Золотое сечение - пропорция жизни

<<Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое - это теорема Пифагора, второе - деление отрезка в крайнем и среднем отношениях. Первое можно сравнить с мерой золота; второе же напоминает драгоценный камень>>.

Иоганн Кеплер

И если о первом знает каждый школьник, то о втором - лишь немногие.

Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может и красотой внешнего вида. Форма, в основе построения которой лежит золотое сечение, способствует наилучшему зрительному восприятию и появления ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения - высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Поэтому тема моего реферата - <<Золотое сечение - пропорция жизни>>.

Для решения данных задач я использовала различные литературные источники и ресурсы Интернета. С помощью сотрудников школы были собраны материалы исследований.

Пропорция золотого сечения

Чтобы рассмотреть построение золотого сечения, решим задачу, известную еще с древних времен:

Разделить отрезок в среднем и крайнем отношении. ИЛИ

Разделить отрезок гармонически. ИЛИ

Найти золотое сечение отрезка.

В современной формулировке эта задача звучит так: дан отрезок АВ (для удобства рассуждений будем считать, что его длина равна единице). Найти на нем такую точку Х, чтобы

──= ──.

ВХ АВ Итак, определение золотого сечения можно записать так:

Золотая пропорция определяется как деление отрезка на две неравные части, при котором меньшая из них так относится к большей, как последняя ко всей длине отрезка.

Существует много решений задачи. Одно из самых простых решений предложил знаменитый александрийский математик Клавдий Птолемей. Решать задачу будем, следуя в основном по Птолемею.

С центром в точке В проводим полуокружность АЕС с радиусом АВ. Разделим радиус ВС пополам, получим точку D. Проведем дугу окружности с центром в

Попробуем ответить на этот вопрос. Пусть ВХ = х, тогда АХ = 1 - х (так как АВ принято за 1) и по условию задачи (1-х):х = х:1

Отсюда х[2]= 1-х или х[2]+х-1= 0.

-1 +- √1 + 4 -1 +- √5 х = ────── = ────.

Из двух значений корня возьмем ────, так как другое значение корня оказалось

2 отрицательным.

Теперь посмотрим на рисунок. Если АВ = 1, ВD = (1/2) , то по теореме Пифагора

√5 √5 1 √5 - 1

DЕ = ──, и, действительно, ВХ = ── - ─ = ──── ≈ 0,618.

2 2 2 2

Обычно золотое сечение обозначается греческой буквой φ или Ф (<<фи>>). Это обозначение принято в честь древнегреческого скульптора Фидия(V век до н. э. ). Фидий руководил строительством храма Парфенон, в пропорциях которого многократно присутствует число φ. )

√5 - 1 1

φ = ─── ≈ 0,618. Замечу, что Ф = ─ ≈ 1,618

Замечу, что у золотого сечения очень богатая история развития. Впервые официально оно было открыто еще в VI веке до н. э. Пифагором. После XVI века знания о золотом сечении были утеряны и вновь приобретены лишь в середине XIX века.

Второе золотое сечение

В 1983году болгарский журнал <<Отечество>> (№10) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша <<О втором золотом сечении>>, которое вытекает из первого и дает другое отношение (44:56).

Эта пропорция обнаруживается в архитектуре, а так же имеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата.

Деление осуществляется таким образом: отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восстанавливается перпендикуляр СD. С помощью радиуса АВ находится точка D, которая отрезком с точкой А. Далее прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится луч до пересечения с отрезком АD.

Точка Е делит отрезок АD в отношении 56:44.

Золотые Фигуры

Золотой треугольник

Рассмотрим построение <<золотого>> треугольника. Для этого проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок а произвольной величины. Через полученную точку М к прямой АВ проводим перпендикулярную прямую, на которой вправо и влево от точки М откладываем по одному отрезку а. Полученные точки О и К соединяем отрезками с точкой А. Отрезок ОК откладываем на прямую АК и получаем точку С. Она разделила АК в пропорции золотого сечения. Треугольник АОК - искомый <<золотой>> треугольник. Основная особенность <<золотого>> треугольника состоит в том, что отношение каждой боковой стороны АО=AК к основанию ОК Φ. <<золотого>> треугольника

Каждый <<золотой>> треугольник имеет острый угол А, равный 36° при вершине и два острых угла: угол D, равный углу C, равные 72° при основании треугольника (Рис. 6). В результате исследований со времен Пифагора стало известно, что биссектриса DH делит сторону АС в точке H золотым сечением. При этом возникает новый <<золотой>> треугольник DHC. Если теперь провести биссектрису угла H к точке Hَ′, то снова получим <<золотой>> треугольник НН′С. Этот процесс можно продолжать до бесконечности, получив при <<золотых>> треугольников.

Возникновение одной и той же геометрической фигуры (<<золотого>> треугольника) после проведения очередной биссектрисы вызывает эстетическое чувство красоты и гармонии.

Правильный пятиугольник. Свойства пентаграммы. Золотая чаша

В истории математики тесно связаны золотое сечение и правильные пятиугольники. Диагонали правильного пятиугольника образуют фигуру, которую в житейской практике называют пятиконечной звездой, а в науке - пентаграммой.

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник.

Уже первый этап его построения - деление окружности на пять равных частей - представляет собой пример <<обретения неочевидной истины>>. Ведь в то время как деление окружности на 3, 4 и 6 равных частей не представляет затруднений, разделить окружность на 5 равных частей не так-то просто. Задача о пятикратном делении окружности подробно разбирается в таких великих сочинениях, как <<Начала>> Евклида, <<Альмагест>> Птолемея, <<Руководство к измерению>> Дюрера.

Пусть О - центр окружности, А - точка на окружности и Е - середина отрезка ОА, перпендикуляр к радиусу ОА, восстановленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок СЕ = ЕD. Длина стороны вписанного в

Построение пентаграммы окружность правильного пятиугольника равна DС. Откладываем на окружности отрезки равные DС и получаем пять точек для построения правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой <<золотой>> треугольник.

Видно, что внутри этой звезды вновь образуется правильный пятиугольник, внутри которого опять можно построить пентаграмму, и т. д.

Итак, правильный пятиугольник и пятиконечная звезда, образованная его диагоналями, обладают массой интересных свойств:

1. Пересекающиеся диагонали правильного пятиугольника делят друг друга в золотой пропорции

АВ/AD = AD/DB = Ф.

2. Сторона правильного пятиугольника и сторона вписанной в него пятиконечной звезды; сторона пентаграммы и сторона образованного звездой внутреннего пятиугольника также относятся в золотой пропорции

AF/AE = AE/ED = Ф.

3. Стороны правильных пятиугольников и вписанных в них звезд образуют ряд золотого сечения, который является бесконечно убывающей геометрической прогрессией со знаменателем φ и обладает свойством φ[п] = φ[п][+1] + φ[п][+2], п = 0, 1, 2,.

4. Отрезки пятиконечной звезды АВ = Ф, AD = 1, АЕ = φ, ED = φ[2] связаны между собой всеми видами <<древних>> средних, а именно:

AB + ED

AD = ───── - среднее арифметическое

AD =√AB∙AE

_ ‌‌ }‌‌‌‌‌‍‍‍ - среднее геометрическое

AE = √AD∙ED

AE = ───── - среднее гармоническое

AB + ED

5. Из всех равнобедренных треугольников только треугольник, у которого углы при основании (72°) вдвое больше угла при вершине (36°), обладает особым свойством: биссектриса угла при основании делит противоположную сторону в золотом сечении. Такой треугольник получил название <<возвышенного>>.

Пентаграмма включает в себя ряд замечательных фигур, которые широко используются в произведениях искусства. В античном искусстве широко известен так называемый <<закон золотой чаши>>, который использовали античные скульпторы и золотых дел мастера. Заштрихованная часть <<пентаграммы>> дает схематическое представление <<золотой>> чаши. В Советские времена в нашей стране существовал <<знак качества>>, в котором использовались . изображение <<золотой чаши>>

Теперь разделим окружность на 10 равных частей. Соединяя подряд точки деления окружности, получим правильный десятиугольник, а соединяя его вершины через две, - звездчатый десятиугольник. Внутри звездчатого десятиугольника вновь образуется правильный десятиугольник, в который десятиугольник и <<созвездие>> пентаграмм

Проведя радиусы в вершины десятиугольников, можно увидеть (именно увидеть глазами) целое созвездие пятиконечных звезд. А зная свойства последних, можно предположить обилие золотых пропорций и, конкретнее, <<золотых>> треугольников. Прежде всего замечу, что треугольник АОВ является возвышенным, поэтому АВ:ОВ = φ, т. е. сторона правильного десятиугольника а10 относится к радиусу описанной окружности R в золотой пропорции : а10 : R = φ.

Такое необычайно пропорциональное строение пентаграммы, красота ее внутреннего математического строения, по-видимому, и являются основой ее внешней красоты. Пентаграмма не устает радовать глаз художника и разум математика.

Пятиконечной звезде около 3000 лет. Ее первыми донесли до нас вавилонские глиняные таблички. Это был геометрический знак пяти планет (Юпитера, Меркурия, Марса, Сатурна и Венеры) макрокосмоса. Из древней Вавилонии в Средиземноморье ее, как полагают, привез Пифагор. Можно только догадываться, в какой восторг приводило пифагорейцев столь редкое обилие математических свойств в одной геометрической фигуре. Поэтому неудивительно, что именно пентаграмма была выбрана пифагорейцами в качестве символа жизни и здоровья, а так же тайным опознавательным знаком. Существует легенда, что, когда один пифагореец умирал на чужбине и не мог расплатиться с гостеприимным хозяином дома, ухаживающим за ним, он велел нарисовать ему на стене своего дома пентаграмму. <<Если когда-нибудь здесь пройдет пифагореец, он обязательно сюда заглянет>>, - сказал умиравший. Действительно, через несколько лет другой странствующий пифагореец увидел знак, расспросил о случившемся хозяина и щедро вознаградил его. В средние века пентаграмма <<предохраняла>> от <<нечистой силы>>, что, впрочем, не мешало ей быть <<лапой ведьмы>>.

Сегодня пятиконечная звезда реет на флагах едва ли не половины стран мира.

Золотой прямоугольник. Спираль Архимеда

Прямоугольник называется <<золотым>>, если в нем отношение большей стороны к меньшей равно золотой пропорции.

Рассмотрим случай простейшего <<золотого>> прямоугольника, когда AB = Ф и BC = 1.

Найдем теперь на отрезках АВ и DC точки E и F, которые делят соответствующие стороны АВ и DC в <<золотом сечении>>.

Ясно, что АЕ=DF=1, тогда

ВЕ = AB - AE = Ф - 1 = ─.

Соединим теперь точки E и F отрезком EF и назовем этот отрезок <<золотой линией>>.

При этом с помощью <<золотой линии>> EF

<<золотой>> прямоугольник ABCD оказывается разделенным на два прямоугольника AEFD и BCFЕ. Поскольку все стороны прямоугольника AEFD равны между собой, то этот прямоугольник есть не что иное, как квадрат.

Рассмотрим теперь прямоугольник BCFЕ. Поскольку его большая сторона ВС=1, а меньшая

Ф то отсюда следует, что их отношение ВС: ВЕ=Ф и, следовательно, прямоугольник BCFЕ является <<золотым>>. Таким образом, <<золотая>> линия EF расчленяет исходный <<золотой>> прямоугольник ABCD на квадрат AEFD и новый <<золотой>> прямоугольник BCFЕ.

Проведем теперь диагонали DB и EC <<золотых>> прямоугольников ABCD и ВСFЕ. Из подобия треугольников ABD, FEC, BCE вытекает, что точка G разделяет <<золотым сечением>> как диагональ DB, так и <<золотую>> линию EF. Проведем теперь новую <<золотую>> линию GH в <<золотом>> прямоугольнике EBCF. Ясно, что <<золотая>> линия GH разделяет <<золотой>> прямоугольник EBCF на квадрат GHCF и новый <<золотой>> прямоугольник EBHG. Более того, точка I делит <<золотым сечением>> диагональ EC и сторону GH. Повторяя многократно эту процедуру, мы получим бесконечную последовательность квадратов (вращающихся) и <<золотых>> прямоугольников, которые в пределе сходятся к точке О.

Проведя в каждом из таких квадратов дугу, соединяющую противоположные углы, получим довольно изящную кривую, закрученную в виде спирали.

Она получила название <<Спираль Архимеда>>, в честь известного всем древнегреческого ученого. Он первым заинтересовался ей, изучал и вывел уравнение этой спирали. Она часто встречается в созданиях природы и в изобретениях человека. В гидротехнике по золотой спирали изгибают трубу, подводящую поток воды к лопастям турбины. Благодаря этому напор воды используется с наибольшей производительностью.

Заметим, что такое бесконечное повторение одних и тех же геометрических фигур, то есть квадрата и <<золотого>> прямоугольника, как и в случае с <<золотым>> треугольником, вызывает у нас неосознанное эстетическое чувство гармонии и красоты. Считается, что именно это обстоятельство является причиной того, что многие предметы прямоугольной формы, с которыми человек имеет дело (спичечные коробки, зажигалки, книги, чемоданы), зачастую имеют форму <<золотого>> прямоугольника.

Золотое сечение в жизни

Золотое сечение в природе

Живая природа - гениальный конструктор, великий зодчий, строитель. Поэтому в ее созданиях с поразительной частотой встречаются математические законы, и в частности, золотое сечение.

Например, в раковинах некоторых моллюсков и отпечатках ископаемых обнаруживается поразительное сходство со спиралью Архимеда. Эта спираль не меняет своей формы при увеличении размеров. Поэтому по мере роста моллюсков раковина его, разделенная внутренними перегородками, увеличивается в своих размерах, не меняя формы.

Если центральную часть раковины моллюска посмотреть под микроскопом, то получится в точности такая спираль, какая получилась бы, если бы раковина выросла даже до очень больших размеров.

В природе можно найти еще множество ее творений, где встречается золотое сечение. Чаще мы встречаем спираль Архимеда. Кроме раковин моллюсков и улиток, по золотой спирали закручиваются рога архаров. Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетает свою паутину по золотой спирали. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль <<кривой жизни>>. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи (Приложение № 4), а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения.

Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение - цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.

Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий - 38, четвертый - 24 и т. д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции.

Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции - длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 11 к 7.

Золотое сечение можно увидеть и в пропорциях человеческого тела. Считается, что если рост человека принять за единицу, то точка золотого сечения у правильно сложенного человека будет находиться на талии. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13: 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской.

Пропорции золотого сечения проявляются и отношении других частей тела - длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т. д.

Закономерности <<золотой>> симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.

Золотое сечение в архитектуре

Золотое сечение встречается во многих архитектурных сооружениях, причем в сооружениях древности эту пропорцию можно найти чаще, нежели в наши времена. Золотую пропорцию находят в построениях разных времен, разных архитекторов, и в разных странах. К таким шедеврам архитектурного искусства можно отнести египетские пирамиды, храм Парфенон в Афинах, собор Нотр-Дам в Париже, храм Василия Блаженного в Москве и др. Познакомимся с некоторыми из них ближе.

Одно из красивейших произведений древнегреческой архитектуры - Парфенон в Афинах (V век до н. э. ) содержит в себе золотые пропорции.

Так, отношение высоты здания к его длине равно φ. Если произвести деление высоты Парфенона по золотому сечению, то получим те или иные выступы здания.

Также золотое сечение мы находим в египетских пирамидах. Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает великая пирамида фараона Хеопса (Хуфу). Она самая крупная и наиболее хорошо изученная. От подножия до вершины эта каменная возвышенность насчитывает 137,3 метра. Сторона основания пирамиды 230,4 метра. Из геометрических соотношений следует ряд пропорций: отношение длины апофемы боковой грани к половине ее основания отвечает золотой пропорции (ON/MN = 1,618); отношение площадей поверхностей граней к площади основания также равно золотой пропорции.

Собор Парижской Богоматери - самый величественный и самый популярный памятник ранней готики так же содержит в своих пропорциях золотое сечение.

В Москве по проекту русского архитектора М. Казакова была построена Голицынская больница, которая в настоящее время называется Первой клинической больницей им. Н. И Пирогова. Если разделить высоту здания по золотому сечению, то получим те или иные выступы, карнизы и т. д. Например, отношение

BG EG CF

── = ── = ── равны φ.

AG CG DF

В дополнение, в качестве примера рассмотрим пропорциональный строй одной из жемчужин древнерусской архитектуры - храма Василия Блаженного в Москве. За <<целое>> а = 1 принята высота храма. Пропорции храма определяются восемью членами ряда золотого сечения:1,φ, φ[2], φ[3], φ[4], φ[5], φ[6], φ[7].

Многие из членов ряда неоднократно повторяются в пропорциях этого архитектурного сооружения, но всегда благодаря свойству золотого сечения они сойдутся в одно целое, т. е. φ + φ[2] = 1 φ[2] + φ[3] = φ φ[3] + φ[4] = φ[2] φ[4] + φ[5] = φ[3] и т. д.

Рассмотренные нами примеры красочно показывают, что применение пропорций <<золотого сечения>> дает возможность архитекторам находить наиболее удачные, красивые гармоничные сочетания целого и частей.

Золотое сечение в живописи

На этой знаменитой картине И. И. Шишкина <<Сосновая роща>> с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится множество сосен - при желании можно с успехом продолжить деление картины по золотому сечению и дальше.

Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника. Когда же замысел художника иной, если, скажем, он создает картину с бурно развивающимся действием, подобная геометрическая схема композиции (с преобладанием вертикалей и горизонталей) становится неприемлемой.

Другим примером использования золотого сечения в живописи является знаменитая Джоконда, написанная Леонардо да Винчи. Она привлекает тем, что композиция рисунка построена на <<золотых треугольниках>> (точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника).

Так же в портрете Моны Лизы можно выделить несколько золотых прямоугольников.

Ряд золотого сечения мы встречаем и в картине Боттичелли <<Рождение Венеры>>. Это его самая знаменитая картина. Для самого художника его картина - это воплощение идеи универсальной гармонии золотого сечения, господствующего в природе. Посмотрев на рисунок, мы убеждаемся в этом.

В отличие от золотого сечения ощущение динамики, волнения проявляется, пожалуй, сильней всего в другой простой геометрической фигуре - спирали. Многофигурная композиция, выполненная Рафаэлем, когда прославленный живописец создавал свои фрески в Ватикане, как раз отличается динамизмом и драматизмом сюжета. Рафаэль так и не довел свой замысел до завершения, однако, его эскиз был гравирован малоизвестным итальянским графиком Маркантинио Раймонди, который на основе этого эскиза и создал гравюру <<Избиение младенцев>>.

На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка, - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Если естественным образом соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается. золотая спираль! Это можно проверить, измеряя отношение длин отрезков, высекаемых спиралью на прямых, проходящих через начало кривой.

Мы не знаем, рисовал ли на самом деле Рафаэль золотую спираль при создании композиции <<Избиение младенцев>> или только <<чувствовал>> ее. Однако с уверенностью можно сказать, что гравер Раймонди эту спираль увидел. Об этом свидетельствуют добавленные им новые элементы композиции, подчеркивающие разворот спирали в тех местах, где она у нас обозначена лишь пунктиром. Эти элементы можно увидеть на окончательной гравюре Раймонди: арка моста, идущая от головы женщины, - в левой части композиции и лежащее тело ребенка - в ее центре. В эскизе Рафаэля прекрасно сочетаются динамизм и гармония. Этому сочетанию способствует выбор золотой спирали за композиционную основу рисунка Рафаэля: динамизм ему придает вихревой характер спирали, а гармоничность - выбор золотого сечения как пропорции, определяющей развертывание спирали.

Золотое сечение мы находим всюду: в изобразительном искусстве, в архитектуре, в предметах быта и природе. Не менее удивительно и то, что золотое сечение мы находим всегда, в совершенно различных цивилизациях, отделенных друг от друга тысячелетиями: в усыпальницах Хеопса в Древнем Египте и в храме Парфенон в Древней Греции, в Баптистерии эпохи Возрождения в Пизе и в храме Покрова на Нерли, в ленинградском Адмиралтействе и в ультрасовременных сооружениях Ле Корбюзье.

По ходу работы я познакомилась с понятием золотого сечения, а так же с такими понятиями, как <<золотой>> треугольник, <<золотой>> прямоугольник, пентаграмма, вращающиеся квадраты, спираль Архимеда.

В результате исследований мне удалось узнать, что часть окружающих нас предметов прямоугольной формы и некоторые творения природы содержат в себе золотое сечение; удалось убедиться в удивительной пропорциональности человеческого тела (в частности одноклассников). Также мною был проведен эксперимент на восприимчивость людей к золотому сечению, по результатам которого можно сделать вывод, что среди статичных, однообразных фигур золотое сечение зрительно воспринимается хуже, нежели среди фигур разного плана.

Я познакомилась с применением золотого сечения в архитектуре и изобразительном искусстве.

Работа над этим рефератом доставила мне удовольствие и подарила массу новой и интересной информации.

Золотое сечение дано человеку самой природой в пропорциях его же тела, поэтому оно постепенно и стало для него идеалом красоты.

История золотого сечения

Принято считать, что понятие о золотом сечении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н. э. ). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого сечения позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамсеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Платон (427. 347 гг. до н. э. ) также знал о золотом сечении. Его диалог "Тимей" посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления. В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого сечения.

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в "Началах" Евклида. Во 2-й книге "Начал" дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н. э. ), Папп (III в. н. э. ) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам "Начал" Евклида. Переводчик Дж. Kампано из Наварры (III в. ) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением, как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре. Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась "О перспективе в живописи". Его считают творцом начертательной геометрии.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 году по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 году в Венеции была издана книга Луки Пачоли "Божественная пропорция" с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее "божественную суть" как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок - бога отца, а весь отрезок - бога духа святого). В своем труде он перечисляет лишь тринадцать свойств золотого сечения (дабы почтить двенадцать апостолов и их учителя Христа), отмечая, что для перечисления всех свойств золотого сечения не хватило бы чернил и бумаги. Каждому свойству золотого сечения Пачоли ставит особый эпитет, говоря <<. о его третьем исключительном свойстве. о его четвертом невыразимом свойстве. о его десятом возвышенном свойстве. о его двенадцатом почти сверхъестественном свойстве.>> Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет. "Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать". Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

Великий астроном XVI в. Иоган Kеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение). Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя <<Устроена она так, - писал он, - что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности>>.

В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы "вместе с водой выплеснули и ребенка". Вновь "открыто" золотое сечение было в середине XIX века.

В 1855 году немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд "Эстетические исследования". Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях <<математической эстетикой>>.

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа - важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела - длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т. д.

Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название <<Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве>>. В 1876 году в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга. Автор укрылся под инициалами Ю. Ф. В. В этом издании не упомянуто ни одно произведение живописи.

В конце XIX - начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теории о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т. д.

В наше богатое открытиями время следы золотой пропорции удалось обнаружить в еще более далеком прошлом, удаленном от нас на 20 - 25 тыс. лет. При раскопках на реке Ангаре в Сибири была обнаружена прямоугольная, тщательно обработанная пластинка, изготовленная из бивня мамонта. Ее размеры отвечают золотой пропорции.

Если бы указанная находка была единственной, можно было бы считать соотношение сторон в ней, отвечающее золотой пропорции, простой случайностью. Однако и в изображениях эпохи палеолита более позднего периода (примерно 15 тыс. лет назад) в пещерах Франции также обнаружены подобные пропорции. Изображение бизонов, мамонтов и лошади в этих пещерах находятся в размерах золотой пропорции.

Конечно, у людей палеолита не было научного представления о золотой пропорции. Применение ими золотой пропорции было итогом творческой интуиции, интуитивного познания мира.

Краткие биографические сведения об ученых, внесших весомый вклад в изучение золотого сечения

Пифагор

ок. 570 г - ок. 500 г до н. э.

Крепкого телосложения юношу судьи одной из первых в истории Олимпиад не хотели допускать к спортивным состязаниям, так как он не вышел ростом. Но он не только сатл участником Олимпиады, но и победил всех соперников. Такова легенда. Этот юноша был Пифагор - знаменитый математик.

Вся его жизнь - легенда, точнее, наслоение многих легенд. Он родился на острове Самос, у берегов Малой Азии. Совсем юным Пифагор покинул родину. Он прошел по дорогам Египта, 12 лет жил в Вавилоне, где слушал речи жрецов, открывавших перед ним тайны астрономии и астрологии, затем несколько лет - в Италии. Уже в зрелом возрасте Пифагор переселяется в Сицилию и там, в Кротоне создает удивительную школу, которую назовут пифагорейской.

Они были трудолюбивы и аскетичны - Пифагор и его ученики. Вот заповеди пифагорейцев.

oo Делай лишь то, что в последствии не огорчит тебя и не принудит раскаяться.

oo Не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что следует знать.

oo Не пренебрегай здоровьем своего тела.

oo Приучайся жить просто и без роскоши. oo Прежде чем лечь спать, проанализируй свои поступки за день.

Пифагор вводит в обращение слово <<философ>>. До него ученые называли себя мудрецами - теми, кто <<знает>>. Пифагор называет себя философом - тем, кто <<пытается узнать>>.

Об исключительной популярности Пифагора свидетельствует тот беспрецедентный факт, что он первый из всех существовавших философов того времени удостоился, чтобы портрет его появился на древних монетах.

Трудно сказать, какие научные идеи принадлежат Пифагору, какие - его воспитанникам. Пифагор не записал своего учения. Оно известно лишь в пересказах Аристотеля и Платона. Греческий ученый Гераклит утверждал, что Пифагор учёнее всех современников, однако порицал его за склонность к магии. Дело в том, что числа для пифагорейцев были наполнены мистическим содержанием, они приклонялись перед гармонией чисел.

Четные числа, допускавшие раздвоение, казались пифагорейцам более разумными, олицетворяли некоторое положительное начало. Число 4, например, олицетворяло у пифагорейцев здоровье, гармония, разумность. Мистика цифр и чисел сохранилась и до наших дней. Так число 13 - <<чертова дюжина>>, 3, 12 - <<счастливые>> числа, 666 - <<число зверя, дьявола>>.

Пифагору принадлежит немало великих догадок. Вот почему люди помнят его уже две с половиной тысячи лет, а среди знаменитых олимпийских чемпионов Пифагор наиболее знаменит, - ему выпало счастье победить не только соперника, но и время.

Архимед

ок. 287 -212 до н. э.

Об Архимеде - великом математике и механике - известно больше, чем о других ученых древности.

Родился он в 287 году до н. э. в Сиракузах на острове Сицилия. Отец Архимеда - астроном и математик Фидий - дал сыну хорошее образование. Находясь в Александрии, Архимед познакомился со знаменитым астрономом Кононом и астрономом и математиком Эратосфеном, с которыми он поддерживал в дальнейшем научную переписку. Здесь он усиленно работал в богатейшей библиотеке, изучал труды Демокрита, Евдокса и других ученых.

После учебы в Александрии вернулся в Сиракузы, где конструировал боевые машины для защиты города от римлян во время 2-й Пунической войны. Благодаря изобретениям Архимеда, Сиракузы долгое время успешно выдерживали осаду римских воинов. Архимед погиб во время одного из боев. Существует четыре версии его гибели.

По первой, в разгар боя он сидел на пороге своего дома, углубленно размышляя над чертежами, сделанными им прямо на дорожном песке. В это время пробегавший мимо римский воин наступил на чертеж, и возмущенный ученый бросился на римлянина с криком:

- Не тронь моих чертежей!

Эта фраза стоила Архимеду жизни. Солдат остановился и хладнокровно зарубил старика мечом.

Вторая версия гласит, что полководец римлян Марцелл специально послал воина на поиски Архимеда. Воин разыскал ученого и сказал:

- Иди со мной, тебя зовет Марцелл.

- Какой еще Марцелл?! Я должен решить задачу!

Разгневанный римлянин выхватил меч и убил Архимеда.

По третьей версии, воин ворвался в дом Архимеда для грабежа, занес меч на хозяина, а тот только и успел крикнуть:

- Остановись, подожди хотя бы немного. Я хочу закончить решение задачи, а потом делай что хочешь!

Наконец, четвертая версия такова: Архимед сам отправился к Марцеллу, чтобы отнести ему свои приборы для измерения величины Солнца. По дороге его ноша привлекла внимание римских солдат. Они решили, что ученый несет в ларце золото или драгоценности, и, недолго думая, перерезали ему горло.

Таковы легенды. Однако многие историки полагают, что Архимед был убит не случайно - ведь его ум стоил в те времена целой армии.

Архимед внес весомый вклад в развитие математики. До нас дошло 13 его трактатов. В самом знаменитом из них - "О шаре и цилиндре" (в двух книгах) Архимед устанавливает, что площадь поверхности шара в 4 раза больше площади наибольшего его сечения; формулирует соотношение объемов шара и описанного около него цилиндра как 2:3. В этом же трактате сформулирована аксиома Архимеда (называемая иногда аксиомой Евдокса), играющая важную роль в современной математике. В трактате "О коноидах и сфероидах" Архимед рассматривает шар, эллипсоид, параболоид и гиперболоид вращения и их сегменты и определяет их объемы. В сочинении "О спиралях" исследует свойства кривой, получившей его имя. Он научился находить касательную к своей спирали (а его предшественники умели проводить касательные только к коническим сечениям), нашел площадь ее витка. В трактате "Измерение круга" Архимед предлагает метод определения числа Пи, который использовался до конца 17 в. В "Псаммите" ("Исчисление песчинок") Архимед предлагает систему счисления, позволявшую записывать сверхбольшие числа, что поражало воображение современников. В "Квадратуре параболы" определяет площадь сегмента параболы сначала с помощью "механического" метода, а затем доказывает результаты геометрическим путем. Кроме того, Архимеду принадлежат "Книга лемм", "Стомахион" и обнаруженные только в 20 веке, "Метод" (или "Эфод") и "Правильный семиугольник".

Хочется привести слова Плутарха: "Архимед был настолько горд наукой, что именно о тех своих открытиях, благодаря которым он приобрел славу. , он не оставил ни одного сочинения". Хотя это и не совсем точно, но многих работ Архимеда мы действительно не знаем. Мы не знаем, например, конструкций его боевых машин, нам не известно, как он мог вычислять квадратные корни из больших чисел, и многое другое. "Поэтому нет оснований не верить написанному об Архимеде, что он жил как бы околдованный какою-то домашнею сиреною, постоянной его спутницей, заставляющей его забывать пищу, питье, всякие заботы о своем теле. Автор прекрасных открытий, он просил своих родственников изобразить на его могильной плите цилиндр, включающий в себя конус и шар, и подписать отношение их объемов (3:2:1)" - эти слова об Архимеде также принадлежат Плутарху. Крылатыми стали слова, произнесенные когда-то Архимедом: <<Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю>>. И в память об этом гении древности потомки Архимеда через века пронесут его радостный возглас, боевой клич науки: "Эврика!" - "Я нашел!".

Леонардо из Пизы (Фибоначчи)

1180? - 1250?

Леонардо Фибоначчи, итальянский купец и математик, родился в городе Пизе в 1180 году. Считается, что Фибоначчи - это его прозвище, которое означает <<сын доброй природы>>. Его алгебра - одна из первых появившихся в Европе. Он долгое время жил на Востоке, где и познакомился с математикой арабов, в том числе, с алгеброй Мохаммеда бен-Музы, который, в свою очередь, почерпал свои знания из индийской математической литературы и более всего из сочинений Брахмагупты. Леонардо находил уже связь между алгеброй и геометрией. В одном из своих сочинений он сообщает каким образом помощью девяти цифр и нуля (называемым арабами зефиром) можно писать какие угодно числа. Другой итальянский математик - Кардано (1501-1576гг) - в своих трудах часто ссылается на эту книгу. В 1202 г Леонардо написал книгу под названием <<Книга абака>>, которая стала первой математической энциклопедией средневековья, сыгравшей существенную роль в развитии математики в Европе. Другое его сочинение - <<Практика геометрии>> (1220). И, наконец, ему принадлежит сочинение, цитируемое Кардано под именем <<Трактат о квадратных числах>>, которое ныне затеряно, хотя еще в конце прошлого столетия встречалось в рукописях. К сожалению, о биографии Фибоначчи мне известно мало, поскольку он является ученым, факты о жизни которого частично утеряны.

Лука Пачоли

1445 - 1517

Лука Пачоли внес значительный вклад в изучение золотого сечения. Главным его трудом в этой области стала книга <<Божественная пропорция>>. Родился Лука Пачоли в 1445 году в маленьком городке в Борго-Сан-Сеполькро в Апеннинах. В детстве он был отдан учеником в местный монастырь к художнику Пьеро делла Франческо. В 1464 году Пачоли переезжает в Венецию и становится помощником купца Антонио де Ромпиази. В свободное от работы время Пачоли обучал сыновей де Ромпиази счетоводству и написал для них свою первую книгу - учебник по коммерческой математике. В 1470 году Пачоли переезжает в Рим, и после двух лет проживания, на три года отправляется в Неаполь. В 1475 (по другим источникам в 1476) году постригается в монахи и присоединяется к францисканскому ордену.

С 1477 года Пачоли десять лет преподаёт в университете Перуджи, где его научные и преподавательские способности были отмечены неоднократными повышениями зарплаты. Именно в это время Пачоли и написал свой основной труд - <<Сумма арифметики, геометрии, учения о пропорциях и отношениях", одиннадцатой главой которого и был <<Трактат о счетах и записях>>. В 1488 году Пачоли оставляет кафедру в Перудже и уезжает в Рим, где пять лет состоит в штате епископа Пьетро Валлетари. В 1493 году Пачоли переезжает в Венецию, где готовит к печати свою книгу, которая увидела свет в следующем году.

После года отдыха Пачоли принимает кафедру в миланском университете, где он преподаёт математику. Там же он знакомится и становится другом Леонардо да Винчи, на которого он оказал значительное влияние: именно по трактату Пачоли Леонардо узнал о евклидовой геометрии. В 1499 году после оккупации Милана войсками французского короля Карла VIII Леонардо да Винчи и Лука Пачоли бежали из Милана во Флоренцию (после того как король Франции Людовик XII захватил город и прогнал их покровителя Сфорцу), там их пути разошлись. Здесь Пачоли два года преподаёт математику, после чего ещё на два года он переезжает в Болонью, город в котором на содержание местного университета тратилась почти половина городского бюджета. Занятие Пачоли столь престижной и выгодной должности свидетельствует о его признании. В 1504 году в Венеции отдельным изданием выходит <<Трактат о счетах и записях>> под названием <<Школа совершенной торговли>>. Эта книга будет в последующем несколько раз переиздана в Венеции.

В 1505 году Пачоли практически отходит от преподавательской деятельности и живёт во Флоренции в братии монастыря Св. Креста. Однако в 1508 году он возвращается в Венецию, где читает публичные лекции. Но основным его занятием в те годы является подготовка к изданию собственного перевода Евклида (опубликован в 1508 г. ), а так же своей новой книги - <<Божественная пропорция>> (опубликована в 1509 г. ). В рукопись он включает не только иллюстрации своего друга Леонардо да Винчи, но и содержание бесед с ним, а также воспоминания о своем учителе Пьеро делла Франческа и почти весь его трактат. Это обстоятельство было обнаружено только в начале XX века и дало основания для обвинения Пачоли в плагиате.

Позже Пачоли написал еще ряд произведений (в частности, <<Трактат о шахматной игре>>), которые при жизни автора так не увидели свет. Они были открыты только в XXI веке.

В 1510 году Пачоли возвращается в свой родной Борго-Сан-Сеполькро, где становится приором местного монастыря. Однако жизнь его отягощена постоянными интригами против него различных злопыхателей. Из-за этого через четыре года Пачоли снова отправляется в путь, он снова оказывается в Риме, где преподаёт в математической академии. В Борго-Сан-Сеполькро Лука Пачоли возвращается уже незадолго до своей смерти в 1517 году. Точная дата его смерти - 19 июня 1517 года - была установлена лишь в XX веке.

Леонардо да Винчи

1452 - 1519

В одном из каменных домов городка Винчи, расположенного в горах Тосканы, 15 апреля 1452 года родился, пожалуй, самый многогранный гений Возрождения (а может и всех времен) - Леонардо. Исследователь загадочных явлений, создатель тревожащих воображение улыбок, за которыми кроется непознаваемая глубина, и рук, указывающих в неизвестность, в горные выси, он казался современникам волшебником. Автопортрет Леонардо да Винчи

Люди последующих поколений называли его итальянским Фаустом.

Загадка Леонардо начинается с его рождения. Он был незаконно рожденным сыном женщины, о которой почти ничего неизвестно. Неизвестно ни ее фамилии, ни возраста, ни внешности, неизвестно, была ли она умна или глупа, училась ли чему или нет. Некоторые биографы называют ее молодой крестьянкой. Пусть так оно и будет. В Винчи существует традиция называть ее хозяйкой таверны. Она знакома нам под именем Катерина.

Воспитывался в доме отца и вместе с ним переселился в 1469 г. (а может быть, еще в 1466) во Флоренцию, где был отдан на обучение к художнику и скульптору Андреа дель Веррокио. Уже в 1480 г. упоминается как имеющий собственную мастерскую. Первые свидетельства о самостоятельных работах: заказ на алтарный образ для капеллы св. Бернарда во дворце Синьории (1478; выполнен не был) и договор на "Поклонение волхвов" для монастыря Сан Донато а Скопето (1481; работа осталась незаконченной.

В 1482-1499 гг. в Милане, Леонардо находится на службе у герцога Лодовико Сфорца (Моро), в качестве военного инженера, архитектора, скульптора и живописца. В апреле 1500 г. Леонардо да Винчи возвращается во Флоренцию. В 1502 около года служит у Чезаре Борджа, по поручению которого объезжает Романью, Умбрию и Тоскану. В 1503-1506 гг. во Флоренции работает над стенной росписью в зале Большого совета дворца Синьории ("Битва при Ангиари"), в 1506 г. возвращается в Милан на службу к французскому наместнику Шарлю д'Амбуаз, где живет до 1513 г. (с перерывом для поездки во Флоренцию в 1507 г. ). С конца 1513 г. в Риме, откуда в 1516 г. был приглашен королем Франциском I во Францию на должность первого живописца, архитектора и механика короля.

Леонардо да Винчи был не только великим художником-живописцем, скульптором и архитектором, но и гениальным ученым, занимавшимся математикой, механикой, физикой, астрономией, геологией, ботаникой, анатомией и физиологией человека и животных, последовательно проводившим принцип экспериментального исследования. Когда Леонардо употреблял слова <<искусство>>, <<наука>>, <<математика>>, то смысл их несколько отличался от современного. Возлюбленная им математика - <<единственная наука, которая содержит в себе собственное доказательство>>, - состояла для него прежде всего из геометрии и пропорции. Его привлекало лишь то, что можно узреть; абстракции, ассоциирующиеся с современной высшей математикой, не представляли для него никакого интереса.

В его работах вопросы искусства и науки практически неразделимы. В <<Тракте о живописи>> он, например, добросовестно начинал излагать советы молодым художникам, потом незаметно переходил к рассуждения о пропорциях, перспективе, геометрии и оптике, затем об анатомии и механике и в конце концов о механики Вселенной в целом.

Прикладная механика Леонардо, возможно, более, чем другие его научные и технические достижения, вызывает интерес и восхищение привычных к машинам ХХ и XXI веков. Многие его изображения понятны с первого взгляда. При некоторой настойчивости современный механик может создать по его чертежу действующую модель рессорной колесницы и маховика.

По всей вероятности, Леонардо да Винчи было шестьдесят два, когда он нарисовал автопортрет. Если он правильно передает натуру, то духовное состояние художника можно определить как оставляющее желать лучшего. Он сделал так много и все же осуществил так мало. На пороге старости он оказался без дома, без покровителя. Он был почти всеми забыт. Даже его образ сохранился только на одном единственном рисунке. Леонардо, которому оставалось жить еще пять лет, очевидно, увидел себя в образе безымянного величественного старца.

Опыт на зрительное восприятие золотого сечения

Мною был проведен эксперимент на восприимчивость людей к золотому сечению. Я провела две анкеты среди учащихся своей школы в младшем, среднем и старшем звеньях, а также одну из них среди учителей. В первой анкете были разнотипные фигуры. Во второй анкете, напротив, фигуры были одного типа. Процент выбора фигур в золотом сечении в первой анкете оказался выше, чем во второй. Из этого можно сделать вывод, что среди статичных, однообразных фигур золотое сечение зрительно воспринимается хуже, нежели среди фигур разного плана. Видимо, этот факт сыграл важную роль в применении золотого сечения в искусстве. Например, мы никогда не найдем красивого архитектурного сооружения, состоящего из одних только треугольников или квадратов. Красивым нам кажется такое здание, в котором в правильных соотношениях сочетаются совершенно разные фигуры.

На диаграмме показаны результаты проведения опытов. Опыт № 1 представлял собой анкету, состоящую из разноплановых фигур. В опыте № 2. 1 предлагались три прямоугольника, а в опыте № 2. 2 - три треугольника.

Игра <<Математика вокруг нас>>

Мною была проведена игра для учащихся седьмых классов школ города. Игра называлась математика вокруг нас. Она проходила в виде лекции, по ходу которой участникам было предложено сыграть в несколько забавных игр на закрепление услышанного материала. В игре участвовало шесть команд, у каждой из которых было свое название и девиз. Ребятам очень понравилась игра, они с интересом выполняли задания, а в конце написали отзывы. Ниже представлены некоторые из них.

Золотые пропорции в архитектуре Парфенона

Парфенон был и остается совершеннейшим из архитектурных сооружений, архитектурной скульптурой, мраморным сводом законов античного зодчества. Многие исследователи искали в нем доказательство правоты своих теорий античных пропорций. Это такие исследователи, как Мессель, Цейзинг, Жолтовский, Гримм, Шевелев и др. Если сопоставить их анализы пропорций Парфенона, то получится довольно интересная картина. Мессель утверждает, что пропорции Парфенона основаны на делении окружности и приводит свой чертеж. Цейзинг, Жолтовский и Гримм уверяют, что в основе пропорций Парфенона лежит золотое сечение, и каждый приводит свой чертеж. Хембрижд утверждает, что Парфенон строится на динамических прямоугольниках, и естественно подтверждает это чертежом. Шевелев тоже представляет свой чертеж с расчетом, убедительно подтверждающим его теорию, в которой говорится, что пропорции Парфенона основаны на соотношении 1:√5. Все чертежи неоспоримо подтверждают правоту каждого из исследователей. Так в чем же загадка? А вся загадка в том, что все чертежи - это различные доказательства <<теоремы Парфенона>>, которая имеет много доказательств.

Первой попыткой создания целостной системы античного пропорционирования была система динамических прямоугольников Хембриджа. Прямоугольники с иррациональным отношением сторон Хембридж называет динамическими, связывая с ними идею роста, движения и гармонии в природе и искусстве. Особую роль Хембридж отводит прямоугольнику с отношением сторон 1:√5. Хембрижд разбивает фасад Парфенона на ряд динамических прямоугольников (1:√5) и квадратов (1:1).

Здесь все ново и спорно: и подход, и метод, и чертеж. И что же получается с интересующими нас основными вертикалями? Если выразить элементы х, у, z через ширину основания а:х = а/2√5, у = а/4√5, z = а/4, легко видеть, что главные вертикали Парфенона находятся в золотой пропорции

_ у + z √5 + 1

──── = ──── = Φ х 2

Метод пропорционирования Месселя основан на делении окружности на десять частей. Мессель считает, что обычный циркуль (или шнур) являлся основным рабочим инструментом античных и средневековых зодчих. Подход Месселя также оригинален и также спорен во всех аспектах, кроме одного - математического. Действительно, как уже рассматривалось выше, при делении окружности на десять частей можно получить весь ряд золотого сечения. Поэтому В1С1 : С1А1 = Φ ≈ ВС:СА, т. е. интересующие нас вертикали Парфенона приблизительно находятся в золотой пропорции.

Если рассматривать рисунки Шевелева, на которых уже приведены некоторые расчеты, мы видим, что с1 = а4 + а3 + а7 = k1а (6√5 + 1):5√5, а с2 = а5 + а6 = 9k1а : 5√5.

Поэтому

_ _ с1 6√5 + 1 √5 + 1

── = ───── = 1,6018 ≈ Φ = ──── = 1,6180 с2 9 2

Все теории о пропорциональности Парфенона являются приближенными, но во всех случаях приближенного выполнения пропорции золотого сечения ошибка не превышает 1%. Кроме того, теория Шевелева, столь не похожая на остальные, дает золотое сечение там, где оно есть, с большей точностью.

Итак, с помощью разных теорий мы видим, что отношение несущей части к несомой приблизительно равно золотому сечению.