Симметрия вокруг нас

Данная статья рассматривает понятие симметрии как гармонии пропорций и как общенаучную философскую категорию. Рассматривается симметрия не только в геометрии и алгебре, но и в других предметах школьного курса: физике, биологии, химии.

Также мною поднята тема симметрии в искусстве и архитектуре, где симметрия рассматривается совместно с асимметрией, ведь истинную красоту можно постичь лишь в единстве противоположностей.

В статье доказана важность симметрии и ее неразрывная связь с понятием человека о красоте и гармонии.

Симметрия устанавливает забавное и удивительное сродство между предметами, явлениями и теориями, внешне, казалось бы, ничем не связанными: земным магнетизмом, женской вуалью, поляризованным светом, естественным отбором, теорией групп, инвариантами и преобразованиями, рабочими привычками пчел в улье, строением пространства, рисунками ваз, квантовой физикой, скарабеями, лепестками цветов, интерференционной картиной рентгеновских лучей, делением клеток морских ежей, равновесными конфигурациями кристаллов, романскими соборами, снежинками, музыкой, теорией относительности

Симметрия является фундаментальным свойством природы, представление о котором, как отмечал академик В. И. Вернадский (1863 – 1945), «слагалось в течение десятков, сотен, тысяч поколений».

Первоначальное понятие о геометрической симметрии как о гармонии пропорций, как о «соразмерности», что и означает в переводе с греческого слово «симметрия», с течением времени приобрело универсальный характер и было осознано как всеобщая идея инвариантности (т. е. неизменности) относительно некоторых преобразований.

Не только симметричные формы окружают нас повсюду, но и сами многообразные физические и биологические законы гравитации, электричества и магнетизма, ядерных взаимодействий, наследственности пронизаны общим для всех них принципом симметрии.

В современном понятии симметрия – это общенаучная философская категория, характеризующая структуру организации систем.

Симметрия в школьном курсе рассматривается только с позиции геометрии и немного алгебры (симмеричность графиков), хотя это обширнейшее понятие охватывает почти все стороны жизни и сознательно или бессознательно присутствует практически во всем, что когда-либо было создано человеком (см. Волошинов).

Симметрия в геометрии

Чувство глубочайшего уважения к мощи законов симметрии никогда не ослабевает у того, кто обдумывал изящество и красоту безупречных математических доказательств и сопоставлял это со сложными и далеко идущими физическими и философскими следствиями.

Чжень-нин Янг

1. Центральная симметрия. Зафиксируем некоторую точку О. Центральной симметрией с центром О называется преобразование фигуры, которое каждой ее точке X сопоставляет точку X', симметричную ей относительно точки О. Это преобразование мы обозначим S0. Центральную симметрию удобно задать так: для произвольной точки X и ее образа X' при центральной симметрии выполняется равенство

ОХ' = - OX.

Из этого равенства следует, что если точки X и O различные, то точка O является серединой отрезка XX'.

Отметим также, что если точки X = O, то X' = O, т. е. O – неподвижная точка центральной симметрии S0 ( единственная).

2. Осевая симметрия. Зафиксируем некоторую прямую p. Осевой симметрией с осью p называется преобразование фигуры, которое каждой ее точке X сопоставляет точку X', симметричную ей относительно прямой p. Это преобразование мы обозначим Sp.

Напомним, что для произвольной точки X и ее образа X' = Sp (X) прямая p является серединным перпендикуляром отрезка XX', когда точка X не лежит на прямой p. Если же точка X лежит на прямой p, то ее образом при симметрии относительно этой прямой является она сама. Поэтому все точки прямой p являются неподвижными точками осевой симметрии Sp.

3. Зеркальная симметрия. Зафиксируем некоторую плоскость α. Симметрией относительно плоскости α называется такое преобразование фигуры, которое каждой ее точке X сопоставляет точку X', симметричную ей относительно этой плоскости. Такое преобразование мы обозначим Sα. Неподвижные точки зеркальной симметрии Sα – это точки плоскости α.

4. Параллельный перенос. Параллельным переносом (или просто переносом) фигуры называется такое преобразование фигуры, при котором все ее точки перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это означает, что параллельный перенос – это преобразование фигуры, при котором все ее точки перемещаются на один и тот же вектор. Этот вектор называют вектором переноса. Перенос на вектор a обозначается как Ta.

Симметрия в алгебре

Смысл эстетического воздействия симметрии заключается в том психическом процессе, который связан с открытием ее законов.

Симметрия в алгебре – это, прежде всего симметрия графиков. О симметрии графиков функций уместно говорить когда функция является четной или нечетной.

Функция f(x), удовлетворяющая условию f(-x)= - f(x) для всех x из области определения этой функции, называется нечетной.

Пример:

График функции y=x3. График функции y=1/х.

Функция f(x), удовлетворяющая условию f(-x) = f(x) для всех x из области определения этой функции, называется четной.

Пример:

График функции y=x2. График функции y=1/x2.

Отметим, что область определения и четной и нечетной функций симметрична относительно точки х=0. Как же ведут себя графики функций?Как видно из приведенных рисунков, график нечетной функции симметричен относительно начала координат (симметрия относительно точки или центральная), а график четной функции симметричен относительно оси ординат (симметрия относительно прямой или осевая). Поэтому, для построения графиков четных и нечетных функций достаточно провести исследование свойств функции на половине области определения данной функции. Если функция четная, воспользоваться осевой симметрией, если нечетная - центральной.

Симметрия в физике

Принцип симметрии в XX веке охватывает все новые области. Из области кристаллографии, физики твердого тела он вошел в область химии, в область молекулярных процессов и в физику атома. Нет сомнения, что его проявления мы найдем в еще более далеком от окружающих нас комплексов в мире электрона и ему подчинены будут явления квантов.

Симметрия относительно переноса вдоль любой прямой

Пространство имеет группу симметрии относительно произвольных переносов по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Время задается одной величиной, и не исключена возможность, что время симметрично по отношению к одному определенному классу законов природы.

Если мысленно изменить направление времени на обратное, то все материальные частицы переменят знак скорости. Законы чистой механики полностью симметричны относительно прошедшего и будущего.

По отношению к определенному классу явлений - механическим движениям - время допускает замену прошедшего на будущее. Таким образом, все законы физики в таком виде, каком мы знаем их до сих пор, симметричны относительно изменения знака времени.

Явления в окружающем нас мире далеко не столь симметричны, и в вопросах симметрии относительно изменения знака времени есть еще не решенные проблемы.

Есть существенная разница между координатной системой на плоскости и в пространстве. Координатные системы на плоскости всегда могут быть полностью совмещены друг с другом, тогда как в пространстве в некоторых случаях невозможно совместить.

Симметрия относительно поворотов координатных систем

Эта идея давалась человечеству с большим трудом; ведь когда - то думали, что Земля плоская, и вертикальное направление абсолютно. И Земля в представлении большинства начитанных людей до эпохи Коперника была центром мироздания.

Открытие Коперника лишило Землю ее преимущественного положения. Центр Земли перестал быть центром Вселенной. И стало очевидным, что достаточно далеко от всех тяготеющих тел все точки пространства равноценны, равно как и все прямые, проведенные через любую точку.

Вокруг любой прямой можно повернуть координатную систему на любой угол, и повернутая система будет во всех отношениях равноценна первоначальной.

Таким образом, сформулировано еще одно свойство симметрии пространства. Симметрия относительно поворотов называется изотропией, а относительно переносов - однородностью.

Из понятий симметрии легко вытекают все механические законы сохранения: с каждым свойством симметрии связан закон сохранения в ньютоновской механике и наоборот.

Поле тяжести можно приближенно считать плоским на небольших площадках. Тогда оно однородно и обладает симметрией относительно смещений, параллельных земной поверхности. Соответственно должен сохраняться импульс тела, движущегося в направлении, перпендикулярном силе тяжести.

Пространство однородно при переносах в трех направлениях и изотропно при вращении вокруг любой из трех координатных осей. Это приводит к законам сохранения двух векторных величин: импульса и момента.

Смещение по времени, относительно которого законы механики симметричны, приводит к сохранению энергии замкнутой системы.

Таким образом, в свойствах симметрии имеется общая формулировка законов механики, проверенных на опыте.

Симметрия в биологии

Почти все утверждают, что красоту, воспринимаемую зрением, порождает соразмерность частей друг с другом и целым и с прелестью красок. И для тех, кто это утверждает, и вообще для всех остальных, быть прекрасным – значит быть симметричным и соразмерным.

Особый интерес к проблеме симметрии в биологии вызван тем, что понятие “симметрия” выросло на изучении живых организмов, в первую очередь, человека.

1. Симметрия в биологии. Под симметрией в биологии часто понимают повторение частей у животных или растений в определенном порядке, соотношение частей тела в размере, форме и относительном расположении, на противоположных сторонах от линии деления или распределенных вокруг центральной точки или оси.

Большинство животных представляют собой различные формы симметрий– сферическую, радиальную, бирадиальную и билатеральную.

При сферической симметрии, которая имеется только у некоторых групп протозоа (радиолярии, гелиозоа), тело имеет сферическую форму, и части тела расположены концентрически или радиально от центра сферы. Сферический тип симметрии возможен только у очень мелких животных с простой внутренней конструкцией

Радиолярия

Тело с радиальной симметрией имеет общую форму цилиндра или шара, с центральной осью, от которой расходятся части тела или вдоль которой они расположены регулярно. За исключением животных, имеющих нечетное число частей тела, расположенных в циркулярном порядке (морские звезды), любая плоскость, проходящая через ось, делит его на две симметричные части. Животные с тремя, пятью, семью и т. д. частями по кругу имеют симметрию, которую можно называть, соответственно, 3-лучевой, 5-лучевой, 7-лучевой и т. д. (или поворотной). Радиальную симметрию находят у кишечнополостных и иглокожих. Однако она не обязательно присуща животному в течение всей его жизни. Личинки офиур, например, имеют зеркальную симметрию, а взрослые особи – симметрию пятого порядка.

При бирадиальной симметрии существуют две других оси симметрии с правильными углами к ней и друг к другу: срединная вертикально-продольная (саггитальная) и поперечная (трансверзальная) оси. Такие животные имеют не только два конца, но также и две пары симметричных сторон. Такая бирадиальная симметрия наблюдается у медуз-гребешков.

В билатеральной симметрии есть такие же три оси, как и в бирадиальной, но имеется только одна пара симметричных сторон– латеральных, т. к. другие две стороны, называемые дорсальной (спина) и вентральной (перед) поверхностями, неодинаковы. Только одна срединная продольная плоскость симметрии делит билатеральное животное на симметричные половины. Билатеральность присуща большинству животных, включая насекомых, рыб, амфибий, рептилий, птиц, многих ракообразных, млекопитающих.

Симметрия в ботанике

Симметрии также фиксируются и в ботанике. Здесь выделяют радиальную (корни, стебли, цветки), билатеральную (листья), винтовую симметрию подобия (спиральность расположения листьев на стебле, зачатков листьев и цветков на конусе нарастания, цветков в корзинке) и криволинейную (правые и левые листья, семена, плоды, сосуды древесины).

Орнаментальная симметрия

Образцами орнаментальной (кристаллографической) симметрии являются шестиугольный узор среза паренхимы, некоторые диатомовые водоросли, пчелиные соты, которые “совершенны с точки зрения экономии труда и воска” (Ч. Дарвин).

Симметрия в онтогенезе

Изначально яйцеклетка радиально симметрична. Из нее при оплодотворении возникает билатеральный зародыш. Плоскость симметрии, разделяющая зародыш на правую и левую стороны определяются до начала или в конце периода дробления. У осетровых рыб и земноводных симметризация проявляется в образовании частично депигментированного участка эктоплазмы яйца (светлого серпа) плоскость, проходящая через середину серпа и оба полюса яйца, соответствует плоскости билатеральной симметрии. До определенной стадии развития зародыша остается возможность после насильственного разделения его пополам получить нормальный, хотя и меньших размеров, организм. Таким образом, не обязательно первое деление окончательно фиксирует правую и левую стороны организма. Плоскость первого деления может и не быть плоскостью симметрии.

Симметрия на молекулярном уровне

С зеркальной симметрией-асимметрией на молекулярном уровне тесно связана проблема возникновения жизни на Земле, поскольку кирально чистая живая материя возникла в свое время из неживой.

В-форма спирали ДНК всем известна по множеству рисунков и схем, именно эту форму описали Уотсон и Крик. Это упорядоченная, изящная структура. Спираль может образовывать так называемую суперспираль. в то время, как у В-формы ДНК существуют малая и большая бороздки, суперспираль скручена “равномерно”. Подобные суперскрученные районы есть и у многих белков. Множество полимеров, образующих живой организм, образуют более или менее упорядоченные структуры. В процессе конденсации хромосом мы также можем наблюдать разнообразные проявления симметрии, например– зеркальная симметрия скручивающихся при сближении в течение компактизации сестринских хроматид.

При сравнении живой и неживой природы на молекулярном уровне виден резкий переход к дисимметризации при переходе от неживого к живому. На организменном уровне от низших форм животных, мелких организмов, взвешенных в воде, имеющих более или менее шарообразную форму, переход к жизни на дне океана сужает множество всех поворотов вокруг центра до множества поворотов вокруг некоторой оси. Для передвижения животных по суше, по воде или в воздухе имеет значение как действие силы тяжести, так и направления движения животного. Появляется билатеральная симметрия. Однако эволюция симметрии не прямолинейна. Иногда дисимметрия может сменяться симметрией и наоборот. Например, жизненный цикл иглокожих, при котором происходит смена типов симметрий.

На низших ступенях организмы представляют множество видов симметрий, причем их число много больше числа видов симметрий кристаллов. Но к вершинам эволюционного древа число видов симметрий уменьшается, возникают асимметризованные формы.

Симметрия в популяции

На уровне моделей популяций снова мы видим примеры симметрий. Например, динамика частот гетерогаметного пола, фазовая диаграмма популяционной динамики, Гауссово распределение и т. д.

На основе динамической биосимметрии, симметрии законов живой природы относительно тех или иных преобразований “рано или поздно удастся глубже проникнуть в сущность живого, объяснить ход эволюции, ее вершины, тупики, предсказать неизвестные сейчас ветви, теоретически возможные и действительные числа типов, классов, семейств организмов"

Симметрия в химии

Ведь назначение и цель гармонии – упорядочить части, вообще говоря, различные по природе, неким совершенным соотношением так, чтобы они одна другой соответствовали, создавая красоту.

Симметрия в химии проявляется в геометрической конфигурации молекул. Большинство простых молекул обладает элементами пространственной симметрии: осями симметрии, плоскостями симметрии и т. д. Так, молекула аммиака NH3 обладает симметрией правильной треугольной пирамиды, молекула метана CH4 - симметрией тетраэдра.

У сложных молекул симметрия равновесной конфигурации, как правило, отсутствует, однако приближённо сохраняется симметрия отдельных её фрагментов (локальная симметрия).

Симметрия равновесной конфигурации ядер в молекуле влечёт за собой определённую симметрию волновых функций различных состояний этой молекулы, что позволяет проводить классификацию состояний по типам симметрии. Типы симметрии состояний, между которыми возможны переходы, влияют на интенсивность линий и полос, а также и на их поляризацию.

Знание локальной симметрии отдельных фрагментов молекул и локализованных на этих фрагментах молекулярных орбиталей позволяет судить о том, какие фрагменты легче подвергаются возбуждению и сильнее меняются в ходе химических превращений, например при фотохимических реакциях.

Представления о симметрии имеют важное значение при теоретическом анализе строения комплексных соединений, их свойств и поведения в различных реакциях.

Существует принцип сохранения орбитальной симметрии (правило Вудворда - Хоффмана), который утверждает, что отдельные элементарные акты химических реакций проходят с сохранением симметрии молекулярных орбиталей, или орбитальной симметрии.

Учёт симметрии молекул важен при поиске и отборе веществ, используемых при создании химических лазеров и молекулярных выпрямителей, при построении моделей органических сверхпроводников, при анализе канцерогенных и фармакологически активных веществ ит. д.

Симметрия в живописи

Мне хочется, чтобы живописец был как можно больше сведущ во всех свободных искусствах, но прежде всего я желаю, чтобы он узнал геометрию.

О какой симметрии можно говорить, глядя на картину «Боярыня Морозова», написанную выдающимся русским художником В. И. Суриковым? Взаимное расположение фигур, сочетание поз и жестов, выражения лиц, чередование цвета, комбинация тонов – все это тщательно обдумывается художником, заботящемся об определенном эмоциональном воздействии картины на зрителя. Используя асимметричные элементы, художник должен создать нечто, обладающее в целом скрытой симметрией.

Конечно, трудно анализировать симметрию такой сложной картины, как «Боярыня Морозова». Однако можно проделать простой опыт, обнаруживающий наличие в картине некоей скрытой симметрии. Если посмотреть на изображение этой картины в зеркале, то загадочный эффект движения саней исчезает!

Для анализа симметрии изображения лучше взять картину с более простой композицией, например, к картине Леонардо да Винчи «Мадонна Литта». фигуры мадонны и ребенка вписываются в правильный треугольник, который вследствие своей симметричности особенно ясно воспринимается глазом зрителя. Благодаря этому мать и ребенок сразу же оказываются в центре внимания, как бы выдвигаются на передний план. Голова мадонны совершенно точно, но в то же время естественно помещается между двумя симметричными окнами на заднем плане картины. Все это создает ощущение покоя и умиротворенности

Внутренняя симметрия картины хорошо ощущается. А асимметрия хорошо проявляется в тельце ребенка, которое неправильно разрезает упомянутый выше треугольник. Благодаря взаимной замкнутости, завершенности линий фигуры мадонны создается впечатление полного безразличия мадонны к окружающему миру. Мадонна вся сосредоточена на младенце; она нежно держит его, нежно глядит на него. Но вся эта замкнутость картины в себе исчезает, как только мы встречаемся со взглядом ребенка. Здесь внутренняя уравновешенность композиции нарушается: спокойный и внимательный взгляд обращен прямо на зрителя, через него картина раскрывается во внешний мир. Попробуйте мысленно убрать эту чудесную асимметрию, повернуть лицо младенца к матери, соединить их взгляды. Разве вы не чувствуете, что от этого картина сразу беднее, менее выразительнее?

Всякий раз, когда мы восхищаемся тем или иным произведением искусства, говорим о гармонии, эмоциональности воздействия, мы касаемся проблемы соотношения между симметрией и асимметрией. Пример с картиной Леонардо да Винчи убеждает в том, что анализ симметрии – асимметрии очень полезен: картина начинает восприниматься острее.

Вот перед нами знаменитая "Тайная вечеря" Леонардо да Винчи. Двенадцать апостолов расположены вокруг своего учителя четырьмя группами: по две группы с каждой стороны от него и по три человека в каждой группе. Вся композиция строго симметрична и строго уравновешена относительно вертикальной оси, проходящей через ее главную точку.

Следование принципу зеркальной симметрии в искусстве иногда приводит к неожиданным результатам. Так, на мозаике Киевского собора св. Софии изображены два зеркально-симметричных Христа, обращенных лицом к ученикам. Правда симметрия здесь лишь приблизительная, этот прием, безусловно, является слишком «математичным» и со временем был вытеснен более реалистичным изображением тайной вечери.

Истинную красоту можно постичь лишь в единстве противоположностей. Вот почему именно единство симметрии и асимметрии определяет сегодня внутреннее содержание прекрасного в искусстве.

Симметрия в архитектуре

Все формы похожи и ни одна не одинакова с другой; и так весь хор их указывает на тайный закон

В пространстве обычно рассматривается симметрия относительно плоскости симметрии. Например, куб симметричен относительно плоскости, проходящей через его диагональ. Этот вид симметрии иногда называют зеркальной.

Кроме зеркальной симметрии рассматривается центральная или поворотная симметрия. В этом случае переход частей в новое положение и образование исходной фигуры происходит при повороте этой фигуры на определенный угол вокруг точки, которая обычно называется центром поворота.

Еще одним видом симметрии является переносная симметрия. Этот вид симметрии состоит в том, что части целой формы организованы таким образом, что каждая следующая повторяет предыдущую и отстоит от нее на определенный интервал в определенном направлении. Этот интервал называют шагом симметрии. Переносная симметрия обычно используется при построении бордюров, в орнаментах или решетках, а также в интерьерах зданий.

Симметрия воспринимается человеком как проявление закономерности, а значит внутреннего порядка. Внешне этот внутренний порядок воспринимается как красота.

Соблюдение симметрии является первым правилом архитектора при проектировании любого сооружения. Стоит только посмотреть на великолепное произведение А. Н. Воронихина Казанский собор в Санкт-Петербурге, чтобы убедиться в этом. Если мы мысленно проведем вертикальную линию через шпиль на куполе и вершину фронтона, то увидит, что с двух сторон от нее абсолютно одинаковые части сооружения (колоннады и здания собора).

Кроме симметрии в архитектуре можно рассматривать антисимметрию и диссимметрию. Антисимметрия это противоположность симметрии, ее отсутствие. Примером антисимметрии в архитектуре является Собор Василия Блаженного в Москве, где симметрия отсутствует полностью в сооружении в целом. Однако, удивительно, что отдельные части этого собора симметричны и это создает его гармонию.

Диссимметрия – это частичное отсутствие симметрии, расстройство симметрии, выраженное в наличии одних симметричных свойств и отсутствии других. Примером диссимметрии в архитектурном сооружении может служить Екатерининский дворец в Царском селе под Санкт-Петербургом.

Практически в нем полностью выдержаны все свойства симметрии за исключением одной детали. Наличие Дворцовой церкви расстраивает симметрию здания в целом. Если же не принимать во внимание эту церковь, то Дворец становится симметричным.

В современной архитектуре все чаще используются приемы как антисимметрии, так и диссимметрии. Эти поиски часто приводят к весьма интересным результатам. Появляется новая эстетика градостроительства. Таким образом, мы можем констатировать, что красота есть единство симметрии и диссимметрии.

В моем родном городе много зданий, в которых прослеживается симметрия.

Панорама нижнего пруда. Здесь можно заметить симметрию здания, отраженного в воде.

В своей статье я постарался максимально полно расширить знания о симметрии, ведь с помощью симметрии во многих областях науки объясняются явления и процессы окружающей среды. Я попытался доказать важность симметрии, ее неразрывную связь с понятием человека о красоте и гармонии. Конечно, симметрия не абсолютное свойство окружающего мира, даже можно сказать, что симметрия в чистом виде в природе не существует, она соседствует вместе с асимметрией. Но, несмотря на это, симметрия – одно из фундаментальных свойств окружающей среды.