Математика в поэзии Расула Гамзатова

Прошло 25 веков с тех пор, как великий Пифагор и его ученики открыли законы целочисленных отношений в музыке и дали математическое построение музыкальной гаммы. Но это были первые робкие шаги объяснить искусство математически языком. Лишь к середине XX века, который часто называют веком науки, произведения искусства стали подвергаться изучению математическими методами.

Разумеется, математические методы в искусствознании применяются не для того, чтобы алгеброй вытеснить гармонию, а чтобы подтвердить интуицию художника, полнее раскрыть замысел гения, а может быть, и найти закономерности, отличающие совершенное произведение. Как говорил Пуанкаре, «математика – это искусство называть разные вещи одним и тем же именем». Поэтому проникновение математических методов в анализ произведений искусства, безусловно, поможет назвать одним и тем же именем пока непонятные и несвязанные между собой законы искусства.

В своей работе нам хотелось бы подвергнуть исследованию математическими методами поэтические произведения народного поэта Дагестана Расула Гамзатовича Гамзатова.

ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР

Математика Гармонии

К основным понятиям математики Гармонии относятся числа Фибоначчи и золотая пропорция.

Числа Fn, образующие последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, называются числами Фибоначчи. Суть последовательности Фибоначчи с том, что каждый следующий член равен сумме двух предыдущих, а первые два члена являются единицами. На языке математики это записывается так: Un=Un-1+Un-2, где Un – члены последовательности Фибоначчи.

Такие последовательности, в которых каждый член является функцией предыдущих, называют в математике реккурентными или возвратными последовательностями.

Оказывается, если какой-нибудь член последовательности Фибоначчи разделить на предшествующий ему (например, 13:8), результатом будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1,61803375 и через раз то превосходящая, то не достигающая его. Это соотношение называют «Золотое сечение». Кеплер назвал его одним из «сокровищ геометрии». В алгебре общепринято обозначать его греческой буквой Ф. при ;. Ф называют формулой красоты (константа гармоничности). Таким образом, Ф – число иррациональное.

Обратим внимание на удивительную инвариантность золотой пропорции:

Следующие соотношения ещё раз демонстрируют инвариантность золотой пропорции:

Едва ли в математике есть подобное число. Золотая пропорция является иррациональной величиной, она отражает иррациональность в пропорциях природы. Числа Фибоначчи отражают целочисленность в организации природы. Совокупность обеих закономерностей (Золотой пропорции и чисел Фибоначчи) отражает диалектическое единство двух начал: непрерывного и дискретного, подвижного и инертного.

Выведена формула, связывающая числа Ф и π:

Она показывает соотношение между двумя этими иррациональными числами. Наверное, там, где мы встречаемся с одним числом, должно где-то присутствовать и другое.

В 1950 году немецкий ученый Цейзинг так пишет о золотой пропорции: «Для того, чтобы целое, разделенное на две неравные части, казалось прекрасным с точки зрения формы, между меньшей и большей частями должно быть такое отношение, что между большей частью и целой»

Если сложим расположенные через одно числа Ф, то получим новый ряд: 3; 4; 7; 11; 18; 29; 47 Как видим, получаем также реккурентный ряд чисел; отношение соседних чисел здесь также в пределе стремится к золотой пропорции.

Свойства:

1. Сумма всех чисел от первого до Un равна следующему через одно Un+2 без единицы.

2. Отношение через одно в пределе стремится к квадрату золотой пропорции и равно 2,618033.

Удивительное свойство! Получается:

(это уравнение связывает отрезки целого, разделенного на две части в соответствии с золотой пропорцией).

Если обозначить а – длину отрезка, х – длину до точки деления, то получим уравнение:

Поскольку х есть часть целого, т. е. величина положительная, а второй корень отрицателен, то приходим к единственному значению корня:

Обозначим , тогда , где φ является коэффициентом золотого сечения. Тогда. Получаем.

История математических методов для изучения гармонии поэзии

Исследования поэтических произведений математическими методами начинались с поэзии А. С. Пушкина. И это понятно, ведь его произведения – образец наиболее выдающихся творений русской культуры, образец высочайшего уровня гармонии.

Сначала были проанализированы размеры стихотворений (в данном исследовании размер – количество строк стихотворения). Оказалось, что наиболее часто встречаются размеры, явно тяготеющие к числам 5, 8, 13, 21, 34. Проявляется вполне закономерная тенденция в творческой манере поэта; он явно предпочитает стихотворения, размер которых близок к числам ряда Фибоначчи. Таких стихов у него 80%.

В коротких стихотворениях размером в 4 – 8 строк, как правило, выражена одна мысль, одно эмоциональное состояние поэта. Но стихотворения более значительные по размеру, содержащие 12 – 14 или 20 – 22 строки, очень часто включают в себя две мысли, два эмоциональных нюанса. Поэтому такие стихотворения состоят как бы из двух частей. Такое деление стихов на две части бывает симметричным – произведение делится на две равные части. Но значительно чаще части стихотворения не равны по размеру, ассиметричны. В таких произведениях отношение большей части к меньшей очень часто отвечает рядом расположенным числам Фибоначчи (или близко к ним, учитывая четность строк) и, следовательно, близко к золотой пропорции.

Многие стихотворения А. С. Пушкина очень чётко отвечают этой закономерности внутренней композиции. Например, в притче «Сапожник» 13 строк. Здесь отчетливо выделяются две части: первая 8 строк и вторая (мораль притчи) в 5 строк.

В стихотворении «Он между нами жил» 21 строка. Здесь также отчетливо выделяются две части: в 13 и 8 строк. Отношение 8:5 и 13:8 близки к Ф (коэффициент красоты).

Сочетание двух основ гармонии: симметрии и ассиметрии - и порождает удивительное разнообразие художественных форм в поэзии Пушкина. Недавно петербургский поэт и переводчик А. Чернов, «поверив алгеброй гармонию» поэмы Пушкина «Медный всадник» (1833), обнаружил в нем своеобразное «Серебряное сечение». Поделив число строк в издании поэмы под редакцией Б. В. Томашевского на её «диаметр», Чернов получил число, близкое к π. В результате несоответствия возникли сомнения в правильности текста поэмы. Текстологические поиски показали, что, действительно, в исследуемом издании отсутствует строка, написанная автором в первой беловой редакции.

Такие математические исследования были проведены в отношении стихов других поэтов: В. Брюсова, М. Лермонтова, С. Есенина, Г. Гейне, Д. Алигьери. Но именно поэзия А. С. Пушкина в большей степени отвечает принципам «Математики Гармонии». Математические выводы ещё раз доказали гениальность А. С. Пушкина, божественную гармоничность его произведений.

МЕТОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

Методы

1. Для анализа стихов в отношении Математики Гармонии выявляем произведения, метрика которых соответствует или близка к числам Фибоначчи (в силу законов стихосложения).

2. При рассмотрении внутренней композиции стихов на наличие чисел Фибоначчи находим произведения, структура которых выражается формулами n·5, n·3, n·8,, где n – количество строф в стихотворении.

3. В целях доказательства наличия золотого сечения в произведениях поэта находим строки, содержащие кульминацию по смыслу стихотворения.

4. Верность выбора строки по смыслу доказываем математическими методами, с помощью решения уравнения , где а – количество строк в стихотворении, х – строка – кульминация.

5. Находим произведения поэта, в которых присутствует серебряное сечение, используя определение числа π: , где l – длина окружности, d – диаметр окружности.

Применительно к стихам формула будет выглядеть так:

Результаты

Для анализа метрики стихов Р. Гамзатова было рассмотрено 327 стихотворений из сборника «Покуда вертится Земля», Махачкала; Дагучпедгиз, 1976 г. Из них 89 написаны восьмистишиями, 4 – тринадцатистишиями, 2 – двадцатиодностишием, 5 - тридцатичетырехстишием. То есть в 6-ти произведениях нечетное число строк, что явно не отвечает распространенным канонам. Это: «Мне ль тебе, Дагестан мой былинный» (стр. 41, 13 строк), «Третий час» (стр. 240, 21строка), «Ярка Ярославна» (стр. 250, 13строк), «Других людей ты не ставь в пример» (стр. 247, 13 строк), «Изрек пророк» (стр. 169, 21строка).

Размер 100 стихов из этого сборника соответствует числам Фибоначчи. Это составляет 30%. Здесь надо учесть, что законы стихосложения требуют, как правило, наличия чётного числа строк в стихотворении, так как строки попарно рифмуются. Поэтому к категории произведений, тяготеющих к числам Фибоначчи, относятся стихи, размер которых 5±1; 13±1; 21±1; 55±1, Таких произведений в сборнике 111

5+1 – 1; 5-1 – 42;

Число строчек в первой и последней строфах [8] число строчек всего произведения – это длина окружности, а число строчек в первой и последней строфах – это диаметр.

Рассмотрим еще одно стихотворение «Мне ль тебе, Дагестан мой былинный» (стр. 41).

Мне ль тебе, Дагестан мой былинный,

Не молиться,

Тебя ль не любить,

Мне ль в станице твоей журавлиной

Отколовшейся птицею быть?

Дагестан, (!) все, что люди мне дали,

Я по чести с тобой разделю,

Я свои ордена и медали

На вершины твои приколю.

Посвящу тебе звонкие гимны

И слова, превращенные в стих,

Только бурку лесов подари мне

И папаху вершин снеговых!

В этом произведении 13 строк. Структура 1х5+2х4 (13; 5 – числа Фибоначчи), т. е. здесь присутствует и симметричное стихосложение и ассиметричное.

Первая строфа по смысловому содержанию состоит из 5 строк. Эта часть более спокойная, немножко философская на наш взгляд. А две другие строфы (8 строк) - торжественные, декламироваться должны на большом подъеме. Т. е. строка – кульминация попадает на строчку «Дагестан, все что люди мне дали». Получается отношение 5:8, что соответствует числу, обратному Ф, т. е.

Рассчитаем строчку – кульминацию этого стихотворения: а=13, х=а·φ, где φ=0,618; х=13·0,618 => х=8,034; 8<8,034<9 => х=8.

Восьмая строчка должна по расчетам быть кульминационной. В нашем произведении это восьмая строка от конца. Таким образом, математические расчеты доказывают деление по смысловому содержанию.

Проанализировав полученные результаты мы пришли к следующим выводам:

1. В рассмотренных стихотворениях Расула Гамзатова метрика 64% произведений близка или соответствует числам Фибоначчи. Поэтому на примере сборника «Покуда вертится Земля» можно предположить, что это выражает одну из фундаментальных закономерностей творческого метода поэта.

2. Симметрическое и ассиметрическое построение произведений представлено практически одинаково.

3. Рассмотренные примеры еще раз доказали, что на точке золотого сечения в поэтическом произведении обычно бывает кульминация.

4. При исследовании поэтического произведения на «золотое сечение» мы предлагаем решить уравнение , где а – количество строк в стихотворении, х – количество строк в его большей части до кульминационного момента.