История отечественой математики

Математические знания на Руси в X – XVI веках

Имеются исторические документы, дающие следующую общую характеристику первых этапов развития математики на Руси.

Уже в начале X века на Руси существовала письменность. Тесные связи с Византией способствовали ускоренному приобретению знаний. Математическое образование находилось в то время на уровне европейского. Было налажено обучение придворных.

Использовалась славянская система нумерации, ведущая свое происхождение от греческой буквенной нумерации. Числа от 1 до 9 , а также десятки и сотни изображались с помощью последовательных букв алфавита, причем над буквами ставился особый знак ∼ (“титло”), подобный знаку “_” в греческой буквенной нумерации. Тысячи также обозначались буквами, но со знаком ≠, которому в греческой нумерации соответствовал знак ´. Десятки тысяч (“тьма”) обозначались буквами в кружке, сотни тысяч (“легионы” или “неведии”) обозначались буквами в кружке из точек, а миллионы (“леодры”) обозначались буквами в кружке из черточек. Отдельные отступления от общего правила связаны, в основном с различием между греческим и славянским алфавитом.

Некоторые обозначения чисел в славянской нумерации:

При записи чисел с несколькими значащими цифрами, цифры писали слева направо в порядке убывания десятичных разрядов. Например: 12 – ĨВ.

Помимо вычислений чисто практического характера, связанных с измерением и межеванием земель, торговыми расчетами, строительством зданий и укреплений, с содержанием княжеских дружин, со сбором налогов и т. п. , на Руси рано появляются первые теоретические задачи, составленные “числолюбцами”, преимущественно церковнослужителями. Древнейшие из сохранившихся математических рукописей являются записи новгородского дьякона Кирика (1134 г. ).

Примеры задач, собранные из разных рукописи

• Вычисление, сколько месяцев, недель, дней и часов прошло от “сотворения мира” (т. е. от 5508 г. до н. э. );

• Задачи на вычисление прогрессий при расчете приплода скота;

• Вычисление размеров Земли, Солнца и Луны по данным измерений Эратосфена (греческого ученого 1 в. до н. э. );

• Теоретико-числовая задача о вычислении дат религиозного праздника пасхи.

При вычислении использовали мешочек с вишневыми или сливовыми косточками, дощечку для писания по воску (“церу”) и “писало” – металлическую или костяную палочку, имевшую с одной стороны заострение, а с другой - лопаточку. Исходные числа и результаты счета наносились на “церу”. Счет велся с помощью косточек и назывался “счет костьми” или “пенязи” и заключался в следующем.

На столе чертили несколько продольных и поперечных линий. Число продольных линий зависело от числа разрядов у наибольшего из данных чисел, а число поперечных полос зависело от характера действия. Так, при сложении проводили только одну поперечную прямую, а при умножении – столько, сколько нужно было записать частных произведений.

Например: 66 * 96

При помощи счета костьми выполняли не только все арифметические действия, но и вычисления с применением “тройного правила”, т. е. вычисление четвертого члена пропорции по трем данным членам. Так же, кроме счета костьми позднее употребляли еще так называемый дощаной счет костяшками, нанизанными на шнур – прообраз вычисления на счетах.

Древнерусская метрология. Три основные древнерусские меры длины носят название частей тела или движения рук: “пядь”, “локоть” и “сажень”.

• Большая пядь есть расстояние от большого пальца руки до мизинца (примерно 23 см).

• Локоть равнялся двум пядям.

• Сажень равнялся трем локтям или шести пядям.

Использовались и некоторые другие виды пядей и, соответственно, локтей и саженей. Более крупной мерой длины служила “верста”, которая первоначально равнялась 500 саженям, примерно 690 метрам.

Мерами емкости служили “кадь” (древняя кадь вмещала около 14 пудов ржи), “лукно” (вмещало около 60 фунтов зерна), “ведро” (9 -10 литров) и некоторые другие.

Мерами земельных участков служили “соха”, “четверть”, “десятина” и некоторые другие.

• В сохе считалось 800 четвертей доброй земли;

• Четверть составляла половину десятины;

• Десятина, составляла, согласно писцовому наказу 1554 года, в длину и в ширину по 50 сажен.

Мерами веса служили “гривны”, “золотники”, “пуды” и некоторые другие.

Гривны и золотники служили также основными мерами денег.

• Большая гривна составляла 96 золотников и весела около фунта, т. е. соответствовала “фунту стерлингов”;

• Малая гривна составляла 48 золотников, т. е. половина большой гривны.

Современный русский денежный счет, построенный на основе деления рубля на 100 копеек, восходит к XV в. и сложился на основе московской денежной системы, согласно которой:

• 1 “рубль” = 200 “деньгам”;

• 1 “полтина” = 100 “деньгам”;

• 1 “гривна” = 20 “деньгам”;

• 1 “алтын” = 6 “деньгам”.

Из указанных денежных единиц до XVIII в. только “деньга” была серебряной чеканной монетой, а “рубль”, “полтина” и “гривна” были лишь счетными единицами.

Общий со всеми государствами Европы ход развития наука и культуры был насильственно прерван в первой половине XIII в. из – за нашествия монголо-татар (1240 г. ) и крестоносцев (1242 г. ). Эти нашествия, а также феодальная раздробленность и непрекращающаяся междоусобица в Русском государстве привели к длительному застою во всех областях общественной жизни. В области науки этот застой усугублялся до XVI – XVII вв. деятельностью православного русского духовенства, которое в борьбе с капитализмом Запада подвергло запрету не только западную религиозную литературу, но и светскую, в том числе научную литературу. В одном древнерусском поучении так прямо и говорится: “Богомерзостен перед богом всякий, кто любит геометрию; а се душевные грехи учится астрономии и эллинским книгам; по всему разуму верующий легко впадает в различные заблуждения; люби простату больше мудрости, не изыскуй того, что выше тебя, а какое дано тебе от Бога учение, то и держи”

Математические рукописи XVII века

Имеются основания считать, что первые математические рукописи геометрического характера, связанные с измерением межевания земель, имелись на Руси не позднее XV-XVI вв. Однако до нас дошли только математические рукописи XVII в. , да и то только немногие. Прежде всего, это “Устав ратных, пушечных и других дел, касающихся до воинской науки”, создание, которого относится к 1607 и 1621гг. В “Уставе” излагаются некоторые геометрические сведения, относящиеся, в основном, к вычислению расстояний или размеров. Рассмотрим следующую задачу из “Устава”.

Требуется измерить длину недоступного отрезка РQ

Для этого употреблялась “палочка Якоби” – жезл МN с делениями, на который надет малый жезлик АВ длины, равной длине одного деления большого жезла. “став” предлагает наблюдателю, глаз которого находится в точке М, установить малый жезлик АВ так, чтобы лучи, исходящие из точки М и проходящие через точки А и В, проходили также через точки Р и Q. Затем малый жезлик перемещается по большому на одно деление, а наблюдатель перемещается из точки М в точку М/, что лучи исходящие из точки М/ и проходящие через концы А/ и В/ малого жезлика, снова проходили бы через точки Р и Q. Тогда, как утверждается в “Уставе”, ММ/ = РQ. Действительно из подобия треугольников МАВ и МРQ и треугольников М/А/В/ и М/ РQ следует, что

ММ/ = PQ.

Предполагается, что все рукописи XVII в. имели один общий источник, из которого авторы заимствовали содержание своих рукописей вплоть до переписываний целых предложений. Общее содержание рукописей примерно таково. Сначала даются правила действия с целыми числами и дробями, излагается тройное правило (пропорция), затем дается большое число статей (параграфов), отвечающих потребности торгового люда. Выдержки из одной рукописи:

Первая статья от числа. Нумерация или считание словесом и начертание числом цифрами

Другая статья. Адитские или считание. Статья именуется сюстрякские, по-русски – вынимание или вычитание

Статья о весах и мерах земли немецкие, брабанские , городов Ганновера и Норенсборхе

Статья тройная в целых и долях всяких

Статья торговая ”Здесь дается большое количество задач на вычисление цены товара, прибыли от продажи и т. п. Условие одной из задач гласит: “Гость купил 8664 овчины, а сторговал 100 овчин по 1 и рубля; да и продал те овчины, ино ему сходилось со 100 овчин по 8 овчин прибыли. Ино, сколько тот гость за овчины денег платил и что у овчин принял денег, сочти ми”. (Уплачено за все овчины “129 рублёв 32 алтына”, а прибыль составила “10 рублёв 13 алтын да 1 и деньги”).

Статья меновая торговля”Здесь решали задачи на пропорции, возникающие при обмене товаров. Задача: “четыре гостя сложились торговати. Первый положил 266 рублёв, другой положил 388 рублёв, третий положил 490 рублёв, четвертый положил 590 руьлёв. И приняли к себе торговца прикащика, кого им отпустити с теми деньгами на иной город торговати. А посулили ему за его службу, что не приторгует, ино изо прикупа ему взяти честь. А прикащик так у них и приторговался, да тут же из своих денег в торг приложил 344 рубля. И приторговал прикащик на все деньги 489 рублёв. Ино почему которому гостю по их складу прикупу достался и что прикащик за службу взял, сочти ми. ”

И в заключении рукописи шли задачи занимательные, на смекулку. Задача: “Четыре плотника нанялись двора ставити. И говорит первый плотник так: только б де мне одному тот двор ставити, я яз-бы де его поставил един годом. А другой молвил: только бы де мне одному тот двор ставити, и яз-бы де поставил в два года. А третий молвил: только де мне одному тот двор ставити, и яз-бы де его поставил в три года. А четвертый так рёк: только де мне одному тот двор ставити, и яз-бы де его поставил в четыре года. Ино, сколько они ставили , сочти ми. » ( года или 175 и дней).

Приведенные в рукописях решения свидетельствуют о развитом искусстве счета. При этом часто использовались таблицы сложения и умножения, которые прилагались к рукописям.

Математическая терминология рукописей XVII в. еще значительно отличалась от современной. Так: слагаемые назывались перечнями, сумма – исподним большим перечнем, уменьшаемое – заемным перечнем, вычитаемое – платежным перечнем; сомножители и их произведение особых наименований не имели, делимое – большим перечнем, делитель – деловым перечнем, частное – жеребейным перечнем, остаток – остаточной долей.

Организация школ

В период монголо-татарского нашествия школы, получившие начало еще в Киевской Руси Х в. , почти прекратили свое существование. Знания передавались устно редкими грамотеями.

В XVII в. Русское православное духовенство в целях усиления борьбы с западной католической церковью вынуждено было готовить духовных пастырей, хорошо разбирающихся в вопросах богословия, логики, риторики и диалектики. Это привело к открытию в Москве в 1687 году Славяно-греко-латинской академии. Из стен этой академии вышли Л. Ф. Магницкий, автор известного учебника по математике, а также выдающийся русский ученый и просветитель М. В. Ломоносов.

Реформы, начатые Петром 1, потребовали широкого светского обучения. Посылка Петром 1 значительного количества молодых людей за границу и организованное им за границей печатание книг для России не дало ожидаемого эффекта. Поэтому еще в 1698 г. Петр 1 пригласил в Москву профессора Аббердинского университета англичанина Фарварсона для преподавания математики и морских наук. Вскоре после его приезда, в 1701 г. в Москве была основана и начала работу «математических и навигацких, то есть мореходно - хитростных наук школа»”. Фарварсон развил энергичную деятельность: он участвовал в разработке программ навигацкой школы, ввел в них арифметику, алгебру, геометрию, тригонометрию плоскую и сферическую, сам преподавал их, а также писал учебники.

В 1715 году на базе навигацкой школы была создана и переведена в Петербург Морская академия. Одновременно Петр 1 распорядился разослать в губернии по два ученика этой школы, выучивших геометрию и географию, «для науки молодых ребяток из всяких чинов людей”. Образовывающиеся таким образом в губерниях школы получили название «цифирных», так как в них обучали, прежде всего, арифметики и геометрии.

Население, однако, неохотно отпускало своих детей в цифирные школы.

Обучение в цифирной школе было построено следующим образом. Идеальным порядком в классе считался такой, когда каждый ученик зубрил свою часть предмета вслух. Учитель, уверенный, что все заняты своим делом, мог спокойно отдаться собственным занятиям. Согласованного хора при этом быть не могло, так как учащиеся одного класса проходили разные части одного предмета или даже вообще различные предметы. Например, в арифметическом классе рязанской цифирной школы в 1727 году 11 учились счислению, 5 – сложению, 1 – вычитанию, 3 – умножению, 5 – делению, 3 – тройному правилу, 1 – десятичным дробям, 1 – циркульным приемам, 1 - плоской тригонометрии и тангенсам.

Цифирные школы просуществовали до 1744 года. К этому времени из 42 школ осталось только 8. Три самые большие из них были слиты с так называемыми гарнизонными школами, где преподавателями были офицеры и унтер-офицеры. Гарнизонные школы, также как и цифирные школы, сыграли значительную роль в распространении элементарных математических знаний. Из этих школ, а также из духовных семинарий вышла основная масса учителей математики.

“АРИФМЕТИКА” Леонтия Филипповича Магницкого

Магницкий Леонтий Филиппович, русский математик, педагог, родился 9(19). 06. 1669 в Осташковской слободе Тверской губернии в крестьянской семье. О детстве и отрочестве его мало что известно. По некоторым сведеньям он учился в Славяно-греко-латинской академии в Москве. Своим образованием он обязан не столько школе, сколько своей одаренности и упорному труду, благодаря которым изучил математику, древние языки, пиитику и риторику.

В 32 года Магницкий был учителем математики в Навигацкой школе, за тем учителем и заведовал учебной частью в Морской академии в Петербург. Он также занимался набором в цифирные школы.

В 1703 году Магницкий напечатал свою “Арифметику“, которая до середины 18 века была основным учебником математики в России. Благодаря научно-методическим и литературным достоинствам его “Арифметика” использовалась и после появления других книг по математике, более соответствующих новому уровню наук.

Кроме “Арифметики” Магницкий написал еще несколько пособий по математике. Он принимал участие в издании “Таблицы логарифмов, синусов, тангенсов, секансов к научению мудролюбивых тщателей”, а в 1722 году издал справочник “Таблицы северных горизонтальных и южных широт “.

“Арифметика, сиречь наука численная” Магницкого состоит из двух предисловий, введения и трех книг (третья книга посвящена навигации). Весь материал в книгах изложен в форме вопросов и ответов.

“Книгу первую арифметики” автор начинает определением арифметики: “Арифметика или числительница, есть художество честное, независное и всем удобопонятное, много полезнейшее, и многохальнейшее, от древнейших же и новейших, в разные времена являющихся изряднейших арифметиков, изобретенное и изложенное».

Охарактеризовав арифметику не столько по содержанию, сколько по «гражданским качествам», Магницкий делит ее на “арифметику политику” и “арифметику логистику”.

“Арифметика политика” состоит из пяти частей: “О числах целых”, “О правилах подобных в трех, пяти и седми перечнях”, “О правилах фальшивых, еже есть гадательных”, “О правилах квадратных и кубических, геометрии принадлежащих”,

В первой части рассмотрены целые числа и пять действий – нумерация, сложение, вычитание, умножение и деление. После действий с целыми Леонтий Филиппович дает общую схему денежной системы и весовых единиц, древних и современных ему народов, а так же мер Московского государства. Далее он знакомит читателя со сложением и вычитанием именованных чисел, а также с их раздроблением и превращением, которое рассматривает как умножение и деление. Действия с именованными числами Магницкий выполняет по обычному способу.

Во второй части дано определение дробей “Число ломаное нечтоже ино есть, токмо часть вещи, число объявленная сиречь полтина, есть половина рубля”, затем изложены арифметические действия с дробями – нумерация, сокращение, сложение, вычитание, умножение и деление – и приведено много примеров.

В третьей части автор обращает внимание читателя на необходимость знания арифметических действий над целыми и дробными числами и понятия пропорциональности.

В четвертой части “Арифметики” Магницкий рассматривает три “фальшивых правила”:

1. В первом и во втором предложении получаем числа большие искомого;

2. В первом и во втором предположении получаем числа меньшие искомого;

3. В первом предложении получаем число, меньшее искомого или наоборот.

Правило ложного положения позволяло механически получать точные решения задач, и его можно было применять в приближенных вычислениях.

Пятая часть посвящена прогрессиям и извлечению квадратного и кубического корней. Рассмотрено три вида прогрессии: арифметические, геометрические и гармонические.

Рассматривая задачи на вычисление поверхностей, Магницкий приводит, впервые в русской литературе, сведения о десятичных дробях. Он полностью излагает сложение десятичных дробей и формулирует правило для вычитания и умножения их.

“Книга вторая арифметики” начинается большим предисловием, раскрывающим название «Арифметики логистики”, или арифметики небесных движений, или, наконец “астрономской». Здесь дается определение алгебры, правила вычисления различных «планиметрии и солидометрии”.

Характерной особенностью всех рассматриваемых задач является связь их содержания с жизненной практикой.

В этой части рассматриваются также способ решения квадратных уравнений.

В учебнике строго проводится единая форма изложения: каждое правило начиналось с простого примера, затем давалась его общая формулировка и закреплялось большим количеством задач практического содержания.

Леонтию Филипповичу известно было правило умножения многочленов столбиком:

6q, а это правило, где R - неизвестное, т. е. Х, q - неизвестное в квадрате, т. е Х2, - знак вычитания.

Действительно: (2х+1)(3х-2) = 2х*3х+1*3х+2х*2-2*1 = 6х2 – 1х – 2 или в обозначениях Магницкого имеем

“Арифметика» Магницкого сыграла большую роль в распространении математических знаний в России. По этой изучали математику люди, занимающиеся самообразованием. По ней учился М. В. Ломоносов, называвший этот учебник «вратми учености”.

Примеры задач

1. Один путник идет от града в дом, а ходу его будет 17 дней, а другой путешественник от дому в гард, тот же путь творяти, может пройти в 20 дней. Оба же сии чесловека пойдоша во един и тот же час от мест своих, и ведательно есть, в колико дней сойдутся.

2. Некто пришел в ряд, купил игрушек для малых ребят: за первую игрушку заплатил 1/5 часть всех своих денег, за другую часть 3/7 остатка от первой покупки, а по приезде в дом нашел остальных в кошельке денег 1 руб. 92 коп. , спрашивается, сколько денег было и сколько за которую игрушку денег заплачено.

3. Найти число, зная, что, сложив его квадрат с 108, получится число, в 24 раза больше искомого.

4. Из сукна шириной 2 1/4 аршина, а длиной 3 1/4 аршина сшила кафтан. Сколько нужно сукна на кафтан, если его ширина 2 1/2 аршина?

Решение задач

1. Т. к. во всех трех случаях речь идет об одном и том же расстоянии, то примем его за 1. Тогда первый путник за 1 день (его скорость) проходит всего расстояния, а второй этого расстояния. За один день они сблизятся (скорость сближения) на всего пути. Следовательно, до встречи им потребуется дней. Получаем: 9. Ответ:

2. Пусть у покупателя было х рублей, тогда стоимость I покупки рублей, а остаток после ее приобретения рублей. За II игрушку покупатель заплатил рублей и у него осталось после этого рублей. За III игрушку было уплачено рублей. В кошельке осталось рублей, что составляет 1,92 рублей. Тогда уравнение:

I – игрушка стоит руб.

II – игрушка стоит руб.

III – игрушка стоит руб.

Ответ: 10 руб. 50 коп. , 2 руб. 19 коп. , 3 руб. 60 коп, 2 руб. 88 коп.

3. Пусть х исходное число, тогда х2 + 108 = 24 х х2 -24 х + 108 = 0 х1 =6; х2 = 18.

Ответ: 6; 8.

4. Так как из ткани другой ширины требуется сшить точно такой же кафтан, то длина будет зависеть от ширины, а именно, чем больше ширина, тем меньше потребуется длина. Имеем дело с обратно пропорциональными величинами. Составим пропорцию:

Ответ: аршина.

Николай Иванович Лобачевский

(1792 – 1856)

ЛОБАЧЕВСКИЙ Николай Иванович (1792-1856), российский математик, создатель неевклидовой геометрии (геометрии Лобачевского).

ЛОБАЧЕВСКИЙ Николай Иванович [2 ноября (11 декабря) 1792 Нижний Новгород — 12 (24) февраля 1856 Казань], российский математик, создатель неевклидовой геометрии.

Родился в небогатой семье мелкого служащего. Почти вся жизнь Лобачевского связана с Казанским университетом, в который он поступил по окончании гимназии в 1807 году. По окончании университета в 1811 году стал математиком, в 1814 году — адъюнктом, в 1816 году — экстраординарным и в 1822 году — ординарным профессором. Дважды (1820-22 и 1823-25 гг. ) был деканом физико-математического факультета, а с 1827 по 1846 — ректором университета.

При Николае Ивановиче Казанский университет достиг расцвета. Обладавший высоким чувством долга, Лобачевский брался за выполнение трудных задач и всякий раз с честью выполнял возложенную на него миссию. Под его руководством в 1819 была приведена в порядок университетская библиотека. В 1825 Лобачевский был избран библиотекарем университета и оставался на этом посту до 1835, совмещая (с 1827) обязанности библиотекаря с обязанностями ректора. Когда в университете началось строительство зданий, Лобачевский вошел в состав строительного комитета (1822), а с 1825 возглавил комитет и проработал в нем до 1848 (с перерывом в 1827-33 гг. ).

По инициативе Лобачевского начали издаваться «Ученые записки Казанского университета» (1834), были организованы астрономическая обсерватория и большой физический кабинет.

Активная университетская деятельность Лобачевского была пресечена в 1846, когда Министерство просвещения отклонило ходатайство ученого совета университета в оставлении Лобачевского не только на кафедре, но и на посту ректора. Незаслуженный удар был, тем более ощутим, что Министерство удовлетворило испрашиваемую в том же ходатайстве просьбу ученого совета об оставлении на кафедре астронома И. М. Симонова, участника экспедиции Ф. Ф. Беллинсгаузена и М. П. Лазарева (1819-21 гг. ) к берегам Антарктиды.

Величайшим научным подвигом считается создание им первой неевклидовой геометрии, историю которой принято отсчитывать от заседания Отделения физико-математических наук в Казанском университете 11 февраля 1826, на котором Лобачевский выступил с докладом «Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных». В протоколе заседания об этом великом событии следующая запись: «Слушано было представление Г. Орд. Профессора Лобачевского от 6 февраля сего года с приложением своего сочинения на французском, о котором он желает знать мнение членов Отделения и, ежели оно будет выгодно, то просит сочинение принять в составление ученых записок Физико-математического факультета».

В 1835 Лобачевский кратко сформулировал побудительные мотивы, которые привели его к открытию неевклидовой геометрии: «Напрасное старание со времен Евклида в продолжении двух тысяч лет заставило меня подозревать, что в самих понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказать и которую проверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, Астрономические наблюдения. В справедливости моей догадки будучи наконец убежден и почитая затруднительный вопрос решенным вполне, писал об этом я рассуждение в 1826 году».

Николай Иванович исходил из допущения, согласно которому через точку, лежащую вне данной прямой, проходит несколько прямых, не пересекающихся с данной прямой. Развивая следствия, проистекающие из этого допущения, которое противоречит знаменитому V постулату (в других вариантах 11-ой аксиоме) «Начал» Евклида, Лобачевский не убоялся сделать дерзкий шаг, перед которым из опасения противоречий останавливались его предшественники: построить геометрию, противоречащую повседневному опыту и «здравому смыслу» — квинтэссенции повседневного опыта.

Ни комиссия в составе профессоров И. М. Симонова, А. Я. Купфера и адъюнкта Н. Д. Брашмана, назначенная для рассмотрения «Сжатого изложения», ни другие современники Лобачевского,в том числе выдающийся математик М. В. Остроградский, не смогли по достоинству оценить открытие Лобачевского. Признание пришло лишь через 12 лет после его кончины, когда в 1868 г. Э. Бельтрами показал, что геометрия Лобачевского может быть реализована на псевдосферических поверхностях в евклидовом пространстве, если за прямые принять геодезические.

Открытие Лобачевского поставило перед наукой, по крайней мере два принципиально важных вопроса, не поднимавшихся со времен «Начал» Евклида: «Что такое геометрия вообще? Какая геометрия описывает геометрию реального мира?». До появления геометрии Лобачевского существовала только одна геометрия — евклидова, и, соответственно, только она могла рассматриваться как описание геометрии реального мира. Ответы на оба вопроса дало последующее развитие науки: в 1872 Феликс Клейн определил геометрию как науку об инвариантах той или иной группы преобразований (различным геометриям соответствуют различные группы движений, т. е. преобразований, при которых сохраняются расстояния между любыми двумя точками; геометрия Лобачевского изучает инварианты группы Лоренца, а прецизионные геодезические измерения показали, что на участках поверхности Земли, которые с достаточной точностью можно считать плоскими, выполняется геометрия Евклида). Что же касается геометрии Лобачевского. то она действует в пространстве релятивистских (т. е. близких к скорости света) скоростей. Лобачевский вошел в историю математики не только как гениальный геометр, но и как автор фундаментальных работ в области алгебры, теории бесконечных рядов и приближенного решения уравнений.

Михаил Васильевич Острограцкий

(1801 – 1861)

ОСТРОГРАДСКИЙ Михаил Васильевич (1801-1861/62), российский математик и механик, академик Петербургской АН (1830). Сформулировал общий вариационный принцип для неконсервативных систем. Труды по математическому анализу, математической физике, аналитической и небесной механике, гидромеханике, теории упругости, баллистике.

Пафнутий Львович Чебышев

(1821 – 1894)

ЧЕБЫШЕВ Пафнутий Львович (1821-94), российский математик, создатель петербургской научной школы, академик Петербургской АН (1856).

ЧЕБЫШЕВ Пафнутий Львович [14 (26) мая 1821, село Окатово Калужской губернии, ныне Калужской области — 26 ноября (8 декабря)1894, Санкт-Петербург], российский математик и механик, член Петербургской академии наук (с 1856 г. ), основатель Петербургской математической школы. Член Берлинской АН (1871), Болонской АН (1873), Парижской АН (1874; член-корреспондент с 1860), Лондонского Королевского общества (1877), Шведской АН (1893) и почетный член многих русских и иностранных научных обществ, академий, университетов.

В научном творчестве П. Л. Чебышева практические работы были неразрывно связаны с высокой наукой и проистекали из философской установки, которую он с наибольшей полнотой сформулировал в докладе «Черчение географических карт» на торжественном акте 8 февраля 1856 в Петербургском университете: «Науки математические с самой глубокой древности обращали на себя особенное внимание; в настоящее время они получили еще больше интерес по влиянию своему на искусства и промышленность. Сближение теории с практикой дает самые благоприятные результаты, и не только одна практика от этого выигрывает; сами науки развиваются под влиянием ее: она открывает им новые предметы для исследований или новые стороны в предметах, давно известных. Несмотря на ту высокую степень развития, до которой доведены науки математические трудами великих геометров трех последних столетий, практика обнаруживает ясно неполноту их во многих отношениях; она предлагает вопросы существенно новые для науки и таким образом вызывает на изыскание совершенно новых методов. Если теория много выигрывает от новых приложений старой методы или от новых развитий ее, то она еще более приобретает открытием новых метод, и в этом случае науки находят себе верного руководителя в практике.

Практическая деятельность человека представляет чрезвычайное разнообразие, и для удовлетворения всех ее требований, разумеется, недостает науке многих и различных методов. Но из них особенную важность имеют те, которые необходимы для решения различных видоизменений одной и той же задачи, общей для всей практической жизни человека: как располагать средствами своими для достижения по возможности большей выгоды. ?»

Как было принято в дворянских семьях того времени, первоначальное образование П. Л. Чебышев получает дома. В возрасте шестнадцати лет поступает в Московский университет. Его работа «Вычисление корней уравнений», представленная на объявленную факультетом тему, удостаивается серебряной медали. В том же 1841 Чебышев заканчивает Московский университет, в котором в 1846 защищает магистерскую диссертацию «Опыт элементарного анализа теории вероятностей».

В 1847 после переезда в Петербург защищает в Петербургском университете диссертацию «Об интегрировании с помощью логарифмов» на право чтения лекций и после утверждения в звании доцента приступает к чтению лекций по алгебре и теории чисел. В 1849 защищает в Петербургском университете докторскую диссертацию «Теория сравнений», которая в том же году была удостоена Демидовской премии. С 1850 по 1882 — профессор Петербургского университета. После выхода в отставку Чебышев до конца жизни занимается научной работой.

Наибольшее число работ Чебышева посвящено математическому анализу. В диссертации 1847 на право чтения лекций Чебышев исследует интегрируемость некоторых иррациональных выражений в алгебраических функциях и логарифмах. В работе 1853 «Об интегрировании дифференциальных биномов» Чебышев, в частности, доказывает свою знаменитую теорему об условиях интегрируемости дифференциального бинома в элементарных функциях. Интегрированию алгебраических функций посвящено несколько работ Чебышева.

Во время заграничной командировки в мае-октябре 1852 г. (во Францию, Англию и Германию) Чебышев знакомится с регулятором парового двигателя — параллелограммом Джеймса Уатта. В «Отчете экстраординарного профессора С. -Петербургского университета Чебышева о путешествии за границу» об этом говорится следующее: «Из многих предметов исследования, которые представились мне при рассматривании и сличении между собой различных механизмов передачи движения, особенно в паровой машине, где и экономия в топливе, и прочность машины много зависят от способов передачи работы пара, я особенно занялся теориею механизмов, известных под названием параллелограммов. Изыскивая различные средства извлекать из пара наиболее работы в том случае, когда нужно иметь вращательное движение, как это большею частью бывает, Уатт изобрел особенный механизм для превращения прямолинейного движения поршня во вращательное (движение) коромысла — механизм, известный под названием параллелограмм. Из истории практической механики известно только, что на мысль о возможности подобного механизма великий преобразователь паровых машин и был наведен рассматриванием особенного снаряда, где через совокупление различных вращательных движений получались разнообразные кривые линии, некоторые близкие к прямой. Но мы не знаем, каким путем он дошел до наивыгоднейшей формы своего механизма и размера его элементов. Правила, которым следовал Уатт при устройстве параллелограммов, могли служить руководством для практики только до тех пор, пока не встретилась необходимость изменить форму его; с изменением формы этого механизма потребовались новые правила. Эти правила и практика, и современная теория извлекают из начала, которому, по-видимому, следовал Уатт при устройстве своих параллелограммов. Суждения, которые приводят в доказательство этого начала, очевидно, не могут выдержать никакой критики; даже на практике очень часто оказывается неудобным употреблять элементы параллелограммов, необходимые по этому началу, так что для поправки их понадобились особые таблицы. Из сказанного мною видно, до какой степени необходимо было параллелограмм Уатта и его видоизменения подвергнуть строгому анализу, заменивши вышеупомянутое начало существенными свойствами этого механизма и условиями, которые встречаются на практике. С этой целью я, обращал особенное внимание на обстоятельства, которыми условливаются некоторые из его элементов как в машинах фабричных, так и на пароходах, а с другой стороны — на вредные действия неправильностей его хода, которых следы можно заметить на машинах, бывших долго в употреблении.

Предположивши вывести правила для устройства параллелограммов прямо из свойств этого механизма, я встретил вопросы анализа, о которых до сих пор знал очень мало. Все, что сделано в этом отношении, принадлежит члену Парижской академии г-ну Понселе, известному ученому в практической механике; формулами, им найденными, пользуются очень много при вычислении вредных сопротивлений машин. Для теории параллелограмма Уатта необходимы формулы более общие и приложение их не ограничивается исследованием этих механизмов.

В практической механике и других прикладных науках есть целый ряд вопросов, для решения которых они необходимы».

Для Чебышева, углубленно размышлявшего над проблемами математической теории параллелограммов, особый интерес представляли машины, изготовленные под непосредственным руководством Джеймса Уатта. Счастливый случай, которого Чебышев настойчиво искал, представился вскоре после прибытия в Англию. В «Отчете» об этом рассказывается так: «По приезде в Лондон я обратился к двум известным английским геометрам Сильвестру и Кэли. Расположению этих ученых я обязан, с одной стороны, интересными беседами по различным отраслям математики, на что употреблял я вечера и воскресные дни, в продолжение которых все фабрики закрыты, а с другой стороны, случаем познакомиться с известным английским инженером-механиком Грегори. Узнавши о цели моего путешествия и в особенности о тех вопросах практической механики, решение которых составляло предмет моих занятий, он вызвался содействовать мне в отыскании на лондонских фабриках предметов, наиболее для меня необходимых. С этой целью он ездил со мною на различные фабрики, где полагал найти различные машины, устроенные самим Уаттом. Эти машины были особенно интересны для меня как данные о правилах, которым следовал Уатт при устройстве своих параллелограммов, правила, с которыми я должен был сравнивать результаты моих изысканий, упомянутых выше. К сожалению, оказалось, что одна из самых старинных машин Уатта, долго сохранявшаяся была, продана в лом; но г-н Грегори успел найти две машины, которые, как видно по патентам, были совсем недавно переделаны Уаттом и сохраняются теперь как достопамятность».

Результаты своих изысканий П. Л. Чебышев изложил в обширном мемуаре «Теория механизмов, известных под названием параллелограммов» (1854 г. ), заложив основы одного из наиболее важных разделов конструктивной теории функций — теории наилучшего приближения функций. Именно в этой работе П. Л. Чебышев ввел ортогональные многочлены, носящие ныне его имя. Помимо приближения алгебраическими многочленами, П. Л. Чебышев рассматривал приближение тригонометрическими многочленами и рациональными функциями.

От задачи построения многочленов, наименее уклоняющихся от нуля, Чебышев перешел к построению общей теории ортогональных многочленов, исходя из задачи интегрирования с помощью парабол по методу наименьших квадратов.

Работа в артиллерийском отделении военно-ученого комитета, членом которого длительное время состоял Чебышев, привела к необходимости решения некоторых задач, связанных с квадратурными формулами [им посвящена работа «О квадратурах» (1873 г. )] и теорией интерполяции.

Помимо параллелограмма Уатта, Чебышев интересовался и другими шарнирными механизмами, о чем свидетельствуют, например, такие его работы, как «О некотором видоизменении коленчатого параллелограмма Уатта» (1861), «О параллелограммах» (1869), «О параллелограммах, состоящих из трех каких-либо элементов» (1879) и др. Он сам занимался конструированием механизмов, построил знаменитую «стопоходящую машину», воспроизводящую движение животного при ходьбе, автоматический арифмометр, механизмы с остановками и множество других механизмов.

В работе «О построении географических карт» (1856 г. ) Чебышев поставил задачу: найти такую картографическую проекцию страны, при которой в малых частях сохранялось бы подобие для того, чтобы наибольшее различие масштабов в окрестностях различных точек было минимальным.

В теории чисел Чебышев стал основоположником русской школы, славу которой составили работы его учеников Г. Ф. Вороного, Е. И. Золотарева, А. Н. Коркина, А. А. Маркова. Чебышеву удалось получить важные результаты в решении проблемы распределения простых чисел — уточнить количество простых чисел, не превосходящих данное число x [«Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины» (1849 г. ); «О простых числах» (1852 г. )]. В работе «Об одном арифметическом вопросе» (1866) Чебышев рассмотрел вопрос о приближении чисел рациональными числами, сыгравшими важную роль в становлении теории диофантовых приближений.

Работы Чебышева по теории вероятностей [«Опыт элементарного анализа теории вероятностей» (1845 г. ); «Элементарное доказательство одного общего положения теории вероятностей» (1846 г. ); «О средних величинах» (1867 г. ); «О двух теоремах относительно вероятностей» (1887 г. )] ознаменовали важный этап в развитии теории вероятностей. П. Л. Чебышев стал систематически использовать случайные величины. Им доказаны неравенство, носящее ныне имя Чебышева, и — в весьма общей форме — закон больших чисел.

В 1944 г. Академией наук учреждена премия имени П. Л. Чебышева.

Я считаю, что так письменность стала развиваться в начале Х века, то и понятно, что поэтому поздно стала развиваться и математика на Руси.

Но и то, когда можно было поднять математические знания на должный уровень сначала духовенство мешало развитию математики, а затем сами ученые не хотели признавать труды, своих соотечественников, так как получилось с Николаем Ивановичем Лобачевским.

Но реформы, проводимые Петром I, потребовали знаний. Как писал Петр 1: «Академики должны нам приобрести в Европе доверие и честь, доказав на деле, что и у нас работают для науки и что пора перестать считать нас за варваров, пренебрегающих наукой”, поэтому была создана первая Академия, которая определялась как “собрание ученых и искусных людей, которые не только сии науки в своем роде, в том градусе, в котором оные ныне обретаются, исчезают, но и через инвенты оные совершить и умножить тщатся».

Русская Академия наук и ее университет оказались центром новой светской науки, свободной от религиозного влияния. Т. е. наука стала развиваться.