Куб и его реберные развертки

Замощение пространства и плоскости

Если поверхность куба разрезать по некоторым рёбрам и развернуть на плоскость, то получится плоский многоугольник, который называется рёберной развёрткой куба. Разрезая по разным рёбрам, получаем разные развёртки. Всего возможно получить 11 вариантов разверток, так как куб имеет 12 ребер.

Развёртки куба имеют особые свойства. С помощью каждой развёртки можно создать на плоскости сплошную мозаику – паркет или, говоря иначе, замостить этой развёрткой плоскость.

Поясним эти термины.

Замощение - это покрытие всей плоскости или заполнение всего пространства неперекрывающимися фигурами.

Уже пифагорейцам были известны замощения плоскости без пробелов и перекрытий: треугольником, квадратом и шестиугольником.

В каждом из этих замощений любые два многоугольника имеют либо общую сторону, либо только общую вершину, либо вовсе не имеют общих точек. Замощения плоскости многоугольниками, удовлетворяющие этому требованию, называют паркетами.

Паркеты из правильных многоугольников одинаково устроены относительно всех своих вершин и всех кусочков-многоугольников, составляющих паркеты. Эти кусочки называются гранями замощения или просто плитками.

Рассматривают паркеты из копий произвольного многоугольника, допускающие самосовмещения. Многоугольники, которые могут быть плитками в этих паркетах, называются планигонами.

Изучение куба показало, что плоскость можно покрыть целиком без пробелов его реберными развёртками одного вида. При этом несколько развёрток одного типа складываются в симметричный элемент орнамента, называемый плиткой, с помощью которой и происходит замощение плоскости.

Работа по созданию таких симметричных плиток из развёрток всех одиннадцати типов была выполнена в программе Живая Математика. Результаты работы практически доказывают и иллюстрируют возможность замощения плоскости каждой из одиннадцати рёберных развёрток куба.

Замощение плоскости рёберными развёртками интересно вдвойне, так как собранный из развёртки куб является одним из видов многогранников, с помощью которого можно замостить пространство. Таким образом, куб является многогранником двойственного назначения: самим многогранником можно замостить пространство, а его развёрткой (причём любого типа) можно замостить плоскость.

Чтобы проиллюстрировать этот факт, было создано несколько многомодульных моделей куба в технике оригами. Каждый из модулей соответствует ребру или вершине куба. Для создания куба требуется двенадцать модулей-рёбер и восемь модулей-вершин. Такая модель куба наглядно демонстрирует все его структурные элементы.

По конструированию данной модели был создан мастер-класс в рамках виртуального курса «Музей Многогранников».

Мастер-класс по созданию модульного куба.