Симметрия

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ СИММЕТРИИ.

Как мы знаем, слово симметрия означат «наличие определенного порядка, закономерности в расположении частей». В таком широком понимании симметрия не имеет математического содержания.

Однако математики вкладывают в это понятие точный математический смысл, рассматривают некоторые специальные виды симметрии. В результате симметрия становится мощным средством математических исследований, помогает решать трудные задачи.

Для того, чтобы освоить «Метод симметрии» необходимо познакомиться с ее основными свойствами. В геометрии симметрия - это свойство геометрических фигур. Симметрия многообразна. Неизменность тех или иных объектов может наблюдаться по отношению к разным операциям – поворотам, отражениям, переносам. Будем называть симметрией любое преобразование, переводящее фигуру в себя, т. е. обеспечивающее ее самосовмещеие.

ВИДЫ СИММЕТРИИ.

Осевая симметрия.

Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.

На листе бумаги проведем вертикальную прямую через точку О и перегнем лист по этой прямой. Проткнем сложенный лист иглой. Развернув лист, мы увидим две точки, распложенные по разные стороны от этой прямой. Эти точки симметричны относительно прямой – линии сгиба.

Если через полученные точки также провести прямую, то с помощью инструментов можно убедиться, что прямая перпендикулярна линии сгиба, а точки находятся от нее на одинаковом расстоянии. Это - важное свойство симметричных точек. С его помощью можно сроить точки, симметричные относительно некоторой прямой, и без перегибания листа бумаги.

Зеркальная симметрия.

Плоскость симметрии. — плоскость, которая делит фигуру на две части, расположенные друг относительно друга, как предмет и его зеркальное отражение.

Примерами фигур – зеркальных отражений одна другой – могут служить правая и левая рука человека, правый и левый винты, части архитектурных форм, некоторые природные кристаллы и орнаменты.

Этот вид симметрии является аналогом осевой симметрии в пространстве. Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости.

Исторически сложилось, что именно зеркальная симметрия (ее еще называют геральдической) использовалась разными народами для изготовления предметов быта.

В живой природе горизонтальная зеркальная симметрия проявляется как отражение в воде. (ПРИЛОЖЕНИЕ 7. 3. стр. 33) Кроме зеркальной симметрии в природе можно наблюдать так называемую винтовую симметрию. Например, листья располагаются на стволе по винтовой оси, чтобы не заслонять друг от друга солнечный свет.

Ось симметрии.

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

Говорят, что фигура симметрична относительно некоторой прямой, если при перегибании фигуры по этой прямой ее части совпадают. Получить симметричную фигуру очень просто. Возьмем лист бумаги и сложим его пополам. Нарисуйте на нем какую-нибудь линию. С концами на сгибе листа разрежьте лист по этой линии и разверните вырезанную фигуру. Фигуру ,которую мы получили ,симметрична. Линия сгиба- это ось симметрии фигуры.

Рассмотрим примеры геометрических фигур, обладающих осевой симметрией.

У неразвернутого угла одна ось симметрии – прямая, на которой расположена биссектриса угла.

Равнобедренный (не равносторонний) треугольник имеет также одну ось симметрии. Равносторонний треугольник – три оси симметрии.

Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами, имеют по две оси симметрии, а квадрат – четыре.

У окружности их бесконечно много – любая прямая, проходящая через ее центр, является осью симметрии. В пространстве сходными свойствами обладает шар.

Если на плоскости только круг обладает таким интересным свойством, то в пространстве есть и другие тела, имеющие бесконечное множество плоскостей симметрии. Например, это цилиндр и конус.

Симметричными могут быть и многогранники. Например, у параллелепипеда три плоскости симметрии.

Однако имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относится параллелограмм.

Центральная симметрия.

Фигура называется симметричной относительно точки О , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также , что фигура обладает центральной симметрией.

Две точки А иА1 называются симметричными относительно точки О, если О- середина отрезка АА1. Точка О считается симметричной самой себе.

Еще одним видом симметрии является симметрия, которая в качество центра имеет точку О.

Отметим на листе бумаги точки О и А. Будем поворачивать с помощью циркуля точку А вокруг точки О. След, который оставляет точка А при повороте на 180 градусов точка А перешла в диаметрально противоположную ей точку В. Точки А и В называют симметричными относительно точки О.

Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, являются окружность параллелограмм.

На рисунке мы видим, что центром симметрии окружности является ее центр, а центром симметрии параллелограмма – точка пересечения его диагоналей.

Прямая также обладает центральной симметрией. Однако у прямой не один центр, а бесконечно много- любая точка прямой является ее центром симметрии.

Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.

Поворотная симметрия

Поворотная ось симметрии - прямая линия, при повороте вокруг которой на определенный угол фигура совмещается сама с собой.

Остановимся подробнее на осевой симметрии и на повороте вокруг данной точки О. Рассмотрим одну из простейших фигур – отрезок А1А2. Повернем его вокруг произвольной точки О на 600 , потом еще на 600. Через 6 поворотов возвратим отрезок на прежнее место, а в фигуре, которую он опишет. Узнаем правильный шестиугольник. Это значит, что он отображает сам себя при шести поворотах. Легко заметить, что каждая из прямых ОА1, ОА2, ОА3, ОА4, ОА5, ОА6 служит осью симметрии правильного шестиугольника.

В реальной жизни примером поворотной симметрии являются всевозможные розетки и снежинки. Как правило, основообразующей формой розетки служит круг, который разбивается на части.

ПРОЯВЛЕНИЯ СИММЕТРИИ В ОКРУЖАЮЩЕМ МИРЕ.

Изображения на плоскости или проявления в пространстве многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии или центр симметрии.

В живой природе – переносная симметрия снежинки, винтовая симметрия в расположении листьев на стебле, зеркальная симметрия в телах бабочек и других живых существ, зеркальная горизонтальная симметрия отражений на водной поверхности.

Кроме того, симметрия находит применение в литературе и искусстве.

Например, в музыке. Ряд музыкальных форм строятся симметрично. В этом отношении особо характерно рондо. (от фр. «круг»). В рондо музыкальная тема многократно повторяется. чередуясь эпизодами различного содержания. Главная тема проводится не менее трех раз в основной тональности. А эпизоды – в других тональностях. Это очень напоминает зеркальную симметрию, где основная тема – это плоскость, от которой как бы «отражаются» эпизоды.

В литературных произведениях можно проследить симметрию образов, положения, мышления. В романе «Евгений Онегин» А. С. Пушкина мы наблюдаем симметрию положений: Онегин, отвергнувший любовь Татьяны, сам через несколько лет оказался в такой же ситуации.

Симметрия проявляется и в танце, особенно в балете. Достаточно вспомнить знаменитые фуэте, когда балерина вращается на одной ноге 6 раз, 12, 32 раза! Эти движения однотипны и именно их повторяемость (симметричность) порождает великолепный эстетический эффект.

Все эти явления объединяет то, что они симметричны.

Описание примеров заняло бы не один десяток страниц , поэтому автором данной работы был сознательно ограничен их круг и рассмотрены проявления симметрии на примере городской среды Санкт - Петербурга.

СИММЕТРИЯ В ГОРОДСКОЙ СРЕДЕ САНКТ-ПЕТЕРБУРГА.

Взгляд на Санкт - Петербург с точки зрения симметричности явлений раскрыл городскую среду с неожиданной стороны. Пешеходная прогулка по специальному маршруту показала многообразие ситуаций и форм, порой юмористических, в которых симметрия предстает нашем городе. Для этой работы в качестве иллюстрации отобраны наиболее интересные из них.

ЗНАЧЕНИЕ АСИММЕТРИИ.

Гармоничным может быть и асимметричное построение! Если симметрия порождает чувство покоя, скованности, закономерности, то асимметрия вызывает ощущение движения, случайности, свободы. (ПРИЛОЖЕНИЕ 7. 3. стр. 35)

Противопоставление симметричного и асимметричного мы встречаем и в науке. Известный микробиолог Луи Пастер считал, например, что именно асимметрия отличает живое от искусственно организованного, неживого. Ему казалось, что стоит «узнать способ, которым природа ввела асимметрию в органические соединения,— и до разгадки жизни один шаг».

Исследования американских ученых Ли Чжэн-дао и Янг Жэнь-Пина, получивших в 1957 г. Нобелевскую премию, показали, что наш мир несимметричен, что во Вселенной законы симметрии не наблюдаются!

СИММЕТРИЯ В АРХИТЕКТУРЕ ИСТОРИЧЕСКОГО ЦЕНТРА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА.

Мы рассмотрели различные виды симметрии. Попытаемся теперь почувствовать совершенство некоторых зданий нашего города, в которых заложена симметрия. При застройке нашего города учитывались природные условия местности, где при крайнем однообразии рельефа имели особое значение широкие перспективы полноводной реки. Это видно в ансамблях Петропавловской крепости, зданий Смольного монастыря, Александро-Невской лавры и др. Уже в петровское время возникла идея создания симметричного архитектурного ансамбля на стрелке Васильевского острова.

Ансамбль стрелки Васильевского острова.

Разделяясь Стрелки Васильевского острова на два мощных потока, Нева сама подсказывает идею симметрии. Перед создателями ансамбля стояла нелегкая задача: ведь для полной гармонии природы и архитектуры нужно тонко чувствовать все особенности природного ландшафта. Много лет разные архитекторы пытались создать подходящий проект. Среди них можно назвать А. Д. Захарова, И. Ф. Дукини.

Архитектору Тома де Томону удалось справиться с этой задачей. Он сумел подчеркнуть красоту этого места и соединить в одно целое архитектуру с окружающим пейзажем. Так образовалось одно из прекраснейших мест Петербурга. В центре Тома де Томон поставил здание Биржи ( 1805 – 1810 гг) первоначально предназначенное для заключения торговых сделок между русскими и иностранными купцами. Чтобы подчеркнуть главенствующую роль Биржи в ансамбле Стрелки Васильевского острова архитектор поставил его на небольшое возвышение, так оно кажется выше, торжественнее. Оно словно парит в пространстве! Большое значение Тома де Томон придавал площади перед зданием Биржи. Ансамбль стрелки Васильевского острова – вершина творчества Тома де Томона, символ красоты, гармонии, симметрии в архитектуре.

Для этого берег был специально насыпан, выровнен и выдвинут вперед на сто метров. Образованная полукруглая площадь, Ростральные колонны и два здания пакгаузов по обе стороны Биржи усиливают симметричность панорамы Стрелки Васильевского острова.

На плане мы видим, что все здания на стрелке Васильевского острова симметричны друг другу. Почти симметрично относительно Биржи расположены две башни. Слева – башня Кунсткамеры, справа – башня бывшей таможни. С окончанием строительства этих зданий ансамбль стрелки был завершен. Частичное искажение ансамбля в конце ХIХ – начале ХХ веков не лишило его целостности, гармоничности и большой впечатляющей силы.

Новобиржевой Гостиный двор.

«Музейный флигель» Академии наук.

Таможня

Северный пакгауз.

Южный пакгауз.

Кунсткамера.

Ростральная колонна.

Ростральная колонна.

Храм Воскресения Христова.

Над водами канала Грибоедова высится многоглавый храм Воскресения Христова. Храм построен архитектором А. А. Парландом в 1883-1907 гг. на месте гибели императора Александра П. Поэтому он имеет второе название Спас-на-крови. Здание представляет интерес как прекрасный образец архитектуры русского стиля. Центральный шатер храма достигает высоты 81 м. Фасады облицованы гранитом и мрамором, орнаментированным кирпичом и разноцветной плиткой. Они буквально испещрены декором – фигурными наличниками и кокошниками, поясками и изразцами. Кроме того, художественная ценность сооружения во многом определяется его уникальными мозаиками.

Если смотреть со стороны канала Грибоедова, фасад храма не симметричен: боковые купола расположены вокруг центрального по – разному: одни – выше, другие – ниже.

Но о симметричности или несимметричности сооружения говорить рано. Храм Воскресения Христова украшен множеством деталей, которые оживляют и разнообразят его архитектуру. Они не повторяют друг друга и это нарушает симметричность фасадов. Только не учитывая эти элементы, можно говорить о симметричности западного и восточного фасадов. Они обладают строгой зеркальной симметрией. Вид на храм со стороны Михайловского сада открывает другую перспективу – неожиданно купола храма образуют строгую последовательность, выделяя на своем фоне главный купол.

Идем дальше и купола снова в беспорядке. Храм поражает удивительным сочетанием симметрии и асимметрии.

Особой неповторимостью обладают купола храма. Они завораживают своей красотой! Издали кажется, будто они прорезаны разноцветными полосами. Такой рисунок создают украшающие их «пирамиды». На других куполах они образуют причудливые полосы, витые линии, кресты.

В богатом декоре храма, помимо зеркальной симметрии, есть и другие виды.

Купола наводят также на мысль о поворотной симметрии. Интересен с этой точки зрения главный купол Спаса – на - крови. Луковичная главка расположена на небольшом барабане, который имеет 8-й порядок поворотной симметрии. Восьмигранный шатер, прорезанный слуховыми окнами, также обладает поворотной симметрией 8-го порядка.

Шатер опоясывают два яруса кокошников, их число неодинаково- 8 сверху и 16 снизу. Но из-за их правильного расположения порядок не изменился – он равен 8. Ниже поворотная симметрия 8-го порядка создается 8-ю арочными проемами. Рассматривая храм далее, можно увидеть, что везде порядок поворотной симметрии равен 8.

Еще одной удивительной фигурой является орел, венчающий шатер. Двуглавый орел – символ могущества и силы страны, он изображен на гербе России. Однако форма орла на храме Воскресения Христова гораздо сложнее, чем может показаться на первый взгляд. Орел Трехглавый! Третье его крыло постоянно «прячется» за два другие или сливается с ними. Поэтому мы и воспринимаем его как двуглавого. Орел обладает поворотной симметрией 3-го порядка, так как при повороте на 120 градусов вокруг своей оси переходит в себя. Это один из немногих архитектурных элементов, имеющих нечетный порядок поворотной симметрии.

Фриз храма, например, украшен множеством одинаковых архитектурных элементов. Если мысленно бесконечно продолжить эту часть элементов храма, то очевидна переносная симметрия.

По проекту архитектора А. А. Парланда создан еще один шедевр. Рядом с храмом Воскресения Христова расположена удивительной красоты ограда Михайловского сада. Она сложна и разнообразна по своей геометрии. Являясь несимметричным в пределах одного пролета, рисунок чугунного кружева повторяется чрез каждые два пролета. При его мысленном бесконечном продолжении можно считать, что ограда обладает переносной симметрией.

Рассмотрев многие детали храма, можно увидеть, что красота его во многом определяется искусным сочетанием симметрии и асимметрии.

Ансамбль Казанского собора.

Еще один знаменитый памятник архитектуры – Казанский собор. Это главное творение русского архитектора А. Н. Воронихиина. Особую торжественность собору придает мощная колоннада. Впечатление этой торжественности усиливают памятники двум полководцам, героям Отечественной войны М. И. Кутузову и М. Б. Барклаю де Толли.

Рассмотрим собор с геометрической точки зрения. Северный фасад собора зеркально симметричен: его правая часть точь-в-точь повторяет левую. Вспомним, что в переводе с греческого симметрия означает соразмерность, то есть наличие в предмете равных частей, одинаково расположенных г по отношению друг к другу. Это наблюдается в архитектуре Казанского собора. Можно мысленно провести плоскость симметрии северного фасада Казанского собора. Она разделит собор на две части, одна из которых зеркально отражает другую. Плоскость симметрии проходит далее через фонтан на Казанской площади. Дополняют картину памятники и симметрично посаженные деревья. Можно сказать, что и сама площадь зеркально симметрична.

Чтобы говорить о симметричности собора относительно этой плоскости в целом, надо рассмотреть его со всех сторон, сравнить левый (восточный) и правый (западный) и южный фасады.

Мы видим, что западный, восточный и южный фасады Казанского собора не симметричны. Однако, работая над проектом собора, А. Н. Воронихин видел его иначе, чем мы сейчас. Об этом говорит первоначальный план храма : его южный фасад должна была украшать такая же колоннада, как и северный Это хорошо видно на плане собора, стр. 20. В этом случае собор имел бы плоскость симметрии, проходящую с запада на восток. Осуществлению этого плана помешала Отечественная война 1812 года.

Симметричен ли собор относительно другой плоскости – с севера на юг?

На плане мы видим, что западный фасад храма плоский, а часть восточного представляет собой модель прямого кругового цилиндра.

Назвать собор симметричным в целом нельзя!

Но и вывод о симметричности северного фасада также ошибочен. На плане хорошо видно, что колоннада, закрывающая собой почти всю нижнюю часть северного фасада собора «скрывает» его несимметричность. Раскрыть загадку собора нам помог план.

Рассматривая храм более детально, можно выяснить насколько симметричны геометрические формы, использованные в его архитектуре. Можно увидеть колонны портика (усеченные конусы), фронтон (треугольник), барабан купола (цилиндр). Опорой барабана служат 7 цилиндров, стоящих друг на друге. Если нарисовать вид сверху этой конструкции, то получим концентрические круги.

Оконные проемы необычной формы и пилястры придают барабану купола определенный ритм, который подчеркивается кругами, расположенными немного выше. Благодаря этому купол казанского собора обладает поворотной симметрией конечного порядка, он равен 32-м. В верхней части храма мы видим купол в форме полусферы. Его украшают линии. Напоминающие меридианы. Купол венчает шар – самая симметричная пространственная фигура.

Очевидно, что архитектурные формы, использованные в архитектуре Казанского собора, обладают различными видами симметрии. Это усиливает ощущение симметричности северного фасада собора.

Итак, мы увидели, что симметрия, обнаруживаемая и в жизни, и в искусстве, и в технике, является одним из принципов гармоничного построения мира. Некоторые исследователи вообще считали симметрию синонимом гармонии. Однако наблюдения, сделанные в результате данной работы, убеждают нас в том, что такая точка зрения неправомерна, так как абсолютизация только одной идеи не приводит ни к чему хорошему.

Сведение красоты и гармонии только к симметрии ограничивает богатство внутреннего содержания окружающего нас мира, лишает его жизни. Истинную красоту можно постичь только в единстве противоположностей. Именно единство симметрии и асимметрии определяет внутреннее содержание прекрасного.

Итак, можно сделать вывод, , что «сфера влияния» симметрии и ее антипода – асимметрии поистине безгранична – природа, наука, искусство. Мир асимметричен на всех уровнях: от элементарных частиц до биологических видов. Всюду мы видим противоборство и единство двух великих начал – симметрии и асимметрии, которые во много определяют и гармонию природы, и мудрость науки, и красоту искусства.

Красота многогранна и многолика. И одним из уникальных средств ее познания является математика. Изучая математику, мы открываем все новые и новые слагаемые прекрасного, приближаясь к пониманию, а в дальнейшем и к созданию красоты и гармонии.