Функции а полярной системе координат

Замечательные геометрические объекты - кривые - привлекают внимание не только изяществом своей формы, но и многими удивительными свойствами. Эти кривые связаны с самыми фундаментальными проблемами естествознания. В частности, с пониманием законов движения небесных тел.

Великий астроном древности Птолемей, пытаясь объяснить движение планет по небу, придумал сложную систему мироздания. Он считал, что в центре вселенной находится Земля, а планеты равномерно вращаются по окружностям. Но при более точном изучении выявились расхождения между теорией Птолемея и наблюдениями, а потому пришлось вводить третьи окружности, а там и четвертые.

Но не только «небесные» причины заставили математиков изучать различные кривые. Со многими кривыми приходилось иметь дело и в связи с вполне земными заботами. Картографы интересовались формой меридианов и параллелей при различном выборе проекции земного шара на плоскость, инженеры — очертанием зубчатых колес, кулачковых механизмов и других деталей машин, мореплаватели - линией, по которой корабль пересекает все меридианы под одним и тем же углом и т. д.

И не только практические потребности поддерживали интерес к исследованию кривых, но и та «радость созерцания формы», которая характеризует истинного исследователя.

Чтобы получить эти кривые надо воспользоваться не обычной декартовой системой, а полярной, в которой положение точки определяется относительно некоторой фиксированной точки О (полюса) и некоторого фиксированного луча О (полярной оси). Первая координата точки М(;)-полярный радиус - определяет расстояние точки от полюса ОМ=, а вторая координата - полярный угол — угол, на который нужно повернуть ось О в положительном или отрицательном направлении до совпадения с лучом ОМ.

Для построения точки по полярным координатам необходимо построить луч, на котором лежит искомая точка, и на этом луче от полюса отложить отрезок, длина которого равна полярному радиусу.

Графики функций в полярной системе координат

Поскольку графики некоторых функций удобнее строить в полярной системе координат, рассмотрим схему исследования функций в данной системе.

Общий вид функции, заданной уравнение в полярных координатах, такой:

Функцию можно исследовать в полярной системе координат путем сравнения ее с функцией в декартовой системе координат , которую получаем из первой, меняя в ней на , а на.

Отметим некоторые особенности графика функции (сравнивая его с графиком соответствующей функции ).

Область определения функции соответствует области определения функции. Особым точкам ,. функции соответствуют особые точки ,. функции.

Симметрия.

а)Пусть - четная функция.

В следствии равенства

(2) имеем, что точкам и кривой соответствуют точки и кривой, а точкам и точки и.

б)Пусть - нечетная функция, тогда точкам и, симметричным относительно начала координат в декартовой системе координат, соответствуют точки и , симметричные относительно полюса в полярной системе координат, а точкам и в декартовой системе координат соответствуют точки и в полярной системе координат.

3. Период функции такой же, как и период функции. Отсюда следует, что достаточно построить график функции в секторе с углом у вершины, равным периоду, а затем с помощью постепенного поворота на углы, кратные периоду, строим искомый график.

Если функция ограничена (), то ее график располагается между прямыми и. Для соответствующей функции справедливо неравенство , и график функции располагается в кольце, внутренний радиус которого равен М, а внешний — N.

Если функция имеет экстремум при , то функция имеет экстремум при. Если функция убывает в некотором промежутке, то в полярной системе координат для функции при движении по часовой стрелке значение радиуса уменьшается, а при движении против часовой - увеличивается.

Примеры построения графиков функции. «Розы» Гвидо Гранди.

«Розы» или кривые Гвидо Гранди - это семейство кривых, полярное уравнение которых имеет вид:

или где а, к - некоторые положительные постоянные числа, относящиеся к семейству "циклоидальных.

Для построения данных кривых сравним функции и.

1 Область определения

2 Область значения

3 Четность Нечетная, симметрична относительно начала Нечетная, симметрична относительно полюса координат

4 Периодичность

Таким образом, вся кривая уменьшается внутри круга с радиусом, равным а.

Так как функция является функцией периодической, то «роза» состоит из лепестков симметричных относительно наибольших радиусов.

Построим график функции:

Данная функция определена для , нечетная, симметрична относительно полюса, периодическая, с периодом , ограничена.

0 3 0

Учитывая это построим кривую для, для и с помощью поворота на угол вокруг полюса получаем график функции.

Теперь построим график функции.

Данная функция определена для , нечетная, симметрична относительно полюса, периодическая, с периодом , ограничена.

Построим кривую для. Учитывая симметрию кривой относительно полюса, строим кривую для. И с помощью поворота на угол получаем график функции.

Несложно заметить, что количество лепестков зависит от величины k: если k — целое число, то «роза» состоит из k лепестков при k — нечетном, и из 2k лепестков, при k — четном. При изменении параметра происходит изменение вида.

Обратимся к файлу «Функции», лист «Розы» для демонстрации зависимости поведения графика функции от коэффициентов.

Улитка Паскаля

Улитка Паскаля получается, если из точки О. лежащей внутри окружности, опустить перпендикуляры на каждую касательную к окружности и взять кривую, состоящую из оснований этих перпендикуляров.

Улитка Паскаля является алгебраической линией четвертого порядка, заданной уравнением , в декартовой системе координат, или в полярной , где а - диаметр окружности. Ее форма зависит от двух параметров а и 1.

Для построения улитки Паскаля сравним функции и 1.

Учитывая симметрию строим графики функций:

1) (а>1)

0 3 1+1 1 1-1/2 -1

2) (а < 1)

0 3 2+1/2 2 2-1/2 2-1

О

3) (а = 1)

0 4 2+1 2 1 0 о

Из графиков видно, что в зависимости от значений а и 1 начало координат — двойная точка: изолированная при а < 1, узловая при а > 1. и точка возврата при а = 1. При изменении параметра произошло изменение вида.

Улитка Паскаля используется как линия для вычисления продолжения эксцентрика, если требуется, чтобы скользящий по профилю стержень совершал гармонические колебания.

Одна из составных частей в механизме для поднятия и опускания семафора очерчена по Улитке Паскаля.

Обратимся к файлу «Функции», лист «Улитка» для демонстрации зависимости поведения графика функции от коэффициентов.

Овалы Кассини

Французский астроном Джованни Доминико Кассини (1625 - 1712 г. г. ) нашел кривую, определяющую как множество точек, произведение расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) постоянно. В зависимости от величины этой постоянной форма кривой может принимать различные очертания. Равенства, определяющие овалы Кассини, имеют вид:

Где а - половина расстояния между фокусами. В полярной системе координат

Можно проследить эволюцию форм овалов Кассини при изменении параметра а. При а = 0 овал вырождается в две точки F1 и F2, при возрастании а от 0 до с около точек F1 и F2 появятся замкнутые линии, которые увеличиваясь в размерах, сомкнутся при а = с, образовав лемнискату. При дальнейшем увеличении а овал будет представлять собой замкнутую линию, в положительном и отрицательном направлениях оси ординат. При вогнутости исчезают, а при дальнейшем увеличении параметра а кривые будут иметь форму чистых овалов.

Обратимся к файлу «Функции», лист «Овалы» для демонстрации зависимости поведения графика функции от коэффициентов.

Исследование особенностей формы кривой и ее свойств средствами дифференционной геометрии возможно, если кривая выражена в аналитической форме, т. е. уравнениемю. Однако, во многих задачах теоретического и, в особенности, практического характера необходимо его составить на основании некоторых данных, так или иначе определяющих эту кривую.

Существует несколько способов построения кривых, рассматриваемых в данной работе. В частности, улитка Паскаля и Розы Гвидо Гранди можно рассматривать как геометрическое место точек.

Розы Гвидо Гранди

Четырехлепестковая роза есть геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из начала координат на отрезок постоянной длины, концы которого скользят по координатным осям

Исследованием роз занимался впервые итальянский геометр Гвидо Гранди. Полная теория этих кривых впервые была изложена им в сочинении «Flores geometrici ex rhodanearum et claelarum descriptione resultants», изданном в 1728 г. Математическим исследованием формы цветов и листьев занимался также Хабеннихт-геометр 19 столетия, результаты которого были изложены им в сочинении «Die analitische Form der Blatter», изданном в 1896 г. Свои суждения он основывал на том, что в подавляющем большинстве случаев абрис листа или лепестка представляет собой кривую, симметричную относительно оси, и так как расстояние между двумя любыми точками ее будет величиной конечной, то в полярной системе уравнение такой кривой можно записать в виде , где правая часть является функцией однозначной, непрерывной и периодической функцией с периодом. Характеристика этой функции дополняется еще и тем соображением, что разным по абсолютной величине значениям должны соответствовать равные значения и, следовательно, искомую функцию можно выразить, например, как. В первом приближении ее можно представить равенством

Выражая здесь по известной формуле через , ,. , ,можно записать искомое уравнение абриса листа или цветочного лепестка в виде , где коэффициенты определяются в конкретном случае на основании соответствующих измерений. Хабеннихт получил целый ряд уравнений, которые с весьма хорошим приближением выражали аналитически формы листьев клена, щавеля, ивы и т. д. Вот некоторые из этих уравнений листья щавеля листья трилистника

Улитка Паскаля а

Пусть имеется окружность с радиусом , которая проходит через полюс О и имеет центр на полярной оси. Представим, что вокруг полюса О вращается луч ОМ , и в каждом его положении от точки N пересечения его с окружностью откладывается отрезок NМ = 1. При повороте луча от 0 до 180° мы получим геометрическое место точек М. При дальнейшем повороте луча, откладывая отрезок 1, как и в первом случае, по направлению луча, мы будем откладывать его в сторону, противоположную прежней, и получим геометрическое место точек М. Геометрическое место точек М и М1 и будет улиткой Паскаля.

На мой взгляд, построение данных кривых в полярной системе координат удобнее, чем их построение как геометрическое место точек.

Ничто в Мире не несет в себе завершенного характера. Мир бесконечен в своем развитии и столь же безгранично его познание.

Все в природе находится в непрерывном противоречивом диалектическом движении и изменении. Проявление законов диалектики можно проследить на примере эволюции форм кривых при изменении параметров. В частности, это видно при построении графиков функций, рассмотренных в данной работе.

Целью работы является самостоятельное изучение кривых сверх школьной программы.

Работа может быть использована учителями и учениками, интересующихся математикой.