Свойства конкурентных Чевиан треугольника

В школьном курсе геометрии я изучал только три вида отрезков в треугольнике, это медианы биссектрисы и высоты. При изучении данной проблемы я узнал, что существуют другие отрезки в треугольники - чевианы. Сразу скажем, что такое чевиана. Чевиана – это произвольный отрезок в треугольнике, исходящий из вершины к любой точке на противоположной стороне. К ним также относятся и медианы, и биссектрисы, и высоты. В свою очередь, чевианы делятся на два вида – конкурентные и неконкурентные, Конкурентные чевианы – это чевианы имеющие общую точку пересечения, а неконкурентные – это не имеющие общую точку. Нас интересуют, только конкурентные.

Каждому школьнику известно, что медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника, три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников. Я заинтересовался: а будет ли это свойство выполняться для любых трех конкурентных чевиан.

1. Если чевианами являются медианы, то ответ очевиден, так как два равновеликих треугольника с общей высотой имеют равные стороны, к которым эта сторона проведена.

Правда в этом утверждении участвует много треугольников, площади которых нужно сравнивать, и возникает желание уменьшить их число. Этого можно добиться, если сначала установить следующий критерий: точка G внутри треугольника ABC принадлежит медиане AD тогда и только тогда, когда [ABG] = [CAG], где [Ф] здесь и далее обозначает площадь фигуры Ф.

Чтобы доказать это утверждение, опустим из вершин B и C треугольников ABG и CAG высоты BK и CL на прямую AD, содержащую их общую сторону AD. Нам нужно установить, что точка G принадлежит медиане AD тогда и только тогда, когда равны треугольники DBK и CLD (а они подобны при любом выборе точки G, так как прямые CL и BK перпендикулярны прямой AM и, следовательно, параллельны).

Доказанный критерий «о мотыльке с равновеликими крыльями» позволяет нам доказать, что, точка G внутри треугольника ABC является точкой пересечения медиан тогда и только тогда, когда равновеликими являются треугольники ABG. BCG и CAG.

Ясно, что если с тремя конкурентными чевианами четыре каких-то маленьких треугольника равновелики, то эти чевианы являются медианами треугольника. Достаточно ли равенства площадей трех любых таких треугольников для того, чтобы точка G оказалась точкой пересечения медиан треугольника?

Рассмотрим три случая.

1. Если три равновеликих треугольника являются соседними и, например, u = z = v, то AD – медиана треугольника ABC, так как GD медиана треугольника BGC. Но треугольник BCE составлен из трех равновеликих треугольников, и поэтому [CBG] = 2[CGE]. Но эта пара треугольников имеет общую вершину и, тем самым, одинаковые высоты. Поэтому BG = 2GE. По теореме о медианах отсюда заключаем, что G – точка пересечения медиан треугольника ABC.

2. Если только два равновеликих треугольника являются соседними (например, u = z = y), то GD – медиана треугольника GBC, то есть D – середина BC. Так как u = y, то y = w = x = u = w = x, то есть [DAB] = [EAB]. Но эта пара треугольников имеет общую сторону AB и поэтому высоты этих треугольников, к ней проведенные, равны. Таким образом, DE║AB, то есть DE – средняя линия треугольника ABC, и поэтому DE – медиана.

3. Пусть теперь у одного из «трилистников» на рис. 3 три «лопасти» равновелики: u = w = v = a. Заметим, что

[GBD]:[GDC] = BD:DC = [ABD]:[ADC], то есть

Аналогично, рассуждая, заключаем, что числа x, y, z, u, v, w удовлетворяют системе уравнений

(*) которая в рассматриваемом случае выглядит так:

Перемножая эти уравнения, имеем: xyz = a3. Сравнивая эти три пары дробей, из системы заключаем, что az + a2 = xy + ax, ax + a2 = yz + ay, ay + a2 = xz + az.

Сложим эти равенства и получим xy + xz + yz = 3a2

Умножая первое уравнение на z, второе на – x, а третье – на y, а затем, складывая полученные равенства, найдем, что a(x2 + y2 + z2) + a2(x + y + z) =

= 3xyz + a(xy + xz + yz).

Используя алгебраическое тождество x2 + y2 + z2 = (x + y+ z)2 – 2(xy +xz + yz), из последнего равенства, с учетом полученного выше равенства, заключаем, что x + y + z = 3a и тем самым числа x, y, z удовлетворяют системе уравнений x + y + z = 3a, xy + xz + yz = 3a2. xyz = a3.

Следовательно, по теореме Виета числа x, y, z являются корнями уравнения третьей степени t3 – 3at2 + 3a2t – a3 = 0, то есть уравнения (t – a)3 = 0. Отсюда уже следует, что x = y = z = a.

Что же можно утверждать, если известно, что только два из шести «маленьких треугольников» равновелики?

Решение. Рассмотрим несколько случаев.

Если u = z, то доказывать нечего, так как GD - медиана GBC.

Если u = y, то четырехугольник BDEA, как мы убедились выше, является трапецией, и поэтому прямые AC и DE параллельны. Отсюда заключаем, что CF – медиана треугольника ABC. Это следует из того, что отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения ее диагоналей, делится этой точкой пополам.

Наконец, если u = x, то из системы (*) легко следует, что одновременно выполняются равенства x + y + z = u + v + w, xy + yz + xz = uv + vw + uw, xyz = uvw.

Поэтому две тройки чисел (x, y, z) и (u, v, w) являются корнями одного и того же уравнения третьей степени с общим корнем x = u. Следовательно, пары чисел y, z и v, w являются корнями одного и того же квадратного уравнения.

Итак, в рассматриваемом случае возможны два варианта: x = u, y = v, z = w и x = u, y = w, z = v. Если y = v, то BE – медиана треугольника AGC и, следовательно, треугольника ABC. Если y = w и z = v, то из первых двух уравнений системы (*) получаем, что x = y = z, и тем самым, все шесть «маленьких треугольников» равновелики. Таким образом, G – точка пересечения медиан треугольника ABC, и если два равновеликих треугольника принадлежат разным «трилистникам», то одна из чевиан (по крайней мере) является медианой треугольника.

Большой интерес вызвала у меня теорема о площади треугольника, образованного тремя неконкурентными чевианами.

Теорема. Точки D, E, F делят стороны треугольника ABC так, что а чевианы AD, BE, CF пересекаются попарно в точках G, H, K

Для доказательства заметим, что для сравнения [GHK] с [ABC] достаточно сравнить каждую из площадей [AGB], [BCH], [CAK] с площадью треугольника ABC. Так как

[GHK] = [ABC] – [AGB] – [BCH] – [CAK]

Рассмотрим треугольник ABG. В четырехугольнике ABDE он является одним из четырех треугольников, на которые разбивают четырехугольник две диагонали. Для площадей таких треугольников имеет место теорема о бабочках, которая утверждает, что

[ABG]*[DEG] = [AGE]*[BDG]

1) Таким образом, все, что рассмотрено и доказано в научных трудах относится к одному виду чевиан – медианам.

2) Мне интересно найти множество точек G для трех произвольных конкурентных чевиан треугольника, для каждой точки которого площади «трилистников» равны. Для этого я провел следующие исследования:

1. Взял произвольный треугольник и провел в нем три медианы. Этот случай не требует особых измерений, так как по теореме известно, что все шесть треугольников равновелики, а значит и площади «трилистников» одинаковы.

2. Взял тот же произвольный треугольник и провел в нем высоты. В этом случае мне пришлось проводить измерения. Я измерил линейкой длины всех отрезков и вычислил площади треугольник по формуле для прямоугольных треугольников, так как чевианы являются высотами. Пришел к выводу, что площади «трилистников» не равны.

3. Вновь беру тот же произвольный треугольник и провожу в нем биссектрисы, так же измеряю длины сторон линейкой и вычисляю площади треугольников по формуле Герона , где a, b, c – стороны треугольника, а - полупериметр треугольника. И вновь прихожу к выводу, что и в этом случае площади «трилистников» не равны.

4. Беру вновь тот же треугольник и провожу в нем произвольные чевианы, вновь провожу необходимые измерения, вычисляю площади треугольников по формуле Герона. Прихожу к выводу, что и здесь площади «трилистников» не равны. Еще несколько опытов с конкурентными чевианами не изменили моего вывода.

Эти исследования убеждают меня в том, что площади «трилистников» будут равны только в том случае, когда чевианами являются медианы.

Чтобы увидеть, чем же будет являться все множество точек пересечения конкурентных чевиан, я провел следующий эксперимент: все треугольники, а во всех опытах я брал их равными и налаживал их друг на друга. Беспорядочное расположение точек пересечения конкурентных чевиан позволило мне выдвинуть гипотезу, что если построить достаточно много этих точек, то они заполнят все внутреннее пространство треугольника.

После проведенных опытов я пришел к следующим выводам:

1) Множество точек для трех произвольных конкурентных чевиан является сам треугольник, но без границ.

2) Равенство x + y + z = u + y + z имеет место только для одного вида чевиан – медиан.

В дальнейшем я хочу найти и изучить компьютерную программу, с помощью которой можно провести большое количество опытов для произвольных конкурентных чевиан.