Зачем нужно строить асимптоты графиков дробно-рациональной функции?

Мы выбрали тему по следующей причине. На уроках алгебры в 8 классе строили графики функций у = kx-1 и y=x-2. Оказалось, что графики наряду с различными другими свойствами имеют особенность: они как бы разрываются на две части, при этом при удалении от начала координат приближаются к осям координат и не пересекают их. Оси координат при этом являются асимптотами графика. При построении таких графиков как мы первоначально применяет параллельный перенос графиков у = kx-1 и y=x-2 вдоль осей координат. Учитель обратил внимание на наличие асимптот и предложил другой способ построения графиков: построение графиков начать с построения асимптот. Проблема: зачем надо строить асимптоты графиков функций указанного вида?

Цель нашей работы: Выяснить, зачем надо строить асимптоты, графики каких функций имеют асимптоты, какие и сколько асимптот могут иметь графики. Ответы на эти вопросы помогут убедиться в том, что асимптоты действительно помогают строить графики функций данного вида.

Постановка задач, исходящих из цели (Что делать)

1. Выяснить:

- когда и в связи с какими потребностями появилось понятие «асимптота»;

- сколько определений имеет это понятие, что общего в этих определениях и в чем заключаются их различия.

2. Определить наличие и вид асимптот у графика функции, если числитель и знаменатель – линейные функции.

3. Определить наличие и вид асимптот у графика функции, если числитель – линейная функция, а знаменатель – квадратичная функция.

4. Определить наличие и вид асимптот у графика функции, если числитель и знаменатель – квадратичные функции.

5. Определить наличие и вид асимптот у графика функции, если числитель – квадратичная функция и знаменатель – линейная функция.

6. Выяснить, можно ли строить эскизы графиков дробно-рациональных функций элементарными способами.

7. На основании задач исследования 2-5, вывести критерии существования асимптот.

Выбор способов работы (Как делать)

1. Анализ школьных учебников математики, математической, справочной литературы, литературы по истории математики. Сравнительный анализ определений понятия «асимптота»

2. Компьютерное моделирование математических объектов с помощью программы «Живая геометрия» (компьютерный эксперимент).

3. Анализ полученных с помощью компьютерного эксперимента данных.

4. Обобщение найденных с помощью компьютерного эксперимента закономерностей.

Проектным продуктом нашей работы является компьютерная презентация. Мы считаем, что именно такой продукт поможет достичь поставленной цели, будет использоваться на уроках алгебры и факультативных занятиях по математике. В результате выполнения работы будет установлен план построения асимптот и показано, как по внешнему виду функции определить какие и сколько асимптот имеет график. В презентации все рассуждения будут показаны наглядно с помощью графических построений.

План работы.

1 Анализ школьных учебников математики, математической, справочной литературы, литературы по истории математики. 1-10/X-2010

2. Сравнительный анализ определений понятия «асимптота» 1-10/X-2010

2. Научиться строить графики с помощью программы «Живая геометрия» 10-15/X-2010.

3 Реализация задач 2-5 – 16-26/ X-2010

4. Выполнение эскизов графиков дробно-рациональных функций, степени числителя и знаменателя которых не превышает двух.

Вывод критериев существования асимптот 27-31/X-2010

5. Создание проектного продукта (компьютерной презентации) 1-6/XI-2010.

6. Написание отчета о работе 7-15/ XI-2010.

7. Защита проекта на заседании секции математики школьного научного общества 20/XI-2010.

Выбор темы и уточнение названия. Первоначально тему назвали «Асимптоты графика дробно- рациональной функции». В ходе работы, отвечая на проблемный вопрос «Зачем надо строить асимптоты графиков функций указанного вида?», пришли к выводу, что асимптоты дают возможность построить эскиз графика дробно- рациональной функции. Поэтому решили назвать работу «Асимптоты - ориентир для построения графика дробно-рациональной функции», но тогда в названии не прослеживается требование «формулировка темы должна иметь проблемный характер», так как нет вопроса, а только утверждение, к которому мы пришли в результате исследования. Решили окончательно тему сформулировать следующим образом «Зачем нужно строить асимптоты графиков дробно-рациональной функции?», которая, по нашему мнению, больше соответствует цели, задачам и содержанию работы.

Сбор информации. Информацию искали в следующих источниках: школьные учебники, справочники, энциклопедии, литература для внеклассного чтения, в Интернете (Большая советская энциклопедия; Большой энциклопедический словарь БрокгаузаФ. А. , ЕфронаИ. А.; Википедия )

Проектный продукт изготовлен в виде компьютерной презентации в форме программы Microsoft PowerPoin.

Письменную часть проекта писали с использованием рекомендаций в брошюре Ступницкой М. А. «Что такое учебный проект?», «Первое сентября», 2010.

Мы начали работу с создание группы: «генератором идей» является Карелин Максим, т. к у него всегда много идей, «эрудитом» - Кожин Дима, он много знает и всегда может объяснить и доказать, Дима является лидером в нашей группе, «критиком» - Спиридонов Саша, он часто сомневается, переспрашивает, проверяет и перепроверяет.

Самым трудным на первом этапе работы для нас оказался выбор темы. Мы провели «мозговую атаку», обсудили, что мы хотим узнать, выполнив работу, какие вопросы могут возникнуть, высказали гипотезы, составили план работы, определили сроки. Определили цель работы: составить информационная модель (схема) исследования процесса построения графика дробно-рациональной функции, установить критерии существования асимптот. Началась работа по сбору и обработке информации, научились строить графики с помощью программы «Живая геометрия». После такой работы определили и уточнили план дальнейшей работы. Один из нас будет искать ответ на вопрос, какие асимптоты имеют графики дробно-рациональной функции (степени числителя и знаменателя не выше второй степени) и сколько асимптот может иметь график этой функции; установить, как найти уравнения асимптот элементарными методами. Второй – на вопрос, какие асимптоты имеют графики дробно-рациональных функций при условии, что степени числителя и знаменателя дроби в правой части функции выше второй. И третий - на самый трудный вопрос для нас, как найти координаты «особых» точек (в математике они называются экстремальными точками). По необходимости получали консультацию у учителя, которая помогала уточнить план работы, в выборе источников информации, делала необходимые нам объяснения, контролировала и направляла нашу работу. После работы каждого по своему вопросу мы обсудили итоги наших поисков, проанализировали и уточнили, что еще надо делать. Так по первому вопросу решили еще рассмотреть, как будет выглядеть эскиз графика дробно-рациональной функции в зависимости от дискриминанта числителя и знаменателя, когда они являются квадратичными функциями. По второму вопросу надо было разобраться, как график функции приближается к асимптотической кривой. По совету учителя мы составили информационные модели (схемы) исследования процесса построения графика дробно-рациональной функции. Работая по третьему вопросу, мы пришли к выводу, что не всегда координаты критических точек можно найти элементарными способами. Как пояснила учительница, для этого существует специальный математический аппарат, и узнаем мы это в старших классах. После того как мы доработали, стали делать компьютерную презентацию, готовиться к защите работы. Психолог школы провел нам консультацию о том, как надо себя держать во время выступления, как говорить, чтобы заинтересовать слушателей, как побороть волнение. Перед публичным выступлением нас выслушал учитель, задал вопросы в роли рядового участника. Выдвинули новую для себя проблему (это перспектива дальнейшей работы): по какому алгоритму происходит полное исследование функции.

Цели проекта нам удалось достичь, потому что каждый из нас ответственно относился к работе, мы изучили и проанализировали достаточно много источников, получали при необходимости консультацию у учителя.

Закончив проект, мы можем сказать, что в результате мы научились o работать с различными источниками информации, o строить графики с помощью программы «Живая геометрия», o установили четыре способа нахождения уравнений горизонтальных асимптот, o составили информационные схемы исследования процесса построения графика дробно-рациональной функции, o работать в команде, сотрудничать не только друг с другом, но и учителем, научились слушать друг друга, помогать друг другу, распределять обязанности при выполнении работы. Работа в команде позволила проект выполнить более глубоко и разносторонне, o искать пути решения обозначенных задач, o осуществлять план намеченной работы o делать анализ и самооценку своей работы, o определили перспективу работы на следующий учебный год: установить алгоритм полного исследования функции.

Свой проект во - первых мы защитили на итоговом уроке алгебры по теме «График дробно-рациональной функции», затем выступили на ученической научно-практической конференции в школе, представили работу на городской научно-практической конференции школьников «Юность Северодвинска».