Геометрическая задача Р.С. Юлмухаметова

При решении очень серьезной задачи из математического анализа – так называемой «Проблемы Эренпрайса», содержание которой не может быть изложено в рамках школьной математики, профессор Юлмухаметов Ринад Салаватович неожиданным образом вышел на задачи, формулируемые на школьном уровне знаний по геометрии и алгебре, но решение которых, однако, оказалось не простым.

Цель моей работы – доказать один результат Р. С. Юлмухаметова, оставаясь в рамках школьной математики.

Постановка задачи и сведение ее к случаю векторов, расположенных в секторе.

Теорема 1. Если заданы четыре вектора, длины которых не превосходят единицы, то их можно перенумеровать так, что хотя бы одно из представленных ниже чисел

. (*) не превосходит двух.

С геометрической точки зрения для двух векторов и величины и представляют из себя длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и.

Доказательство: векторы лежат в плоскости, Так как нам даны следующие суммы: , , , , то можно сказать, что все эти векторы лежат в одной полуплоскости.

Нам нужно, чтобы все векторы лежали в верхней полуплоскости. Если они будут лежать именно в этой части плоскости, тогда подойдут и, иначе мы применим и которые можно переформулировать, как и.

То есть мы можем перенести векторы в верхнюю полуплоскость, не нарушая данных теоремы.

Итак, все векторы лежат в верхней полуплоскости. Теперь условие теоремы сузилось до доказательства того, что суммы и меньше либо равны двум.

Совместим один из векторов с положением положительной оси ОХ так, чтобы остальные векторы оставались в верхней полуплоскости. Пронумеруем векторы в зависимости от размера их угла. Вектор, сонаправленный с ОХ обозначим а1, вектор, угол которого наименьший, считая от а1 обозначим а2. И так далее по мере увеличения угла относительно а1.

Рассмотрим восемь углов, считая против часовой стрелки: от а1 до а4, от а2 до –а1 , (а3^ -а2);. , (а4^-а3); (-а1^-а4); (-а2^а1); (-а3^а2); (-а4^а3).

Объединение этих углов трижды покрывает плоскость, то есть сумма этих величин равна 3*360о. Поэтому наименьший из этих углов не превосходит 135о. Если нужно изменив нумерацию и повернув плоскость можно считать, что наименьший из углов (а1^а4).

Заметим, что при этом c2≤1800-с4. Если бы это было не так, то из восьми рассмотренных углов между а2 и -а1 был бы меньше, чем угол между а1 и а4, а по нашему выбору угол (а1^а4) – наименьший.

Аналогично с4-с3≤1800-с4. (если бы это было не так, то меньшим был бы угол (-а4^а3)).

Рассмотрим два случая:

1) 1200≤с4≤1350

2) с4≤1200

Первый случай довольно прост: в этой ситуации мы получаем, что 1800-с4≤600, и тогда с2≤600 и с4-с3≤600.

Покажем, что при этом и. Действительно, если два вектора и имеют длину, не превосходящую единицы, и угол с между ними равен с и с≤600, то длина вектора не превосходит единицы.

При фиксированных , и при с≤600 эта величина максимальна, если с=600.

Далее, при увеличении длин векторов и до единицы величина будет наибольшей в случае , , c=600, то есть в случае, когда векторы , и образуют равносторонний треугольник со сторонами 1.

Итак, , и

Утверждение 1. Пусть S – сектор круга единичного радиуса с углом 1200. Тогда периметр любого четырехугольника, лежащего в этом секторе, не превосходит четырех.

Из этого утверждения, следует доказательство нашей теоремы.

Действительно, пусть – радиус-векторы вершин. Тогда. Если P≤4, то хотя бы одна из скобок в правой части не превосходит двух.

Доказательство утверждения 1.

Докажем, что из всех вписанных в сектор четырехугольников наибольший периметр имеет ромб со стороной 1.

P=2+X+Y, где X и Y – длины сторон.

Выразим X и Y через угол α.

Так как

Следовательно,

Найдем критические точки функции Y=P(α)

Второе уравнение не имеет решений.

Так как то, только при k=0 войдет в сектор.

Таким образом, - точка максимума. Значит

То есть наибольший периметр у ромба со сторонами 1.

Значит, что периметр любого четырехугольника, лежащего в секторе, меньше или равно 4.

Я доказал утверждение 1. Следовательно, и всю теорему. Итак, я доказал, что сумма (*) любых четырех векторов, длины которых не превосходят единицы, будут меньше либо равны двум.