Компьютерная проверка формулы Резерфорда

К 1902г. было проведено достаточно экспериментов, убедительно доказавших, что электрон является одной из основных составных частей любого вещества. Дж. Дж. Томсон показал на основе классической электромагнитной теории, что размеры* электрона должны быть порядка 10-13 см.

* В действительности мы не можем говорить о размерах или о радиусе электрона, так как достаточно строго можно определить только размеры твердого тела, каковым электрон, конечно, не является.

Кроме того, кинетическая теория XIX века показала, что размеры атомов составляют несколько ангстрем (1А=10-8 см). На этом основании Томсон сделал вывод, что положительный заряд атома, который необходим для уравновешивания отрицательного заряда электронов, чтобы в результате атом оказался электрически нейтральным, должен быть распределен во всем объеме атома, не занятом электронами. В 1906 году Томсон предложил модель, согласно которой атом содержит число электронов, равное атомному номеру элемента; весь заряд этих электронов нейтрализуется положительно заряженной средой, масса которой составляет большую часть массы атома . Эта модель получила название «пудинга», так как электроны были вкраплены в положительно заряженную среду, подобно изюму в пудинге.

Модель Томсона казалась привлекательной с той точки зрения, что предполагала наличие электронов в атоме. Однако она просуществовала только до 1911г. , когда Эрнест Резерфорд доказал, что положительно заряженная часть атома не распределена по всему его объему, а сосредоточена в чрезвычайно малом объеме – ядре атома.

Размер атома в соответствии с моделью Томсона.

Несмотря на очевидные недостатки модели атома Томсона, она смогла объяснит например, размер атома, исходя из экспериментальных данных спектрального анализа.

Нагретое вещество, состоящие из атомов, излучает, поскольку в атоме по модели Томсона находятся электроны, которые совершают гармонические колебания.

Модель атома Томсона («пудинг»). Электроны, наподобие «изюма», вкраплены в положительно заряженный «пудинг». Диаметр атома составляет несколько ангстрем.

Напряжённость поля в т. А , созданного положительным зарядом в атоме Томсона:

Силы, действующие на электрон внутри атома, пропорциональны смещению его относительно центра атома.

На электрон действует сила Кулона:

Электрон излучает электромагнитные волны частотой ω, совершая гармонические колебания.

Можно из формулы оценить R - радиус атома Томсона. Если λ=6000 А, то ω ∼ 3*1015 с-1.

Подставив в числовые значения, оценим величину радиуса атома модели Томсона

Это значение радиуса атома, полученное из модели Томсона, согласуется с опытными данными, полученными в других областях физики.

Таким образом, исторически первой моделью атома была модель Томсона, или модель пудинга. Суть её состояла в том, что положительное электричество в атоме распределено равномерно по всему объёму, а электроны вкраплены в нём, как изюм в пудинге. Достоинством этой модели был тот факт, что силы, действующие на электроны внутри атома, пропорциональны смещению электронов относительно центра и приводят к их гармоническим колебаниям. Этим можно было объяснить излучение атомами электромагнитных волн. Однако трудностью данной модели была невозможность объяснить линейчатость спектров излучения. Второй трудностью модели Томсона проблема устойчивости. Согласно теореме Нётер, статическая система зарядов не может быть устойчивой. Кроме того, нерешённым оставался вопрос о силах, удерживающих положительное электричество от разлетания под действием кулоновских сил.

Второй моделью атома была модель японского физика Х. Нагаоки, предложенная им в 1904 году. Эта модель получила название планетарной модели, т. к. в её основе лежала модель Солнечной системы. В центре атома располагалось положительное электричество, вокруг которого обращаются электроны, как планеты по орбитам.

Достоинством этой модели является динамичность, которая позволяет добиться устойчивости системы электрических зарядов. Главным же недостатком системы была проблема излучения. Вращающийся по орбите электрон обладает ускорением и, согласно теории электромагнитного излучения, он должен излучать энергию и, значит, терять её со временем. В конце концов, вся первоначальная энергия электрона должна обратиться в электромагнитное излучение, и он должен упасть на ядро, а сам атом прекратить своё существование. В то же время, атом является одним из самых устойчивых образований системы зарядов. Разрешить проблему структуры атома предстояло Эрнсту Резерфорду.

Модель Резерфорда.

Ему принадлежала ведущая роль в разрешении загадок радиоактивности и в создании ядерной модели атома. За свои работы по радиоактивности Резерфорд был награжден в 1908 г. Нобелевской премией (по химии)

Если в последнем десятилетии XIX века самой крупной фигурой в атомной физике был Дж. Дж. Томсон, то в первом десятилетии XX века ведущая роль перешла к Эрнесту Резерфорду (1871-1937). Работая сначала в Университете Макгилла в Канаде, Резерфорд в 1907 году переехал в Манчестер, где исчерпывающим образом исследовал недавно открытые излучения радиоактивных веществ. Основное внимание он уделил излучению, состоящему из положительно заряженных частиц, называемых α-лучами, или α-частицами. К 1908 году он окончательно установил, что α-лучи представляют собой атомы гелия, несущие заряд +2е.

Почти немедленно по прибытии в Манчестер Резерфорд начал систематические исследования рассеяния α-частиц веществом. Он установил, что каждая α-частица, попадая на экран из сернистого цинка, создает вспышку света. Испытав рассеяние в золотой фольге, α-частицы ударялись затем в экран из сернистого цинка и регистрировались с помощью небольшого микроскопа, в который можно было наблюдать вспышки света. Вращая детектор, можно было измерять относительное число α-частиц, рассеянных под различными углами θ.

Согласно предложенной Томсоном модели атома, α-частицы должны были бы свободно проходить сквозь атомы золота и только отдельные α-частицы могли слегка отклоняться в кулоновском поле электрона . Поэтому следовало ожидать, что пучок α-частиц при прохождении через тонкую фольгу слегка расплывается и средние углы рассеяния будут порядка нескольких градусов. Такое рассеяние на малые углы действительно наблюдалось, но совершенно неожиданно оказалось, что примерно одна α-частица из 20 000, падающих на золотую фольгу толщиной всего 4⋅10-5 см. , возвращается назад в сторону источника. Резерфорд по этому поводу говорил: «Это было самое невероятное событие, с которым мне когда-либо приходилось сталкиваться. Это было почти так же невероятно, как если бы вы выстрелили 15-дюймовым снарядом в лист папиросной бумаги, а снаряд вернулся бы назад и попал в вас».

Резерфорду понадобилось несколько лет (вплоть до 1911г. ), чтобы окончательно понять столь неожиданное рассеяние α-частиц на большие углы. Он пришел к выводу, что эти экспериментальные результаты можно объяснить, только предположив, что положительный заряд атома сосредоточен в очень малом объеме в центре атома, а не распределен по всему атому, как в модели Томсона. Таким образом, Резерфорд предложил ядерную модель атома.

При столкновении α-частицы с атомом она под действием отрицательного заряда атомных электронов должна отклоняться лишь незначительно (как в случае модели Томсона). Согласно Резерфорду, когда траектория α-частицы проходит вблизи ядра, сильное электрическое отталкивание может сильно изменить направление ее движения.

Предположив, что кулоновская сила отталкивания между α-частицей и атомным ядром изменяется по закону 1/r2 даже в области чрезвычайно малых внутриатомных расстояний (∼10-12 см), Резерфорд вывел выражение для распределения ∝-частиц, рассеянных при столкновениях с ядрами. Он показал, что согласно ядерной модели атома вероятность рассеяния на угол θ обратно пропорциональна четвертой степени sin θ/2, т. е. пропорциональна 1/ sin4 (θ/2). Так, частота рассеяния на угол θ =120° относится к частоте рассеяния на угол θ=5° приблизительно как 1/105.

Измерения, тщательно выполненные Гейгером и Марсденом в лаборатории Резерфорда, подтвердили правильность ядерной модели Резерфорда во всех пунктах; было не только убедительно показано, что атомы состоят из ядер чрезвычайно малых размеров (∼10-12 см), окруженных электронами, но и было проверено, что закон Кулона справедлив для таких малых расстояний.

Схема прибора, с помощью которого Резерфорд исследовал рассеяние ∝-частиц. Прибор помещался внутри откачанной камеры с целью устранить поглощение ∝-частиц в воздухе. Эти опыты были проведены Гейгером и Марсденом под руководством Резерфорда.

Согласно модели атома Томсона, подающие ∝-частицы при рассеянии атомами золота должны отклоняться лишь на малые углы. Опыт Резерфорда и его сотрудников показали, что такое описание рассеяния частиц неверно.

Согласно ядерной модели атома Резерфорда, ∝-частицы могут проходить через атом, испытав лишь незначительное отклонение; однако иногда ∝-частица может подойти достаточно близко к ядру и отклониться на большой угол.

Относительная вероятность (число световых вспышек в детекторе в единицу времени) резерфордовского рассеяния ∝-частиц на различные углы (пропорциональная - 1/ sin4 (θ/2)).

Опыты Резерфорда показали, что закон рассеяния частиц соответствует модели Нагаоки. Положительное электричество сосредоточено в центре атома, причём на столько компактно, что электростатическое поле вблизи него способно повернуть альфа-частицу почти в противоположном направлении. По максимальному углу отклонения альфа-частиц было оценено минимальное расстояние приближения её к центру атома, что, очевидно, можно считать радиусом области пространства в атоме, в которой сосредоточено положительное электричество. Размеры этой области оказались порядка 10-14м и её назвали ядром. А планетарную модель с тех пор стали называть ядерной моделью или моделью Резерфорда.

Рассеяние альфа-частиц атомом по модели Нагаоки.

Рассеяние альфа-частиц атомом по модели Томсона

. Классическая теория движения альфа-частиц в центральном электрическом поле.

Будем предполагать, что атом устроен в соответствии с моделью Нагаоки, и значит взаимодействие альфа-частиц с положительным зарядом атома (ядром) подчиняется закону Кулона, т. е. их движение должно соответствовать двум законам сохранения: закону сохранения энергии и закону сохранения момента импульса.

На α-частицу действует сила отталкивания, величина которой определяется законом Кулона.

Векторный треугольник импульсов α-частиц.

Кулоновская сила отталкивания:

Из треугольника векторов следует:

В точке А траектории α-частиц действует сила Кулона ƒА. Эта сила меняется по величине по мере движения α-частиц по траектории. Поскольку, согласно второму закону механики , выразим Δ Ρ:

Δ Ρ = ∫ƒn dt = = ∫ƒn cost dt (7) где ƒn - проекция силы ƒ на направление Δ Ρ, а угол

Учитывая криволинейный характер движения ∝-частиц, можно выразить величину dt через угловую скорость:

С учётом (8) и (9) перепишем выражение (7) для Δ Ρ следующим образом:

В поле центральной силы закон сохранения момента импульса запишется в данном случае следующим образом:

- момент импульса относительно ядра.

– первоначальный импульс.

В поле центральных сил момент импульса - величина постоянная.

Поэтому, , где b – величина, которая называется прицельным расстоянием. Таким образом,

С учётом (11) уравнения (10) запишется:

Из (12) находим:

Где — кинетическая энергия α-частицы.

Выражение (13) можно записать, через котангенс:

Классическая теория рассеяния ∝-частиц в опыте Резерфорда.

Для проверки изложенной выше теории по движению альфа-частиц вблизи ядра атома, достаточно проверить любую из выше приведённых формул. Однако, во все эти формулы, как параметр, входит прицельное расстояние, которое экспериментально определить не возможно не только по причине ограничений, накладываемых соотношением неопределённости, но и по причине случайного характера излучения частиц, что приводит к случайным значениям прицельного расстояния. Поэтому на практике его можно определить лишь статистически, как среднюю величину из большого количества опытов. Это, в свою очередь, приводит к тому, что изложенная выше теория может быть проверена только статистически, на основе исследования закона распределения, которому подчиняется вероятность рассеяния альфа-частиц. Для этого в первую очередь необходимо изучить зависимость вероятности рассеяния частиц от величины угла рассеяния.

Как видно из формулы (4), угол отклонения альфа-частиц зависит от прицельного расстояния b, и на угол θ отклонятся все альфа-частицы, прошедшие через кольцо сечением

Образование этих площадей является результатом изменения прицельного расстояния у зондирующих α-частиц от b до (b+db), что хорошо показано на рисунках 11 и 12. этому фактору и соответствует значение величины телесного угла d Ω, в котором будут находится рассеиваемые α-частицы.

Изменение угла рассеивания ∝-частиц с изменением прицельного расстояния.

Площади, через которые пройдут рассеиваемые α-частицы с изменением прицельного расстояния db.

Для описания статистического характера рассеяния бомбардирующих мишень атомов α-частиц вводится понятие дифференциального эффективного рассеяния dσ :

,(16) где dN – число рассеиваемых частиц,

N0 - число первоначально падающих на мишень площадью S.

В данной задаче эту величину запишем следующим образом:

, (17) где n – концентрация атомов в мишени; d – толщина мишени; b – придельное расстояние; s – площадь мишени

Из формулы (14) определяем b:

Для нахождения db продифференцируем выражение (14):

. Знак «-» опускается.

Отсюда:

(19) подставив (18) и (19) в уравнение (17), получаем:

Величина телесного угла dΩ=2n-sinθdθ.

Формула (20) и называется формулой Резерфорда.

Для данного рассеивающего вещества, как было показано Гейгером и Марсденом, учениками Резерфорда, величина есть величина постоянная.

Формула Резерфорда (20) дала возможность и определить значение параметра Z - порядковый номер элемента в таблице Д. И. Менделеева.

Идея Резерфорда о сосредоточении заряда положительного в ядер не только получила блестящее экспериментальное подтверждение, но также позволила установить физический смысл порядкового номера в периодической системе элементов.

Таким образом:

Формулу (21) можно получить и в полярной системе координат, где рассеяние ∝-частиц определяется двумя углами: азимутальным α и полярным θ.

(22) где (23)

Определив константу в формуле (22) и усреднив её по нескольким углам рассеяния, а так же, зная толщину фольги d и концентрацию атомов рассеивающего материала n, можно найти параметр k, из которого, в свою очередь, можно определить заряд ядра атома по формуле (23).

Однако, формула (22) справедлива, вообще говоря, только для бесконечно малых значений dθ, в то время как в опыте количество частиц подсчитывается в конечном промежутке Δθ. Поэтому, прежде чем проверять формулу (22), её необходимо проинтегрировать по углам θ и ϕ в пределах одной видимой клетки полосы от θ до θ+Δθ и от ϕ до ϕ+Δ ϕ, то есть найти ΔN.

Из этой формулы можно получить формулу, которую легко проверить в эксперименте:

Модель процесса рассеяния альфа-частиц.

В процессе работы программной модели на экран дисплея выводится изображение сферы, на поверхности которой изображены координатные линии сферической системы координат. Координатные линии, соответствующие азимутальному углу, отстоят друг от друга на угол 0. 1 π, линии, соответствующие полярному углу, отстоят друг от друга на 0. 2π. рассеивающая пластинка изображается на модели параллелограммом жёлтого цвета в центре сферы.

После начала работы программы запускается процесс рассеяния, и на экран дисплея выводятся следы от попадания на сферу альфа-частицы в виде вспыхивающих и гаснущих точек. Общее количество рассеянных частиц не фиксировано, но плотность их потока постоянна во времени и подлежит определению в процессе эксперимента. Следы ударов частиц распределены по сфере не равномерно: большая часть частиц рассеиваются под малыми углами, но некоторые отклоняются на довольно большие углы.

Для подсчёта количества рассеянных частиц на экране дисплея изображается микроскоп в виде окружности малого диаметра, который может перемещаться, как по полярному, так и по азимутальному углу. Для более удобного подсчёта частиц поле микроскопа в увеличенном виде изображается в левом нижнем углу экрана и режим гашения для него отключён. Над полем микроскопа изображается угловой нониус для определения угла рассеяния альфа-частиц. Над нониусом изображается поле секундомера с ценой младшего разряда 0. 01с.

Чтобы проверить формулу Резерфорда, необходимо подсчитать количество следов альфа-частиц на поверхности сферы, попавших в поле микроскопа в единицу времени. Для этого в момент попадания первой частицы в поле микроскопа необходимо запустить секундомер путём нажатия клавишу «Пробел». После подсчёта определённого количества частиц, в момент появления последней частицы в поле микроскопа, необходимо остановить секундомер, снова нажав клавишу «Пробел». Для уменьшения ошибки, связанной с запаздыванием включения и выключения секундомера, необходимо, чтоб количество подсчитываемых частиц было достаточно большим.

Поскольку диаметр микроскопа (0. 02м) намного меньше диаметра сферы (1м), телесный угол, который ему соответствует, можно считать достаточно малым и выбрать его в качестве элемента телесного угла при проверке формулы (25).

Опытная часть.

1. Компьютерная проверка формулы Резерфорда.

Для выполнения этой работы необходимо выполнит следующие задания:

1) Установить объектив микроскопа в точку полюса и удалить из центра сферы рассеивающую пластинку (клавиша F1). Подсчитать количество частиц, попадающих в микроскоп за единицу времени непосредственно от источника частиц. Поскольку поток частиц довольно велик, подсчитать их количество непосредственно трудно. Поэтому в программе предусмотрено уменьшение потока частиц в 1000 раз путём нажатия клавиши F2, в 100 раз путём нажатия клавиши F3 и в 10 раз путём нажатия клавиши F4. для получения правильной величины потока частиц, результат подсчёта нужно умножить на 1000, 100 или 10 соответственно.

2) Запустить модель работы и, используя клавиши ← ↑ → ↓, установить объектив в поле микроскопа следы от рассеянных частиц за единицу времени. Это среднее значение соответствует данному углу θ, указанном на шкале углов. Изменить величину полярного угла и повторить исследование. Проверить формулу (25) для нескольких (5-6) углов θ. Телесный угол, охватываемый объективом микроскопа, считать равным 1. 26⋅10-3 стерадиан.

3) Усреднить полученные во втором здании константы по полярному углу и, пользуясь этим усреднённым значением, а также полученным во втором задании значением, а также полученным во втором задании значением величины потока частиц, определить параметр k. Через найденный параметра k найти заряд рассеивающих ядер. Толщину золотой пластинки считать равной 5 микрометров, концентрацию атомов золота считать равной 5. 91⋅1028м-3.

4) Выбрать для наблюдения одну из видимых клеток той или иной полосы (до шестой включительно) и подсчитать количество частиц, попадающих в неё за единицу времени. По результатам подсчёта проверить формулу (25) и повторить расчёты для заряда рассеивающих ядер.

5) Запустить модель, повернуть сферу на 90° вокруг вертикальной оси и, отключив режим гашения частиц, дождаться картины рассеяния, при которой некоторые альфа-частицы отклоняются на самые большие углы. Определить наибольший угол отклонения, и пользуясь этим результатом оценить радиус рассеивающих ядер.

Управляющие клавиши модели:

1. F1 – установка – снятие рассеивающей пластины,

2. F2 – установка – снятие делителя потока частиц на 1000,

3. F3 – установка – снятие делителя потока частиц на 100,

4. F4 – установка – снятие делителя потока частиц на 10,

5. F5 – установка – снятие гашения точек – следов частиц,

6. Пробел – запуск – остановка секундомера.

7. Esc – выход из программы,

8. ↑ – поворот объектива микроскопа вокруг полярной оси вверх,

9. ↓ – поворот объектива микроскопа вокруг полярной оси вниз,

10. ← – поворот объектива микроскопа вокруг вертикальной оси вправо.

11. → – поворот объектива микроскопа вокруг вертикальной оси вправо,

12. Ввод – перезапуск эксперимента.

Итак, из работы видно, что при использовании компьютерной модели мы можем, не контактируя с радиоактивными веществами проверить формулу Резерфорда.