Именно из-за неё для поддержания равномерного движения любого транспортного средства необходима работа двигателя: если его выключить, тело потеряет скорость и остановится. Отчего зависит эта сила?

Модуль силы сопротивления зависит от свойств среды (жидкости или газа), в которой движется тело – от вязкости. Вязкость характеризует трение между соседними слоями жидкости или газа, скользящими друг относительно друга. Вязкость воздуха, например, приводит к возникновению циркуляции вокруг крыла самолёта. Опыт показывает, что циркуляция вокруг крыла возникает следующим образом. Вблизи острой задней кромки крыла возникают вихри, в которых вращение воздуха происходит против часовой стрелки. Эти вихри увеличиваются, отрываются от крыла и уносятся набегающим потоком воздуха. При этом остальная масса воздуха вблизи крыла начинает совершать вращение в противоположную, образуя циркуляцию вокруг крыла по часовой стрелке. Циркуляционный поток, складываясь с набегающим, ускоряет движение над крылом и замедляет под крылом.

По закону Бернулли давление жидкости или газа больше там, где скорость меньшая, и меньше там, где скорость большая. Отсюда очевидно, что возникает разность давлений, а значит и сил давлений на крыло: снизу сила давления на крыло больше, чем сверху. Эта разность сил давлений и дает нам равнодействующую, направленную вертикально вверх и называемую подъемной силой крыла. Течение, которое удовлетворяет этому уравнению, называется несжимаемым, если скорости их движения малы по сравнению со скоростью звука. Для скоростей больших половине скорости звука расчёты по этой формуле будут содержать значительные погрешности. В аэродинамике, которая является разделом гидроаэромеханики, рассматривают движение с дозвуковыми скоростями , т. е. до 340 м/с (1200 км/ч). для сжимаемых течений на характеристики тел влияет число Маха M,

M=, введённое австрийским физиком Эрнстом Махом. Установлено, что при скоростях, равным или близких к скорости звука, сопротивление атмосферы движению тел в ней пропорционально не квадрату, а кубу скорости движения. И наоборот, при скоростях порядка нескольких метров в секунду сопротивление среды пропорциональной первой степени скорости движения.

На тело наряду с подъёмной силой, как уже было упомянуто, действует сила лобового сопротивления. Главная особенность силы сопротивления состоит в том, что она возникает только при относительном движения тела и окружающей среды. Сила трения покоя в жидкостях и газах полностью отсутствует. Это приводит к тому, что усилием рук можно сдвинуть тяжелое тело, например баржу, в то время как сдвинуть с места, скажем гусеничный трактор усилием рук просто невозможно.

Если тело неподвижно относительно вязкой среды (относительная скорость равна нулю), то сила сопротивления равна нулю. С увеличением относительной скорости сила сопротивления растет медленно, а потом все быстрее и быстрее.

Благодаря тому что сила сопротивления растет с увеличением скорости, любое тело в вязкой среде при действии на него какой-нибудь постоянной силы, например силы тяжести, в конце концов начинает двигаться равномерно. Можно указать две причины возникновения этой силы. Во-первых, вклад в лобовое сопротивление дают касательные силы внутреннего трения, действующие со стороны потока жидкости на прилипший к поверхности тела пограничный слой (сопротивление трения). Во-вторых, при движении тела в жидкостях или газах происходит обтекание тела средой. Лобовое сопротивление возникает вследствие различия в силах давления на переднюю и заднюю части тела вследствие несимметричности картины обтекания вязкой жидкости даже симметричного тела. В этом случае позади тела образуется область пониженного давления, которая замедляет скорость движения (сопротивление формы). Чем больше такая область, тем больше торможение. Поэтому телу стараются придать такую форму, чтобы область пониженного давления была меньше - обтекаемую форму. (рис. 3, рис. 4) Так, например, шарик для гольфа не гладкий, а в ямочках, которые позволяют уменьшить торможение и увеличить полет мячика. Причём сила, действующая на тело в воздушном потоке, зависит только от относительной скорости движений тела и воздуха и не зависит от того, движется ли тело в покоящемся воздухе или же воздух движется относительно неподвижного тела (принцип относительности движения). Сила сопротивления среды движению в ней выражается следующим образом: Fc=kpSV2, где Fc – сила сопротивления среды; k – коэффициент сопротивления, от формы движущегося в среде тела; p – плотность среды; S – площадь поперечного сечения контура в направлении, нормальном к направлению движения, или, как её иногда называют, миделевое сечение; V - скорость движения тела относительно среды.

Наиболее выгодная в этом отношении сигарообразная форма, близкая к форме падающей капли дождя или рыбы.

Если модуль силы F0, то конусообразная насадка к цилиндру уменьшает силу сопротивления от ½ до ¼ F0 в зависимости от размера угла при вершине конуса. Сглаженная насадка доводит силу сопротивления до 1/5F0. Наконец, если придать телу сигарообразную форму, то притом же поперечном сечении сила сопротивления уменьшается до 1/25 F0 (рис. 5). По сравнению с телом сигарообразной формы сила сопротивления для шара (имеющего такую же площадь поперечного сечения) больше в несколько раз, а для тонкого диска, плоскость которого перпендикулярна направлению скорости - в несколько десятков раз. Особенно велика сила сопротивления, возникающая при движении полусферы вогнутой стороной вперед. По этой причине парашюты имеют часто форму полусферы. Благодаря лобовому сопротивлению человек может безопасно прыгать с большой высоты, используя парашют. При затяжном прыжке парашют раскрывают не сразу. На первой стадии прыжка сопротивление воздуха определяется формой и размерами тела человека. Согласно экспериментальным измерениям, коэффициент a в этом случае составляет примерно 0,2 кг/м. Пусть масса человека равна 70 кг, тогда скорость его падения будет 60 м/с. Такая скорость устанавливается после того, как парашютист пролетит около 500 м. Но если бы он продолжал падать с той же скоростью, то разбился бы при ударе о землю.

Специальная форма и большая площадь поперечного сечения парашюта уменьшают скорость падения до 6 м/с. С момента раскрытия парашюта сопротивление падению резко возрастает и начинается замедленное движение с отрицательным ускорением, непрерывно убывающим до нуля. В момент, когда сила сопротивления уменьшится до силы тяжести, вновь начинается равномерное снижение парашютиста, Эта скорость вполне безопасна: с нею приземляется человек, когда прыгает без всякого парашюта с высоты около 2 метров.

На основании изложенного можно сделать вывод, что модуль силы сопротивления зависит от:

размеров, формы и состояния поверхности тела;

вязкости среды;

относительной скорости движения тела и среды.

Экспериментальные методы в аэродинамике

Для экспериментального исследования законов аэродинамики используется один из двух подходов: либо летательный аппарат, оборудованный соответствующей измерительной аппаратурой, совершает полет, либо неподвижное тело, оборудованное измерительными датчиками, обтекается воздушным потоком. Как отмечалось выше, в отношении явлений обтекания оба случая эквивалентны.

Практически все экспериментальные исследования аэродинамических явлений проводятся на маломасштабных моделях, а затем переносятся в натурные условия. Выбор метода аэродинамического исследования зависит от его цели, однако наиболее простым, дешевым и надежным средством экспериментальных исследований является аэродинамическая труба. Модель выставляется в искусственно создаваемый воздушный поток таким образом, чтобы можно было измерить действующие на нее силы и моменты сил или исследовать особенности течения около модели. Летные испытания используются главным образом для окончательной проверки расчетных данных теории и результатов испытаний в аэродинамических трубах. Еще одним способом, используемым в некоторых специальных исследованиях, является испытание моделей в свободном полете. Модель выстреливается в длинную трубу, в которой давление может изменяться в широком диапазоне. Скорость движения модели определяется посредством сопоставления фотоснимков, полученных в различные моменты времени, а распределения температур и давлений телеметрическими средствами передаются на регистрирующий блок. В таких испытаниях можно исследовать проблемы устойчивости полета.

Компьютерное моделирование и численный эксперимент

Условие задачи

Чтобы провести своё исследование я рассмотрел следующую задачу, приведённую.

«Парашютист прыгнул с самолёта, летящего со скоростью 180 км/ч, на высоте 1300 м и раскрыл парашют на высоте 600 м. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости, а коэффициент зависит от массы и формы тела (для человека среднего веса и роста ). Определить время падения парашютиста до момента раскрытия парашюта, зависимости скорости и перемещения от времени и траектория полёта. »

Построение математическая модели.

Исходные предположения.

Начальная скорость парашютиста равна скорости самолёта, то есть парашютист вываливается из самолёта.

Нет ветра, следовательно движение происходит в одной плоскости.

Поверхность земли плоская.

Всякое механическое движение можно рассматривать как сумму двух независимых движений: горизонтального и вертикального, что реализуется введением двух осей координат: OX и OY.

Анализ сил действующих на парашютиста в точке с координатами X и Y

По II второму закону Ньютона

экспериментально установлено, что при малых скоростях силы сопротивления Fсопр=k1v k1 – коэффициент сопротивления, определяется свойствами среды и формы тела. При более высоких скоростях

Fсопр=k2v2

Если k2v2>>k1v, то влиянием k1v можно пренебречь и k=k2

, где единичный вектор, определяющий направление скорости.

Анализ размерности

Разложим силу на горизонтальную и вертикальную составляющие и получим

, т. к. угол = 0

ox: , (

Если же угол наклона вектора скорости к линии горизонта ((0, то начальная скорость

Начальные условия:

Численный метод решения (дискретизация)

Разобьём время падения парашютиста на небольшие промежутки. Предполагаем, что в течение этого промежутка времени координаты точки местонахождения парашютиста, векторы скорости и ускорения остаются постоянными, а затем скачком меняются на новые. В момент времени t: x(t), y(t), vx(t), vy(t)

В момент времени t + (t x(t+(t)=x(t)+Vx(t)((t y(t+(t)=y(t)+Vy(t)((t

Непрерывные физические процессы заменены на дискретные, математическая модель перестроена в модель, к которой применимы компьютерные технологии.

Построение компьютерной модели

Для построения компьютерной модели я использовал электронные таблицы Exсel и среду программирования Turbo Pascal.

Преобразовал исходные формулы и заполнил таблицу.

Составил алгоритм и программу на Паскале. Текст программы приведён в Приложении 6

. Тестирование модели для случая, когда сопротивление среды отсутствует, k=0, показало, что результат согласуется с теоретическими данными. Траекторией падения при k=0 является парабола. В результате численного эксперимента для k=0,004 получил таблицы расчётов и графики, приведённые в Приложении.

Выбор шага и оценка погрешности

Как оценить точность полученного решения? Исходя из каких соображений устанавливать величину шага? Существуют строгие математические методы оценки погрешности вычислений. Я воспользовался простым приёмом, часто применяемым на практике. Уменьшая (t в 2 раза рассмотрим значения высоты тела через 20 секунд после начала падения (рис. 8 ).

При уменьшении шага от 0,02 до 0,01 значения высоты отличаются всего на 6 см. Следовательно, (t=0,01 можно считать приемлемым. Не стоит стремиться выбрать шаг как можно меньше, т. к. чем меньше шаг тем больше вычислений выполняет компьютер при расчётах, а т. к. каждое значение округляется, то погрешность вычислений в этом случае увеличивается.

(t 1 0,5 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01

Y 517,52 514,76 513,09 512,53 512,25 512,09 512,03

Анализ полученных результатов и выводы

График зависимостей проекций скорости на оси OX и OY от времени при k=0,004. показывает, что проекция скорости на ось абсцисс быстро становится близкой к нулю. Начиная с некоторого момента, парашютист начинает спускаться практически вертикально, и если бы не было земли он продолжал бы свое вертикальное движение. Траектория движения не похожа на параболу, которую изображают в учебниках по физике.

При увеличении коэффициента сопротивления в 10 раз (k=0,04) установившаяся скорость уменьшается и уменьшается время на достижение вертикального полёта (Приложение 3).

Конечно, один компьютерный эксперимент ни в чем не убеждает. Поэтому я, используя построенную компьютерную модель, провёл исследование, меняя угол наклона вектора скорости, начальную скорость, начальную точку движения.

В следующем эксперименте я изменил коэффициент сопротивления с k=0,004 до k=0,1 на высоте 600 метров (раскрытие парашюта). С момента раскрытия парашюта сопротивление падению резко возрастает и начинается замедленное движение с отрицательным ускорением. Непрерывно убывающим до нуля. В момент, когда сила сопротивления уменьшится до силы тяжести, вновь начинается равномерное снижение парашютиста, но теперь уже со скоростью 9 м/с.

Далее я применил построенную компьютерную модель для численного эксперимента стрельбы из пушки считая, что скорость снаряда 600 м/с, начальная высота 0 и меняя угол наклона к линии горизонта. Результаты эксперимента показали, что максимальная дальность полета достигается при угле 300, а не 450, как при отсутствии сопротивления среды (Приложение 3).

Проведено исследование движения тела под действием силы тяжести и силы сопротивления. Все поставленные цели достигнуты. Получены графики зависимостей скорости, перемещения и траектории движения при различных начальных условиях, коэффициентах сопротивления, начальной скорости, угла наклона скорости к линии горизонта и первоначальной высоты.

Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие выводы:

Движение под действием силы тяжести в воздухе отличается от свободного падения в вакууме (при k=0).

Траектория падения тела в воздухе не является параболой.

Какой бы не была начальная скорость и как бы не была она направлена, через некоторое время движение под действием силы тяжести в среде с сопротивлением становится практически вертикальным и равномерным.

Скорость такого почти равномерного движения не зависит ни от начального положения, ни от величины начальной скорости, ни от ее направления.

Расстояние, проходимое телом в горизонтальном направлении, всегда ограничено. Его предельное значение зависит лишь от начальной скорости и угла наклона и не зависит от начальной высоты движущегося тела.

Конечно, интересно, чем определяется конечная скорость – ведь из эксперимента следует, что она остается постоянной для данного тела. Догадаться, глядя лишь на получающееся числовое значение, довольно трудно Но поскольку я не менял величину земного ускорения g и наблюдал, как изменился график при увеличении коэффициента сопротивления k, можно предположить, что именно они отвечают за предельное значение скорости на излете.

Все полученные результаты можно отнести только к несжимаемым средам.

Численные эксперименты, проведенные с использованием моделей, построенных по различным компьютерным технологиям показали одинаковые результаты. Применение табличного процессора Excel требует меньших затрат времени, а программирование на Паскале – более глубокого понимания вычислительных методов, применяемых к непрерывным физическим процессам.