Курьёзное и серьёзное в числах

В предметах окружающего мира мы замечаем их отдельные свойства, отличающие один предмет от другого.

Одним из важнейших общих предметов является то, что все предметы можно считать и измерять. Мы отражаем это общее свойство предметов в понятии числа.

Потребность считать и сравнивать (измерять) предметы возникла у людей не сразу, но очень давно – ещё на ранней ступени развития человека, возникла в процессе его трудовой деятельности.

Овладевали люди процессом счёта, т. е. понятием числа, очень медленно, веками, в упорной борьбе за своё существование.

Счёту при помощи числа обучается теперь каждый человек незаметно ещё в детстве, почти одновременно с тем, как начинает говорить, но этот привычный для нас счёт прошёл длительный путь развития и принимал разные формы.

Было время, когда для счёта предметов употреблялись лишь два числительных: один и два. В процессе дальнейшего расширения системы счисления привлекались части человеческого тела и в первую очередь пальцы, а если нехватало такого рода «цифр», то ещё цепочки, камешки и другие вещи.

Н. Н. Миклухо-Маклай в своей книге «Путешествия» рассказывает о забавном способе счёта, применявшемся туземцами Новой Гвинеи:

«Излюбленный способ счета состоит в том, что папуас загибает один за другим пальцы руки, причём издаёт определённый звук, например, «бе, бе, бе» Досчитав до пяти, он говорит «ибон-бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяет «бе, бе» , пока не доходит до «ибон-али» (две руки). Затем он идёт дальше, приговаривая «бе, бе», пока не доходит до «самба-бе» и «самба-али» (одна нога, две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого».

Вслед за возникновением и развитием чисел появилась и замечательная наука об их свойствах и законах, ими управляющих: «теория чисел».

Оперируя числами, т. е. выполняя разнообразные математические действия, я поставила перед собой цель: обнаружить не только общие свойства чисел, изучением которых занимается теория чисел, но и свойства особые, присущие иногда лишь небольшим группам чисел или отдельным числам.

Изучая эту тему, я встретилась с целыми букетами чисел, образующих красивые сочетания.

Почти во всём мире пользуются теперь единой системой счисления: десятичной. В этой системе употребляются десять цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 0, и этих цифр достаточно, чтобы записать любое число.

Самое большое десятизначное число из всех десяти цифр:

9876543210

Всякая перестановка цифр в этом числе приведёт непременно к меньшему числу.

Несколько занятных наблюдений

1. Рассмотрим число 12345679, цифры которого расположены в порядке возрастающей последовательности, но без 8. Если умножить 12345679 на любое однозначное число, а затем на 9, то все цифры окончательного результата будут совпадать с цифрой первого однозначного множителя.

Например,

123 45 679 12345679 12345 679

× 6 × 7 × 8

740740 74 86419753 98765 432

× 9 × 9 × 9

666666 666 777777 777 888888888

Причина явления заключается в том, что произведение состоит из одних единиц: 12345679 × 9 = 111111111.

12345679 × 6 × 9 = 12345679 × 9 × 6 = 111111111 × 6 = 666666666;

12345679 × 7 × 9 = 12345679 × 9 × 7 = 111111111 × 7 = 777777777;

12345679 × 8 × 9 = 12345679 × 9 × 8 = 111111111 × 8 = 888888888.

Полезно запомнить:

37 × 3 = 111

Запомнив это, легко выполнять умножение числа 37 на 6, 9, 12 и т. д.

37. × 6 = 37 × 3 × 2 = 222,

37. × 9 = 37 × 3 × 3 = 333,

37. × 12 = 37 × 3 × 4 = 444,

37. × 15 = 37 × 3 × 5 = 555 и т. д.

7 × 11 × 13 = 1001.

Запомнив это, легко выполнять устно умножения следующего рода:

77 × 13 = 1001, 91 × 11 = 1001,

77 × 26 = 2002, 91 × 22 = 2002,

77 × 39 = 3003, и т. д. 91 × 33 = 3003 и т. д.

143 × 7 = 1001,

143 × 14 = 2002,

143 × 21 = 3003 и т. д.

2. Телеграфная лента разорвалась посредине числа 9801. На одном куске ленты оказалось 98, а на другом 01. Если подсчитать сумму этих чисел, результат возвести в квадрат, то снова получим исходное число:

(98+01)2 = 9801.

Пересмотрев таблицу квадратов чисел в пределах от 10 до 99, я произвела соответствующие подсчёты и нашла ещё число 3025, которое обладает таким же свойством. Если 3025 разбить на два числа 30 и 25, сложить их и сумму возвести в квадрат, то результат будет равен исходному числу:

(30+25)2=3025.

Запишем один под другим несколько рядов чисел

А 1 3 5 7 9 11 13

1 4 7 10 13 16 19

1 5 9 13 17 21 25

1 6 11 16 21 26 31

1 7 13 19 25 31 37

1 8 15 22 29 36 43

1 9 17 25 33 41 49

Первое число в каждом ряду 1, а все последующие числа больше предыдущих: в первом ряду на 2, во втором на 3, в третьем на 4 и т. д. (такие ряды называются арифметическими прогрессиями). Получилась некоторая таблица чисел. Если сгруппировать и складывать эти числа по пунктирным коридорчикам (в старину их называли гномонами), то сумма чисел в каждом пунктирном коридорчике будет равна кубу его номера n. Например, в коридоре № 2: 1 + 4 + 3 = 23.

В коридоре № 3: 1 + 5 + 9 + 7+ 5 = 33 и т. д.

Вообще сумма чисел в каждом n-ом коридорчике равна n3.

Далее, любое число, расположенное вдоль диагонали АС, является квадратом номера занимаемой им строки. Сумма чисел в любом квадрате, диагональю которого является какая-нибудь часть диагонали АС, тоже представляет собой полный квадрат, т. е. равна квадрату некоторого числа.

Например, сумма чисел в квадрате, имеющем своей диагональю 25, 36 и 49, будет:

25+31+37+29+36+43+33+41+49=324=182.

4. Много любопытных свойств можно обнаружить у числа 37.

➢ Если его умножить на 3 или на число, кратное 3 (до 27 включительно), то результат изобразится какой-либо одной цифрой повторенной 3 раза: 37 · 3 =111, 37 · 6 =222, 37 · 9 = 333,

37 · 12 = 444, 37 · 27 =999

➢ Произведение числа 37 на сумму его цифр равно сумме кубов тех же цифр: 37 · (3 +7) = 33 +73.

➢ Если из суммы квадратов цифр числа 37 вычесть произведение тех же цифр, то получится опять 37:

(32 + 72) -3 · 7 = 37.

На мой взгляд, наиболее интересное свойство: если взять какое-нибудь трёхзначное число, кратное 37, например

37 · 7 = 259. Все числа, получающиеся из числа 259 при круговой перестановке его цифр, т. е. числа 925 и 592, тоже делятся на 37.

Круговой перестановкой цифр называется такая перестановка, когда каждый раз последнюю цифру числа переносят на первое место. Не изменяя порядка расположения остальных цифр.

Возьмём на удачу ещё одно трёхзначное число, кратное 37. Пусть это будет 37 · 5 = 185. Круговая перестановка цифр даёт числа 518 и 851. Они тоже делятся на 37.

Таким же свойством отличаются и пятизначные числа кратные 41. Так, числа 15498, 81549, 98154, 49815, 54981, как легко проверить, все кратны 41 и каждое получается из предыдущего путём круговой перестановки цифр, составляющих это число.

15498:41=378, 81549:41=1989, 98154:41=2394, 49815:41=1215 и т. д.

Числовая карусель

1) Если вынуть из бездонной числовой шкатулки число 142857. Оно состоит из шести разных цифр. Расположим их по кругу в виде циферблата. Умножим теперь, данное число последовательно на 1,2,3, 4,5,6:

142857 ×

Перемещаясь по циферблату вместе со стрелкой, мы прочтём любое из получившихся произведений.

Каждое число циферблата служит первой цифрой одного из результатов произведения. Настоящая числовая карусель, не правда ли?

2) Есть ещё одно интересное свойство. Если любое из этих произведений рассечь на две грани по 3 цифры, а затем обе грани сложить, то во всех случаях результатом будет одно и то же число: 999. В самом деле,

142 + 857 = 999, 285 + 714 = 999 и т. д

3) Продолжив свои наблюдения над произведением числа 142857 на целые числа, следующие за числом 7 (произведение на 7 рассмотрим позже):

142857 ×

Получила семизначные числа, но тоже особенные: если зачеркнуть первую цифру и её же прибавить к последней, снова получим одну из круговых перестановок числа 142857.

Та же «карусель» из цифр числа 142857(за немногими исключениями) будет получаться и далее с восьмизначными результатами произведения, если только зачеркнуть первые две цифры и прибавлять их к последним двум.

4) Произведение числа 142857 на 7 резко отличается от остальных произведений. Оно состоит из одних девяток:

142857 × 7 = 999999.

Вот это обстоятельство и проливает свет как на происхождение самого числа 142857, так и на его «таинственные» свойства. Не будет ли оно периодом дроби при обращении её в десятичную?

1 ÷ 7 ≈ 0,(14 2857)1.

Последний остаток повторил число 1, следовательно, при дальнейшем делении в частном будут повторяться те же цифры и в том же порядке. Это и есть периодическая дробь, т. е. такая бесконечная дробь, в последовательности десятичных знаков которой обнаруживаются (начиная с некоторой цифры) повторения определённой группы цифр. Предположение оправдалось: число 142857 действительно является периодом дроби при обращении её в десятичную. Чтобы понять, почему это число при умножении на 2, 3, 4, 5 и 6 даёт лишь круговую перестановку своих цифр, я рассмотрела ещё раз действие деление 1 на 7. Весь процесс обращения дроби в десятичную можно расчленить на следующие этапы:

= 0,1 + ×10-1=0,14+×10-2=0,142+ ×10-3 =0,1428 +×10-4 =0,14285+×10-5 =0,142857+×10-6 =(дальше повторение тех же цифр).

Отсюда ясно, что при обращении дроби в десятичную период начнётся с цифры, расположенной после цифры 1 в числе 14285714285714, т. е. периодом будет 428571; это же число, очевидно, должно быть и произведением числа 142857 на 3, т. к. =×3.

Далее, при обращении дроби в десятичную период начнётся с цифры, расположенной после цифр 1 и 4 в числе 14285714285714, т. е. периодом будет 285714; это же число, очевидно, должно быть и произведением числа 142857 на 2, т. к. =×2 и т. д.

Так же нетрудно уяснить, почему произведение числа 142857 на 7 состоит из одних девяток. Дело в том, что десятичная дробь с бесконечно повторяющимися девятками после запятой считается равной 1, т. е. 1=0,999999 и произведение дроби на 7 тоже равно 1.

Диск мгновенного умножения

К той же семье «круговых» чисел, что и число 142857 принадлежит число

М = 052631578947368421.

При помощи диска, изображённого на рисунке, оно может быть мгновенно умножено на любое целое число в пределах от 1 до 18.

По внешнему кольцу диска, изображённого на рисунке, размещены все восемнадцать множителей. По внутреннему кольцу – все цифры множимого М; эти же цифры образуют и каждое из восемнадцати произведений.

Чтобы прочитать результат умножения числа М на любое из чисел внешнего кольца. Надо полностью обойти внутреннее кольцо, начиная с цифры, указанной ближайшей стрелкой, находящейся справа от множителя, если смотреть на цифры из центра диска. Двигаться при этом следует по ходу часовой стрелки.

Например, ближайшая стрелка справа от числа 14, расположенного на внешнем кольце, указывает на цифру 7. Это значит, что число 736842105263157894 есть результат умножения числа М на 14.

Одна за всех и все за одну.

Хоть дружная семья невелика,

Но к ним была дорога нелегка,

Их покоряли люди не без боя,

Зато хватает их, наверняка,

Чтобы число изобразить любое. В. Лифшиц.

1. Чтобы написать все числа от 1 до 26, достаточно, конечно, иметь в своём распоряжении все 10 цифр: 0,1,2,,9. Достаточно, но не необходимо. При желании можно обойтись всего лишь одной 2, употребляя её при этом, ровно по пять раз для записи каждого числа и пользуясь только четырьмя арифметическими действиями, включая возведение в квадрат, и скобками.

Первый десяток чисел я записала следующим образом:

1=2+2-2-(2:2), 2=2+2+2-2-2, 3=2+2-2+(2:2),

4=2×2×2-2-2, 5=2+2+2-(2:2), 6=2+2+2+2-2.

7=22:2-2-2, 8=2×2×2+2-2, 9= 2×2×2+(2:2),

10=2+2+2+2+2

Числа от 11 до 26 включительно представила так:

11=22:(2:2×2), 12=2×2×2+2×2, 13=(22+2×2):2,

14=2×2×2×2-2, 15=((2)2)2-2:2, 16=22+2-2+2

17=(22)2 + 2:2, 18=22 ×22+2, 19=22-2-2:2,

20=(2×2×2+2) ×2, 21=(22+2:2)-2, 22=(22+22):2,

24=22:(2:2)+2, 25=22+2:2×2,26=2× (22:2+2)

2. При помощи цифры 4, условясь употреблять её непременно четыре раза, я изобразила все целые числа от 1 до 10.

1=4-4+4:4, 2=4:4+4:4, 3=(4+4+4):4, 4=(4-4):4+4, 5= (4×4+4):4,

6=4+(4+4):4, 7=44:4-4, 8=4×4-(4+4), 9=4+4+(4:4), 10=(44-4):4.

3. Если одна цифра 2, употребляется не более 5раз, или одна цифра 4, употреблённая не более четырёх раз, в состоянии заменить собой любую из цифр от 1 до 9, то и вся эта дружная семья цифр не остаётся в долгу.

Участвуя всей семьёй сразу (но без нуля), они могут заменить собой любую цифру своего же семейства, кроме 1. Например: 2 =, 3= , 4 = , 5=, 6=, 7=, 8=, 9=

Каждая из этих неправильных дробей содержит все цифры от 1 до 9, причём каждую только по одному разу.

Единицу девятью цифрами можно изобразить так: 123456789 (показатель степени может быть составлен произвольно из цифр 2,3, 4,5,6,7,8,9).

4. Вернём изгнанника (нуль) в семейство остальных цифр. Теперь при помощи десяти различных цифр можно составить такие дроби, что каждая из них будет равна 9.

9= = = ===

Движение пальца (способ умножения)

Мой брат жаловался мне, что ему трудно запомнить таблицу умножения первых десяти чисел на 9. В помощь ему я нашла способ умножения с помощью пальцев руки.

С помощью этого способа легко запомнить таблицу умножения на 9. А помогут нам пальцы рук. Положив обе руки рядом на стол, слева направо по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1, второй – 2, затем – 3,4,5,6,7,8,9,10 до десятого пальца, который обозначим 10.

Чтобы умножить 9 на любое из первых девяти чисел, надо приподнять вверх палец с номером, обозначающим число, на которое требуется умножить. Тогда число пальцев слева от поднятого пальца, и обозначает десятки полученного произведения, а число пальцев справа от поднятого пальца – единицы полученного произведения.

Счётная машина

Некоторые свойства девятки

1. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9 (378 делится на 9, т. к. 3+7+8=18, а 18 делится на 9). Отсюда следует, что сумма цифр в произведении любого числа на 9 равна 9 или кратна девяти (т. е делится на 9). Например, 354 ×9=3186, тогда3+1+8+6=18 (делится на 9).

2. Всегда делится на 9: а) разность между любым числом и суммой его цифр (возьмём, к примеру число 74, найдём сумму цифр этого числа, она равна 11, 74-11=63, 63 делится на девять).

б) разность двух чисел с одинаковыми цифрами, но разным порядком их расположения (87-78=9, 9 кратно 9; 683-386=297, 297 кратно 9) в) разность двух чисел с одинаковыми суммами цифр у каждого из них

(756-99=657, 657 кратно 9, 7+5+6 = 9+9)

3. Если из каких-либо цифр составлены числа, отличающиеся только порядком следования цифр, то при делении на 9 каждого из них получается один и тот же остаток. Он равен остатку от деления на 9 суммы цифр какого-либо из упомянутых чисел.

Узоры цифр

Цифры, соединяясь в числа и участвуя в математических действиях, образуют причудливые и по-своему красивые числовые комбинации, напоминающие кристаллические узоры снежинок на стекле окна. Например, эти самые обыкновенные действия умножения, выполненные правильно, но своеобразно:

× 77 × 77

49 или 7

+ 4949 777

49 847 × 7 = 5929

× 666 × 666

666 666

+ 3636 + 666

363636 или 66666

3636 73926 × 6 = 443556

× 777777777777 × 777777777777

777777777777 или 777777777777

4949 777

494949 77777

49494949 7777777

4949494949 777777777

494949494949 + 77777777777

49494949494949 7777777777777

4949494949494949 777777777777777

494949494949494949 77777777777777777

49494949494949494949 7777777777777777777

4949494949494949494949 777777777777777777777

+ 494949494949494949494949 77777777777777777777777

4949494949494949494949 86419753086246913580247

49494949494949494949 × 7

494949494949494949 604938271603728395061729

4949494949494949

49494949494949

494949494949

4949494949

49494949

604938271603728395061729

• А вот наши снежинки-цифры образовали такой «узор»: произведение некоторого числа на сумму чисел, составленных из его цифр 37× (3+7).

Вдруг первый множитель «растаял», а то, что осталось, обратилось в сумму кубов: 33 + 73 и - представьте – результат не изменился:

37×(3+7)= 33 + 73

370=27+343

370=370

Ещё одно число умножается на сумму чисел, составленных из его цифр:

48 ×(4+8).

С ним происходит то же самое: первый множитель исчезает, остальное заменяется суммой кубов: 43+83, а результат сохраняется:

48 ×(4+8)= 43+83.

А вот сразу четыре аналогичных «узора»:

147×(14+7)=143+73,

148×(14+8)= 143+83,

111×(11+1)=113+13,

1 · 2 · 3×(1+2+3)=13+23+33.

• Ещё две снежинки-цифры 1 и 6 образовали число

Но вот между цифрами 1 и 6 расположилась такая «снежинка»: 15.

Образовалось новое число 1156. Оно не перестало быть квадратом:

1156=342.

Вновь падает такая же «снежинка» 15 и попадает в самую середину записи числа 1156. Образовалось теперь число 111556, которое по-прежнему остаётся точным квадратом:

111556=3342.

Снежинка за снежинкой падают числа 15, и каждое метко попадает в центральную часть записи числа. Число от этого «удлиняется», но неизменно остаётся квадратом, сколько бы не продолжался «цифропад»:

11115556= 33342,

1111155556= 333342,

111111555556=3333342 и т. д.

Мгновенный подсчёт

Запишем пять примеров на вычитание, соблюдая условие: уменьшаемое в первой строке становится вычитаемым во второй, уменьшаемое во второй строке становится вычитаемым в третьей и т. д.

Задание:

Записать сумму разностей.

13 - 7 = 6 15 – 8 = 7 31 – 9 = 22

18 - 13 = 5 17 – 15 = 2 56 – 31 = 25

25 – 18 = 7 23 – 17 = 6 61 - 56 = 5

38 – 25 = 13 31 – 23 = 8 69 – 61 = 8

43 – 38 = 5 39 - 31 = 8 73 – 69 = 4

43 - 7 = 36 39 -8 = 31 73 -9 = 64

128 – 50 = 78 -8 – 9 = -17 2 - 1 = 1,5

136 - 128 = 8 20 – (-8) = 28 -5 - 2 = -7,5

725 – 136 = 589 -3 – 20 = - 23 12,5 – (-5) = 17,5

729 – 725 = 4 5 – (-3) = 8 18 – 12,5 = 5,5

1028 – 729 = 299 19 – 5 = 14 72 – 18 = 54

1028 – 50 = 978 19 – 9 = 10 72 – 1 = 71

Секрет прост. Если из уменьшаемого пятого примера вычесть вычитаемое первого примера, то мы мгновенно получим сумму пяти разностей.

Доказательство: а –в (а – в) + (с – а) + (m – с) + (к – е) = а – в + с – а + с – а + m - с + е – m + к – е = к – в m –c e – m k -e

Думаю, что предлагаемая работа будет весьма полезна ученикам, учителям и всем увлекающимся математикой людям, так как написана в доступной форме, с схемами и рисунками. Останавливаться на достигнутом мне не хочется, в дальнейшем планирую продолжить работу в этом направлении.